2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校高一上学期第二次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
2．的一个充分不必要条件是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的性质，结合充分不必要条件的定义进行求解即可.
【详解】由，得或，
显然能推出，但不一定能推出，
选项CD都推不出，
选项A能推出，也能推出或，
故选：B
3．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义及单调性求得，再根据对数函数性质求得定点坐标.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或.
当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，
故，此时，
当时，，即的图象过定点.
故选：B
4．3rad是第（ ）象限角
A．一B．二C．三D．四
【答案】B
【分析】把弧度角化为角度，然后根据象限角的概念即可判断.
【详解】，为第二象限角.
故选：B
5．已知两个正实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式常数代换技巧直接求解即可.
【详解】因为正实数x，y满足，
则，
当且仅当即时，等号成立.
故选：D
6．已知函数的零点分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断小于1，大于1，再由数形结合判断即可.
【详解】令，可得，所以，即；
令，可得，即，所以，
即；
令，可得，由此可得，所以，
即，
作的图象，如图，

由图象可知，，所以.
故选：D
7．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复合函数单调性结合对数函数定义域计算得到答案.
【详解】，函数定义域满足：，解得，
在上单调递减，
根据复合函数单调性知，在单调递减，函数对称轴为，
故，解得.
故选：C.
8．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最小值D．最大值
【答案】D
【分析】先由奇函数确定的值，然后对变形得到其单调性，结合函数奇偶性将不等式等价变形为对任意恒成立，故只需求出函数的最小值即可，由复合函数单调性，即可得出其单调性，进而得到其最小值.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，得，，从而由复合函数单调性可知在上单调递增，
且注意到是定义在上的奇函数，
所以不等式等价于，
即等价于，亦即，
该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值．
因为由复合函数单调性可知在区间上单调递增，
所以当时，的最小值为
所以，等号成立当且仅当．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是先结合已知得到在上单调递增，从而将不等式等价变形为对任意恒成立，进而即可求解.
二、多选题
9．下列选项不正确的有（ ）
A．若命题：，，则：，
B．与是同一个函数
C．可以用二分法求函数的零点
D．，
【答案】BCD
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A，根据同一函数的概念判断B，根据二分法适用条件判断C，根据根式运算判断D.
【详解】对于A，若命题：，，则：，，故A正确，
对于B，函数的定义域为，
的定义域为，定义域不同，两函数不是同一函数，故B错误；
对于C，，其零点为同号零点，
由用二分法求近似解需满足零点存在定理条件知C错误；
对于D，根据根式的定义知，故D错误.
故选：BCD
10．下列函数中满足“对任意，∈(0,＋∞)，都有 ＞0”的是( )
A．＝－B．＝－3＋1
C．＝＋4＋3D．＝－
【答案】ACD
【分析】由条件得f(x)为(0,＋∞)上的增函数，根据函数的解析式判断单调性.
【详解】因为“对任意，∈(0，＋∞)，都有＞0” ，
所以不妨设，都有，
所以为(0,＋∞)上的增函数.
对于A：＝－在(0,＋∞)上为增函数，故A正确;
对于B：＝－3＋1在(0,＋∞)上为减函数，故B错误;
对于C：＝＋4＋3对称轴为=，开口向上，所以在(0,＋∞)上为增函数，故C正确;
对于D：＝－，因为在(0,＋∞)上为增函数， 在(0,＋∞)上为增函数，所以＝－在(0,＋∞)上为增函数， 故D正确;
故选:ACD
11．已知函数，则满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据函数解析式，逐项代入分析验证即可.
【详解】对于A，，，
所，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，
，故D不正确．
故选：AC．
12．已知正数、、满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】设，则，，，分别代入选项中，根据对数运算法则化解，判断是否正确即可.
【详解】设，
则，，，
则，故A错误；
，
因此，故B正确；
由，，，
又，，则，故C错误；
，因此，故D正确；
故选：BD
三、填空题
13．函数的定义域为 （用区间表示）.
【答案】
【分析】由对数式的真数大于0求解分士不等式得答案.
【详解】解：要使函数有意义需满足：，得，故函数的定义域为.
故答案为：.
14．已知，在R上为增函数，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解即可.
【详解】在上单调递增，，
解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
15．对任意的正数，不等式恒成立，则的取值范围为
【答案】
【分析】根据基本不等式求得，然后把恒成立问题转化为，解一元二次不等式即可得解.
【详解】对任意的正数，有，当且仅当即时，等号成立，
由题意，即，所以，
解得，即的取值范围为.
故答案为：
16．是定义在上函数，满足且时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】或或
【详解】是定义在上偶函数，，在上为单调增函数，
，，化简后： ① ， (1)当时显然成立；（2）当时，①式解为或，对任意，①式恒成立，则需，故.（3）当时，①式解为或，对任意 ，①式恒成立，则需，故，综上所述，或或，答案为或或.
四、问答题
17．已知集合．
(1)若，求；
(2)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出和集合，进而求出；
（2）根据真子集，即可列不等式求解.
【详解】（1）由得，故，
由得，
因为，故，
若，则，所以；
（2）若是成立的充分不必要条件，则，
则有解得，此时满足，
所以的取值范围是．
18．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)100
(2)12
【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解；
（2）根据对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）原式；
（2）原式
．
19．已知函数．
(1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）由函数零点个数，结合二次函数性质列不等式组求参数范围；
（2）由题意易知，法一：讨论函数开口方向列不等式组求参数范围；法二：根据的零点和的零点的等价性，列不等式组求参数范围.
【详解】（1）由题意，可得，则或.
（2）由的两个零点一个在内，另一个在内，故，
法一：当的图象开口向上时，，所以， 解得.
当的图象开口向下时，，所以，解得；
综上，的取值范围为.
法二：的零点和的零点相同，则，
所以，解得.
综上，的取值范围为.
五、证明题
20．已知函数为奇函数.
（1）求实数的值，并用定义证明是上的增函数；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
【答案】（1），证明见解析；（2）.
【分析】（1）由函数奇偶性的性质，求得，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可是上的增函数；
（2）由函数为奇函数，且在上单调递增，把不等式转化为在上有解，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，
令，可得，解得，
所以，此时满足，
所以函数是奇函数，所以.
任取，且，则，
因为，
即，所以是上的增函数.
（2）因为为奇函数，且的解集非空，
可得的解集非空，
又因为在上单调递增，所以的解集非空，
即在上有解，则满足，解得，
所以实数的取值范围.
.
六、问答题
21．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按天计），每件的销售价格 (单位：元)与时间（单位：天）（）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：
设该工艺品的日销售收入为（单位：元），且第天的日销售收入为元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①；
②；
③；
④.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数，求的最小值.
【答案】（1）1；（2）；（3）441.
【解析】（1）由可求得；
（2）由数据知先增后减，选择②，由对称性求得，再利用其他函数值求出；
（3）根据（2）求得的表达式，然后一段利用基本不等式求得最小值，一段利用函数的单调性刘最小值，比较可得结论．
【详解】解:（1）因为第天的日销售收入为元，
所以，
解得.
（2）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.
函数模型①;③④都是单调函数，
所以选择函数模型②.
由，得，
所以，
由
解得
所以日销售量与时间的变化关系为
（3）由（2）知
所以
即
当时，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立.
所以.
当时，为减函数，
所以，
综上所述：当时，的最小值为
【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，在已知函数模型时，直接利用所给数据求出模型听参数得函数解析式．然后可根据函数解析式确定函数性质求得最值等．分段函数在求最值时需要分段求解，然后比较才能得出结论．
22．已知函数在时有最大值和最小值，设.
(1)求实数的值；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得的值.
（2）结合换元法、分离常数法化简不等式，结合二次函数的性质求得的取值范围.
（3）利用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围.
【详解】（1）函数时不合题意，
所以为，所以在区间上是增函数，
故，解得.
（2）由已知可得，则，
所以不等式，
转化为在上恒成立，
设，则，即，在上恒成立，
即，
当时，取得最小值，最小值为，则，即.
所以的取值范围是.
（3）方程可化为：，，
令，则方程化为，，
∵方程有三个不同的实数解，
∴画出的图象如下图所示，
所以，，有两个根､，且或，.
记，
则，即，此时，
或得，此时无解，
综上.
【点睛】研究复杂的方程的根、函数的零点问题，主要考虑化归与转化的数学思想方法，将不熟悉、陌生的问题，转化为熟悉的问题来进行求解.如本题中，将方程有三个解的问，转化为指数型函数、二次型函数的知识来进行求解.