2023-2024学年广东省广州市执信中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市执信中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由补集和并集的定义直接求解.
【详解】集合，，
则，.
故选：B
2．已知sin＝，则cs＝（ ）
A．B．－
C．D．－
【答案】B
【分析】首先将，再利用诱导公式计算的值即可.
【详解】由题意知，.
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.
3．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合奇偶性及特殊值判断.
【详解】因为函数的定义域为，
由，则其为奇函数，图像关于原点中心对称，排除BD；
，故，排除A.
故选：C
4．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用，，得出，即，根据函数的单调性判断，即可比较，，的大小.
【详解】，，,，
又因为，，，所以，
又因为在上为减函数，所以，所以，
综上：.
故选：A
5．已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由扇形的弧长和面积公式求解即可.
【详解】因为扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为，为圆心，如下图，
取的中点，连接，则，则，
则扇形的半径，所以扇形的弧长，
.

故选：D.
6．已知，则（ ）
A．B．-2C．0D．4
【答案】A
【分析】计算求解即可.
【详解】由题意，，
故.
故选：A
7．已知函数对，，满足，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先判断是R上的增函数，列关于实数a的不等式组，即可求得实数a的取值范围.
【详解】由题意，得是R上的增函数，
则，解得，
故选：
8．已知函数，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对进行分类讨论，结合直线、抛物线的知识求得的取值范围.
【详解】，
，过定点，
开口向上，对称轴，
当时，在递减，在递增，最小值为，
根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立.
当时，，，
所以存在，使成立，
当时，在上递增，在递增，
即在上递增，所以不存在符合题意的.
当时，在上递增，在上递减，在上递增，
根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立.
综上所述，的取值范围是.
故选：D
【点睛】对于含有参数的分段函数的分析，关键在于对参数进行分类讨论，本题中，涉及直线、抛物线，参数与直线的单调性、抛物线的对称轴（单调性）有关，由此可确定分类的标准，从而使分类做到“不重不漏”
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点，则解析式为
B．若函数，则在区间上单调递减
C．幂函数（）始终经过点和
D．若函数，则对于任意的，有
【答案】CD
【解析】根据幂函数的解析式，单调性依次判断每个选项得到答案.
【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，故错误；
函数是偶函数且在上单调递减，故在单调递增，错误；
幂函数（）始终经过点和，正确；
任意的，，要证，即，
即，即，易知成立，故正确；
故选：.
【点睛】本题考查了幂函数，意在考查学生对于幂函数性质的综合应用.
10．下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．若角是第三象限角，则可能在第三象限
C．若且，则为第二象限角
D．锐角终边上一点坐标为，则
【答案】BCD
【分析】A选项通过充分性必要性两方面验证；B选项根据是第三象限角，表示出范围确定所属象限；C选项综合且情况确定所属象限；D选项求角的正切值，确定锐角.
【详解】A选项：若，则，有充分性；
若，则或没有必要性.A错误；
B选项：若角是第三象限角，则，
则，当时，为第一象限角；
时，为第三象限角；当时，为第四象限角；
所以可能在第三象限.B正确；
C选项：，则为第二象限或第四象限角；，
则为第一象限或第二象限角，同时满足上述条件，所以为第二象限角.C正确；
D选项：锐角终边上一点坐标为，
则有，，
所以，且为锐角，所以，D正确.
故选：BCD
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．若定义域为，则
B．若值域为，则或
C．若最小值为0，则
D．若定义域为，则
【答案】ACD
【分析】根据对数函数的性质，逐项进行判断即可求解.
【详解】对于，若函数定义域为，则恒成立，
当时，恒成立，满足题意；当时，则有，解得：，综上，实数的取值范围为：，故选项正确；
对于，若函数值域为，则取尽大于零的实数，
当时，，不满足题意；当时，则有，解得：，所以若值域为，则，故选项错误；
对于，若函数最小值为0，则有最小值，由二次函数的图象和性质可得：，解得：，故选项正确；
对于，若函数定义域为，则为不等式的解集，由韦达定理可得：，解得：，故选项正确，
故选：.
12．已知函数，若关于的方程有个不等的实根、、、且，则下列判断正确的是（ ）
A．当时，B．当时，的范围为
C．当时，D．当时，的范围为
【答案】ABC
【分析】令，求出方程的两根，数形结合可判断A选项；根据零点个数得出关于的不等式组，求出的范围，可判断BD选项；利用二次函数的对称性与对数运算可判断C选项.
【详解】令，则，，
A.当时，，，由有解，有4解，故，A对；
B.当时，则方程、各有一解，
当时，，当且仅当时，等号成立，
由图可得，解得，B对；
C.当时，如下图所示：
由图象可知，点、关于直线对称，则，
由图可知，，，由可得，所以，，
则，因此，，C对；
D.当时，有两种情况：或，
从而可得的范围为，D错.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题
13．若为第四象限角，且，则 .
【答案】
【解析】结合同角的基本求法即可求解
【详解】由，解得，又为第四象限角，所以
故答案为：
【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法，属于基础题
14．函数y=的值域是 .
【答案】
【详解】令,则.
所以.
函数y=的值域是.
点睛：通过整体换元，将函数化为简单初等函数是常用的一种求值域的方法，本题中注意指数函数的图象是以x轴为渐近线的，容易被学生忽视.
15．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么这个人至少经过 小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：）
【答案】5
【分析】先根据题意设小时后才能开车．再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,”得到一个关于的不等关系,再根据指对数不等式的求解即可.
【详解】设小时后才能开车,则有,即,两边取对数有,因为故.代入可得.故最小为5.
故答案为：5.
【点睛】本题主要考查了指对数运算在实际情景中的运用,需要根据题意建立联系,再根据对数运算法则代入近似值计算.属于基础题.
16．若函数在区间上为减函数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性，分类讨论对数底数的范围，结合二次函数的单调性及真数大于0求解即可.
【详解】令，
当时，是增函数，由在区间上为减函数，
则在上为减函数，故，解得，
当时，是减函数，由在区间上为减函数，则在上为增函数，故，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．已知.
(1)化简函数；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】⑴利用诱导公式化简即可；
⑵由题意求得，化齐次式为求解.
【详解】（1）
（2）因为，所以，，
所以 分子分母同除以有
18．已知函数为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性求值；
（2）化不等式为根据函数单调性确定，继续化简为，换元法解不等式.
【详解】（1）根据函数解析式函数定义域为，又因为为偶函数，
所以，即，，
所以；
（2）由（1）知，所以可化为
，，
，，，又为增函数，所以，
，，，
令，，上式化为：，，解得，
即，，又因为为增函数，所以，解得.
19．已知方程的两个实根是和.
(1)求k的值;
(2)求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）根据和是方程的两个实根，得到求解.
（2）先切化弦转化为，再将代入求解.
【详解】（1）已知方程有两个实根和，应满足如下条件:
，即，④
将②③代入④，得，
即，
解得或(舍去).
.
（2），
由（1）知，
.
【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数基本关系式化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．某芯片企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下三个条件：①技术人员不少于100人，不多于275人；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；③技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)25人
(2)存在；
【分析】（1）根据题意，得到不等式，得出，再用已知条件得出得出结果
（2）由条件②得，由条件③得，假设存在满足上述条件，则上述两个不等式恒成立，求出即可.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，整理得，
解得，故，
所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为25人．
（2）由条件②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，
上式两边同除以得，
整理得；
由条件③技术人员年人均投入不减少，得，
解得；
由条件①得，
假设存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上三个条件，
即恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，
又因为，当时，取得最大值，所以，
所以，即，
即存在这样的满足条件，其范围为．
21．已知函数，.
(1)若存在，使成立，求实数的取值范围；
(2)若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或或.
【分析】（1）存在，使成立，等价于，通过换元利用对勾函数的性质即得；
（2）由题可得，可得，分类讨论的范围，列关于的不等式组，即得.
【详解】（1）∵，
∴，即，
∵，∴，
∴，，
由题意，，
令，则，且
∴，
由对勾函数知，在上单调递减，
∴，
∴，
即实数的取值范围为；
（2）由，可得，
由得：，
当时，，，满足题意；
当时，或；
若，即时，，满足题意；
若，由于方程有唯一解，
∴或，
解得：；
综上所述，实数的取值范围为或或.
22．定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.
(1)当时，判断函数是否为有界函数，并说明理由；
(2)若函数在上是以为上界的函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
【分析】（1）代入，化简利用有界函数的定义即可判断.
（2）根据有界函数的定义知恒成立，利用参数分离法即可求解.
【详解】（1），
由知，则，于是，则，
故时，，
所以，函数（）为有界函数．
（2）若函数在上是以为上界的函数，则有在上恒成立．
则恒成立，即恒成立，
所以 即
即不等式组在上恒成立．
因为在上单调递增，且恒成立，
所以在上单调递减，其最大值为；
在上也单调递减，其最小值为
所以 即，
故实数m的取值范围是．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是等价转化为在上恒成立，最后分离参数并求出和在上的最值即可.