2023-2024学年陕西省西安市西安交大附中高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市西安交大附中高一上学期第二次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集的运算即可求解.
【详解】由可得，故，
故选：B
2．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（ ）
A．1.5B．1.25C．1.375D．1.4375
【答案】D
【分析】首先分析题意与表格，运用二分法求方程的近似解进行解答.
【详解】由表格可知,方程的近似根在内,
又因为,故方程的一个近似根(精确度 0.04)为1.4375.
故选: D.
3．若角的终边上有一点，且，则（ ）
A．4B．C．-1D．
【答案】C
【分析】根据公式，即可得到本题答案.
【详解】由已知，得，解得.
因为，所以，则.
故选：C
4．若，则的化简结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解.
【详解】
，
由于，所以，故，
故选：D
5．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明.《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每月的“进步”率和“退步”率都是，那么大约经过（ ）月后“进步”的是“退步”的一万倍.
A．20B．21C．22D．23
【答案】D
【分析】根据题意可列出方程，求解即可，
【详解】设经过个月“进步“的值是“退步”的值的10000倍,
则，
即，
,
故选：D．
6．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A．B．C．2021D．0
【答案】A
【分析】根据条件先求解出的值，然后分析的取值特点，从而求解出结果.
【详解】因为为偶函数，所以，所以，
所以且不恒为，所以，
又因为，所以，所以，所以，
又因为，
所以，
故选：A.
7．下列不等式错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据幂指对函数的单调性，结合选项即可逐一求解.
【详解】对于A，，故A正确，
对于B，，故B错误，
对于C，，C正确，
对于D，而，所以，D正确，
故选：B
8．已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的值域为R，则实数的取值范围是
B．若，则不等式的解集为
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是
【答案】D
【分析】根据判别式即可求解AD，根据对数函数的单调性即可求解B，根据复合函数的单调性，结合二次函数的性质即可求解C.
【详解】对于A，因为的值域为R，令则要能取遍内的任意一个数，
当时，符合题意，
当时，则，解得，
故的取值范围是，故A错误，
对于B，当时，，解得，故B错误，
对于C，由于函数在定义域上单调递增，要使在区间上为增函数，则在单调递增且，
所以，解得，故C错误；
对于D，因为的定义域为，所以恒成立，
则，解得，故D正确；
故选：D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”充要条件
B．“且”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】BC
【分析】根据不等式性质、充分条件和必要条件的判断依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，由得：，则当时，无意义，
充分性不成立，A错误；
对于B，当且时，成立，充分性成立；
若，，成立，此时且不成立，必要性不成立；
“且”是“”的充分不必要条件，B正确；
对于C，当时，或，充分性不成立；
当时，成立，必要性成立；
“”是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D，当时，，，充分性成立，D错误.
故选：BC.
10．“狄利克雷函数”：（表示有理数集合），下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．
C．对于任意的有理数，都有
D．不存在三个点，使为正三角形
【答案】ABC
【分析】根据奇偶性验证A，由函数的定义验证BC，根据正三角形的高，举特例判断D．
【详解】A：由定义知：定义域关于原点对称，当则，
当则，即有，故是偶函数，正确；
B：由解析式知：或，即，正确；
C：任意的有理数，当时，即，当时，即，正确；
D：若存在为正三角形，
当在轴上，如下图：

则为无理数，且，则为无理数；
边长为，所以当时成立，存在，D错误；
故选：ABC．
11．若关于的不等式的解集为，则的值可以是（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】BC
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以，故的值可以是和，
故选：BC
【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.
12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有3个零点
B．当时，若函数有三个零点，则
C．若函数恰有2个零点，则
D．若存在实数m使得函数有3个零点，则
【答案】ABD
【分析】A选项，令与，解出方程的根，得到零点个数；B选项，画出与的图象，得到要想有三个零点，则，进而得到，，求出的范围即可；C选项，求出当时，函数零点的个数，即可判断；D选项，要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，从而求出的范围.
【详解】对于A，当时，，
当时，令，解得，
当时，令，解得或，
综上，当时，函数有3个零点，故A正确；
对于B，当时，，
令，则，
如图，画出与的图象如下：
要想有三个零点，则，
不妨设，则，，
故，则，
则，故B正确；
对于C，因为时，，或4时，，
当时，不存在零点，而有两个零点，
此时函数恰有2个零点，
则当时，函数也恰有2个零点，故C错误；
对于D，画出与的图象如下：
要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，故，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
三、填空题
13．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则这个扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】结合弧长求出扇形的半径，利用扇形的面积公式，即可求解．
【详解】设扇形的半径为r，扇形的圆心角为，即，
则，解得，
故这个扇形的面积为．
故答案为：．
14．若，且，则z的最小值是 .
【答案】
【分析】直接利用均值不等式结合指数运算计算得到答案.
【详解】∵，∴，
当且仅当即，时取等号，即z的最小值是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了根据均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
15．定义在上的奇函数，当时，，则解析式是 .
【答案】
【分析】根据时，，代入，结合函数奇偶性即可求解.
【详解】当时，，所以，
由于为奇函数，所以，
故，
故答案为:
16．已知定义域为R的函数，对任意实数都有，且，则下列正确的有 .①；②是偶函数；③关于中心对称；④.
【答案】②③④
【分析】令可求出，①错误；令，并化简可得函数为偶函数，②正确；令，结合题中条件，可得③正确；令，结合题中条件，可得④正确.
【详解】定义域为R的函数，对任意实数都有，
令则
又，所以，故①错误；
令得，
由得，，所以函数为偶函数，
故②正确；
令，则，
因为，所以，
故函数关于中心对称，③正确；
因为
令，则，
又函数为偶函数，则，则④正确，
故答案为：②③④.
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）解方程：.
【答案】（1）,（2）或
【分析】（1）根据指数幂的运算以及对数的性质即可计算，
（2）根据换底公式，结合一元二次方程的求解即可.
【详解】（1）
,
（2）由得且，故，
故或，解得或
18．已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，设函数最小值为，求函数的解析式.
【答案】(1)-4
(2)
【分析】（1）将代入，结合二次函数的性质可得最小值；
（2）对a进行分类讨论，结合二次函数的性质可求最小值.
【详解】（1）当时，，
结合二次函数的性质可得，当，即时，取最小值-4；
（2）因为，令，
所以有，由二次函数的性质可知对称轴为，
当时，函数最小值，
当时，函数最小值，
当时，函数最小值，
综上：.
19．已知函数是偶函数．
(1)求a的值及的最小值；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由偶函数的定义列式子可求出a的值，对函数化简后，利用基本不等式可求出其最小值，
（2）先判断出在上是增函数，然后根据其单调性和奇偶性解不等式
【详解】（1）由题意得，即，
所以，解得．
所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
在定义域内为增函数，
所以的最小值为．
（2）对于，任取，且，则
，
因为，且，
所以，，，
所以，即，
所以在上是增函数，
因为在定义域内为增函数，
所以在上是增函数，
所以是偶函数，
所以由，得，
即，
解得．
20．比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；．
(1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中，其中，国道上行驶，高速上行驶．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
【答案】(1)选①，
(2)当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为最少，最少为．
【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.
【详解】（1）解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意，
对于②，当时，，又，
所以，故不符合题意，故选①，
由表中的数据可得，，解得
∴．
（2）解：高速上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
∴，
国道上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
∵，∴当时，，
∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，
该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最少，最少为．
21．已知函数为偶函数，函数为奇函数，且满足．
(1)求函数，的解析式；
(2)若函数，且方程恰有三个解，求实数k的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由及函数奇偶性得到，联立方程组求解即可；
（2）由（1）得到的解析式，画出其图象，求出方程的两个解，数形结合即可得到实数k的取值范围．
【详解】（1）因为是偶函数，是奇函数，且，①
所以，，
所以，即，②
由①②解得，
①②解得；
（2）由（1）得，
所以，
所以，，
作出的图象，如图所示：
因为方程恰有三个解，
即方程恰有三个解，
所以恰有三个解，
解得或，
又因为，结合图形可得：
或，解得或．
所以实数k的取值范围为．
22．已知函数.
(1)若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
(2)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据二次函数的性质有即可求范围；
（2）由对数函数性质确定的单调性和零点，讨论a研究的单调性、值域，进而判断区间内、的大小确定，结合零点存在性定理判断的区间零点分布即可.
【详解】（1）由开口向上，对称轴为，且
所以在上有两个不同的零点，则，可得.
（2）由对数函数性质知：定义域上递减且值域为，，
当时，，
而开口向上，对称轴为且，
当时，对称轴为，则上递增且，
所以存在，有时，时，
则，而上，在上，
此时，只有1个零点；
当时，且，，
则在上恒成立，又，
此时，只有1个零点；
当时，且，，
所以，又，此时，有两个零点；
当时，且，
,
则在上有2个零点，又，
此时，有3个零点；
当时，，在上有两个零点，
此时，有2个零点；
当时，且，，
则，有上有1个零点，
此时，有1个零点；
综上，或时有1个零点；或时有2个零点；时有3个零点.
【点睛】关键点点睛：第二问，利用对数函数、二次函数性质判断、的大小确定的解析式，结合零点存在性定理研究零点分布.
0
10
40
60
0
1420
4480
6720