2023-2024学年江苏省南京市第一中学高一上学期12月阶段性检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南京市第一中学高一上学期12月阶段性检测数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的交集运算求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】写出该命题的否定即可.
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：A
3．已知，则的值是（ ）
A．B．C．24D．
【答案】B
【分析】根据指数幂的运算求出、的值，再代入计算可得.
【详解】因为，，
所以，，
所以.
故选：B
4．函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据定义域以及单调性列出关于的不等式组，由此求解出解集.
【详解】函数是定义在上的增函数，
有，解得，
不等式的解集为，
故选：A．
5．如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．已．则点可能位于如图所示单位圆的哪一段圆弧上（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义结合，即可判断.
【详解】设，则.
因为，所以，
得，所以点位于第二象限，为，
故选：B
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
故选：D
7．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别计算出与的最大值，满足即可.
【详解】，，有，解得，即A正确.
故选：A.
8．设方程的根分别为则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由方程的根分别为可得 ，再在同一直角坐标系中作出，，的图象，判断的大小即可.
【详解】依题意得，即
两式相减得；
在同一直角坐标系中作出，，的图象，
由图象可知，
所以，即，
所以，
故选：A.
二、多选题
9．小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ）
A．B．弧长
C．扇形的周长为D．扇形的面积为
【答案】BC
【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案.
【详解】，所以A错；
弧长，所以B对；
扇形的周长为，所以C对；
面积为，所以D错；
故选：BC
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图象恒过定点
B．函数与是相同的函数
C．函数的最小值为6
D．若不等式的解集为或，则
【答案】AB
【分析】根据指数函数的运算性质，函数的定义，结合一元二次不等式的性质、基本不等式、不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，函数且的图象恒过定点，故正确.
对于，由得，所以的定义域为，
由得，所以的定义域为，
又因为，故函数与是相同的函数，
故B正确；
对于，当且仅当时取等号，
方程无解，等号不成立，故C错误.
对于，关于的不等式的解集为或，故必有
，进而得到，故错误.
故选：AB
11．已知函数，，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案.
【详解】解：选项A：，定义域为，
，
则为奇函数，故选项A错误；
选项B：，定义域为，
，
则为奇函数，故选项B正确；
选项C：，，都为奇函数，
则为奇函数，
在区间上的最大值与最小值互为相反数，
必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故选项C正确；
选项D：，则在上为减函数，
，则在上为减函数，
则在上为减函数，
若即，
则必有，解得，
即的解集为，故选项D正确.
故选：BCD.
12．若存在实数M，使得在和的定义域的交集上恒成立，则称与具有“”近似关系，下列说法正确的是（ ）
A．，具有“2”近似关系
B．，具有“3”近似关系
C．与具有“1”近似关系
D．与定义域相同，且具有“1”近似关系，则的值域包含于
【答案】BCD
【分析】作差即可说明A、B项；分别求出的值域，即可说明C项；换元法求出的值域，根据已知结合定义，即可得出D项.
【详解】对于A项，易知，定义域均为R，
因为，
所以，不存在实数M，使得在R上恒成立，故A项错误；
对于B项，易知定义域均为，
因为在上恒成立，
所以，根据定义可知，，，具有“3”近似关系故，B正确；
对于C项，因为，
当时，，，所以.
因为在上单调递增，所以.
所以，在上恒成立.
根据定义可知，与具有“1”近似关系，故C正确；
对于D项，令，，则，
设，，
根据二次函数的性质可知，，所以.
因为与定义域相同，且具有“1”近似关系”，
根据定义可知，在上恒成立，
所以，.
因为，所以，
所以的值域包含于，故D项正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知幂函数在上是增函数，且满足，请写出一个满足条件的的值 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题设条件以及幂函数的定义、图象与性质，写出一个满足条件的的值即可.
【详解】∵幂函数在上是增函数，
∴根据幂函数的图象与性质可得，
∵，
∴，即，
∴写出一个满足条件的的值：当时，满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
14．函数的单调递增区间是 .
【答案】
【分析】先确定函数的定义域， 再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可.
【详解】 的定义域为，解得，
或，
求原函数的单调递增区间， 即求函数条件下的减区间，
由， 可知单调递减区间为，
综上可得， 函数单调递增区间为 .
故答案为:.
15．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】由已知可得，的周期，然后求出，根据函数的周期性，即可得出答案.
【详解】由题意可知，函数的最小正周期.
又，，，，
所以.
又，所以.
故答案为：.
16．已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】利用可把放缩为即的形式，利用基本不等式可求后者的最小值.
【详解】因为，故.
又，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．求下列各式的值:
(1)
(2)
【答案】（1）18；（2）．
【分析】（1）利用幂的运算法则计算；
（2）根据对数运算法则计算．
【详解】（1）原式＝．
（2）原式＝．
【点睛】本题考查分数指数幂的运算法则与对数运算法则，属于基础题型．
18．已知集合，.
（1）求集合；
（2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】（1），；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可得答案；
（2）选：①充分不必要条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可；
选：②必要不充分条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可；
选：③充要条件，则，再根据集合关系求解即可；
【详解】解：（1）不等式，故，
不等式，由于，
故
（2）选：①充分不必要条件
由（1）知，，
因为若是成立的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集；
所以，解得，
所以实数的取值范围为：
选：②必要不充分条件
由（1）知，，
因为若是成立的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集；
所以，解得，又因为，故
所以实数的取值范围为：；
选：③充要条件
由（1）知，，
因为若是成立的充要条件，所以，
所以，方程组无解.
所以不存在实数使得是成立的充要条件；
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是qq的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是qq的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是qq的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是qq的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．
19．已知函数.
(1)求的值；
(2)若是三角形的一个内角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简的表达式，再由诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；
（2）由题意可得，两边平方求出，即可求出，从而求出、，即可得解.
【详解】（1）因为
，
所以
.
（2）由题意知，，平方得，
所以，，
因为且，所以，
从而得，故，得.
20．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完.
(1)求公司获得的利润的函数解析式；
(2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？
【答案】(1)
(2)160万片
【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，分类讨论，即可得解；
（2）结合（1）的结论，以及二次函数的性质，以及基本不等式，即可求解.
【详解】（1）当时，
当时，
故
（2）当时，
，对应的二次函数图象开口向下，
对称轴为，则的最大值为（万元）；
当时，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最大值为730（万元），，
封装160万片时，公司可获得最大利润.
21．设函数（，）．
(1)证明函数是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析，是增函数；
(2)；
(3)﹒
【分析】（1）应用定义法即可证明奇偶性及单调性；
（2）应用抽象函数的单调性得，结合二次函数恒成立即可求解；
（3）应用换元法令，转化为在区间的最值问题.
【详解】（1）证明：的定义域为，关于原点对称，
且，
∴为奇函数，
∵，∴递增，递增，故是增函数；
证明：因为，设，则，因为，所以，
所以，则函数在单调递增，
（2）由（1）得在上单调递增，
不等式化为，
∴，即恒成立，
∴，
解得；
（3）∵，∴，即，
解得或（舍去），.
∴，
令，由（1）可知为增函数，
，
令，
，
，
的最大值为.
22．已知函数，，其中，.
(1)证明：；
(2)若，求实数的值；
(3)问是否存在实数，使得函数的定义域为时，其值域恰好为？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)5
(3)存在，.
【分析】（1）由求出的范围，再结合，即可得到，从而得证；
（2）依题意可得，解得即可；
（3）若存在适合题意的实数，则，从而得到，则必有，根据复合函数的单调性得到函数在区间上单调递减，即可得到，即，则、是关于的方程的两个相异实根，从而将问题转化为关于的方程在区间上有两个相异实根，结合二次函数根的分布问题得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）对于函数，
由，解得或，由于，故，所以.
（2）若，则，又，
即，则，解得.
（3）若存在适合题意的实数，
则由及知，
因为函数的值域恰好为，
所以，必有.
又因为在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递减，
从而有，即，
所以，
这表明、是关于的方程的两个相异实根，
所以问题转化为关于的方程在区间上有两个相异实根，
令，
则应有即，
由知，故，
综上，存在适合题意的实数，其取值范围是.
【点睛】关键点睛：第三问关键是分析函数的单调性，从而转化为关于的方程在区间上有两个相异实根.