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2023-2024学年甘肃省天水市第一中学高一上学期12月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年甘肃省天水市第一中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，计算题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）．
A．4B．3C．16D．15
【答案】D
【分析】解出集合，根据集合中的元素个数即可求解.
【详解】因为，
有4个元素，
则集合A的真子集个数为，
故选：D.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式的关系，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】因为，此时当且仅当，
又因为“”是“”的充分不必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性及单调性一一判定即可.
【详解】对于A，易知，即不是偶函数，排除；
对于B，易知，且由二次函数的性质可知其在上单调递增，故B正确；
对于C，易知，即不是偶函数，排除；
对于D，易知，即不是偶函数，排除.
故选：B
4．已知定义域为的偶函数满足：对任意的，都有．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件得到在上单调递增，再利用函数是偶函数，得到在上单调递减，根据单调性，得到不等式，解出即可.
【详解】因为，所以在上单调递增．
因为为偶函数，所以在上单调递减．
若，则或，解得或．
故选：C.
5．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】因为函数在上都是增函数，
所以在上单调递增，
因为，所以的零点所在的区间为.
故选：C.
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用幂函数的单调性判定即可．
【详解】由单调递增，
则可知，
由单调递增，
又，可得
所以．
故选：C．
7．已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可.
【详解】令扇形的半径为，则，
所以此扇形的面积为.
故选：D
8．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】首先根据题意得到关于对称，即，从而得到，再解方程即可.
【详解】因为为奇函数，所以关于对称，
所以关于对称，即.
当时，，
当时，，，
所以.
因为，
所以或，
解得，，，，
所以.
故选：A
二、多选题
9．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（ ）
A．若ac2>bc2，则a>bB．若a>b，c>d，则a+c>b+d
C．若a>b，c>d，则ac>bdD．若a>b，则
【答案】AB
【分析】可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.
【详解】解：若ac2>bc2，两边同乘以则a>b，A对，
由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，
当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，
令a=﹣1，b=﹣2，则，D错.
故选：AB.
10．已知，则下列等式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据已知得判断C，根据指数运算判断A，根据对数运算性质判断BD.
【详解】依题意，，即，则且a，，故C正确；
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
11．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】AB选项，两边平方得到，再结合得到，，得到AB正确；先求出的平方，结合角的范围求出的值.
【详解】AB选项，两边平方得，，
即，所以，B正确，
因为，所以，故，所以，A正确；
CD选项，，
因为，，所以，
故，C错误，D正确.
故选：ABD
12．已知函数，若存在，使得成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】采用数形结合可知，，，然后简单计算可知，，，故可知结果.
【详解】如图：
可知，，，则，
且，所以，即.
因为，所以，.
故选:AC.
三、填空题
13．若，则函数的值域为 .
【答案】
【解析】利用换元法求解，令（），则，然后利用二次函数的性质可求得结果
【详解】解：令（），则，
所以，
因为抛物线开口向下，，
所以当时，取得最在值，
所以函数的值域为，
故答案为：
14．函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性判断方法“同增异减”，求出函数的单调递增区间.
【详解】函数的定义域即或，
令则在上单调递增，需求函数的单调递增区间，则由复合函数单调性判断方法“同增异减”，
可知需求单调递增区间，即，因此函数的单调递增区间是.
故答案为：.
15．已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据单调性分别列不等式计算即可.
【详解】由在区间上是单调减函数，有
解得，则的取值范围为.
故答案为: .
16．函数（且）图象过定点，且满足方程，则最小值为 ．
【答案】
【分析】先求出定点，代入方程得到的等式，再根据基本不等式可求得答案.
【详解】由，（且），令，得，所以定点的坐标为，
代入方程得，即，，
，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、问答题
17．已知命题实数x满足，命题q：实数x满足．
(1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围
(2)若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题为假命题，可得，解不等式即可得出答案；
（2）设命题对应的集合为，命题对应的集合为，由命题是命题的必要不充分条件，可得是的真子集，列出不等式组即可得出答案.
【详解】（1）命题为假命题，
则，解得，
所以实数x的取值范围为；
（2）由题意，命题或，
设其对应的集合为，则或，
命题或，
设其对应的集合为，则或，
因为命题是命题的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以（不同时取等号），解得，
所以实数的取值范围为.
五、计算题
18．已知.
(1)化简；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和化弦为切化简函数；
（2）利用同角三角函数的平方关系列式计算即可.
【详解】（1）；
（2）因为，所以，
则，所以，解得，
所以.
六、问答题
19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，；
(1)已知函数的部分图象如图所示，
请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递减区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若关于x的方程有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．（只需写出结论）
【答案】(1)作图见解析，函数 f (x) 的单调递减区间为和．
(2)
(3)．
【分析】（1）利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；
（2）利用函数是奇函数，求函数的解析式；
（3）利用数形结合，转化为与的图象有3个交点，从而得解.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，
结合图象可知，函数 f (x) 的单调递减区间为和．
（2）因为当时，，
所以当时， ，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以当 时，，
故的解析式为.
（3）因为有3个不相等的实数根，等价于与的图象有3个交点，
结合（1）中的图象可知，当时，与的图象有3个交点，
所以.
七、证明题
20．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并给出证明．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）应用配凑法求函数的解析式；
（2）应用定义法证明函数的单调性即可.
【详解】（1），
所以．
（2），在上单调递增，
证明：设，
，
其中，，，所以，
所以，所以在上单调递增．
八、应用题
21．某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．
(1)写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
【答案】(1)，该设备从第2年开始实现总盈利；
(2)方案二更合适，理由见解析.
【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可求得结果；
（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.
【详解】（1）由题意可得，
由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利．
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值160，
此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，
平均盈利额为
，
当且仅当，即时等号成立；
即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元．
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
九、问答题
22．已知函数在上的最大值与最小值之和为．
（1）求实数的值；
（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数在上是单调函数，进而得，解方程得；
（2）根据题意，将问题转化为对于任意的，恒成立，进而求函数的最值即可.
【详解】解：（1）因为函数在上的单调性相同，
所以函数在上是单调函数，
所以函数在上的最大值与最小值之和为，
所以，解得和（舍）
所以实数的值为.
（2）由（1）得，
因为对于任意的，不等式恒成立，
所以对于任意的，恒成立，
当时，为单调递增函数，
所以，所以，即
所以实数的取值范围
【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的，恒成立求解.
一、单选题
1．已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）．
A．4B．3C．16D．15
【答案】D
【分析】解出集合，根据集合中的元素个数即可求解.
【详解】因为，
有4个元素，
则集合A的真子集个数为，
故选：D.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式的关系，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】因为，此时当且仅当，
又因为“”是“”的充分不必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性及单调性一一判定即可.
【详解】对于A，易知，即不是偶函数，排除；
对于B，易知，且由二次函数的性质可知其在上单调递增，故B正确；
对于C，易知，即不是偶函数，排除；
对于D，易知，即不是偶函数，排除.
故选：B
4．已知定义域为的偶函数满足：对任意的，都有．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件得到在上单调递增，再利用函数是偶函数，得到在上单调递减，根据单调性，得到不等式，解出即可.
【详解】因为，所以在上单调递增．
因为为偶函数，所以在上单调递减．
若，则或，解得或．
故选：C.
5．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】因为函数在上都是增函数，
所以在上单调递增，
因为，所以的零点所在的区间为.
故选：C.
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用幂函数的单调性判定即可．
【详解】由单调递增，
则可知，
由单调递增，
又，可得
所以．
故选：C．
7．已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可.
【详解】令扇形的半径为，则，
所以此扇形的面积为.
故选：D
8．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则方程的所有根之和等于（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】首先根据题意得到关于对称，即，从而得到，再解方程即可.
【详解】因为为奇函数，所以关于对称，
所以关于对称，即.
当时，，
当时，，，
所以.
因为，
所以或，
解得，，，，
所以.
故选：A
二、多选题
9．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（ ）
A．若ac2>bc2，则a>bB．若a>b，c>d，则a+c>b+d
C．若a>b，c>d，则ac>bdD．若a>b，则
【答案】AB
【分析】可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.
【详解】解：若ac2>bc2，两边同乘以则a>b，A对，
由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，
当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，
令a=﹣1，b=﹣2，则，D错.
故选：AB.
10．已知，则下列等式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据已知得判断C，根据指数运算判断A，根据对数运算性质判断BD.
【详解】依题意，，即，则且a，，故C正确；
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
11．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】AB选项，两边平方得到，再结合得到，，得到AB正确；先求出的平方，结合角的范围求出的值.
【详解】AB选项，两边平方得，，
即，所以，B正确，
因为，所以，故，所以，A正确；
CD选项，，
因为，，所以，
故，C错误，D正确.
故选：ABD
12．已知函数，若存在，使得成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】采用数形结合可知，，，然后简单计算可知，，，故可知结果.
【详解】如图：
可知，，，则，
且，所以，即.
因为，所以，.
故选:AC.
三、填空题
13．若，则函数的值域为 .
【答案】
【解析】利用换元法求解，令（），则，然后利用二次函数的性质可求得结果
【详解】解：令（），则，
所以，
因为抛物线开口向下，，
所以当时，取得最在值，
所以函数的值域为，
故答案为：
14．函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性判断方法“同增异减”，求出函数的单调递增区间.
【详解】函数的定义域即或，
令则在上单调递增，需求函数的单调递增区间，则由复合函数单调性判断方法“同增异减”，
可知需求单调递增区间，即，因此函数的单调递增区间是.
故答案为：.
15．已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据单调性分别列不等式计算即可.
【详解】由在区间上是单调减函数，有
解得，则的取值范围为.
故答案为: .
16．函数（且）图象过定点，且满足方程，则最小值为 ．
【答案】
【分析】先求出定点，代入方程得到的等式，再根据基本不等式可求得答案.
【详解】由，（且），令，得，所以定点的坐标为，
代入方程得，即，，
，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、问答题
17．已知命题实数x满足，命题q：实数x满足．
(1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围
(2)若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题为假命题，可得，解不等式即可得出答案；
（2）设命题对应的集合为，命题对应的集合为，由命题是命题的必要不充分条件，可得是的真子集，列出不等式组即可得出答案.
【详解】（1）命题为假命题，
则，解得，
所以实数x的取值范围为；
（2）由题意，命题或，
设其对应的集合为，则或，
命题或，
设其对应的集合为，则或，
因为命题是命题的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以（不同时取等号），解得，
所以实数的取值范围为.
五、计算题
18．已知.
(1)化简；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和化弦为切化简函数；
（2）利用同角三角函数的平方关系列式计算即可.
【详解】（1）；
（2）因为，所以，
则，所以，解得，
所以.
六、问答题
19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，；
(1)已知函数的部分图象如图所示，
请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递减区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若关于x的方程有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．（只需写出结论）
【答案】(1)作图见解析，函数 f (x) 的单调递减区间为和．
(2)
(3)．
【分析】（1）利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；
（2）利用函数是奇函数，求函数的解析式；
（3）利用数形结合，转化为与的图象有3个交点，从而得解.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，
结合图象可知，函数 f (x) 的单调递减区间为和．
（2）因为当时，，
所以当时， ，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以当 时，，
故的解析式为.
（3）因为有3个不相等的实数根，等价于与的图象有3个交点，
结合（1）中的图象可知，当时，与的图象有3个交点，
所以.
七、证明题
20．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并给出证明．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）应用配凑法求函数的解析式；
（2）应用定义法证明函数的单调性即可.
【详解】（1），
所以．
（2），在上单调递增，
证明：设，
，
其中，，，所以，
所以，所以在上单调递增．
八、应用题
21．某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．
(1)写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
【答案】(1)，该设备从第2年开始实现总盈利；
(2)方案二更合适，理由见解析.
【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可求得结果；
（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.
【详解】（1）由题意可得，
由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利．
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值160，
此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，
平均盈利额为
，
当且仅当，即时等号成立；
即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元．
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
九、问答题
22．已知函数在上的最大值与最小值之和为．
（1）求实数的值；
（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数在上是单调函数，进而得，解方程得；
（2）根据题意，将问题转化为对于任意的，恒成立，进而求函数的最值即可.
【详解】解：（1）因为函数在上的单调性相同，
所以函数在上是单调函数，
所以函数在上的最大值与最小值之和为，
所以，解得和（舍）
所以实数的值为.
（2）由（1）得，
因为对于任意的，不等式恒成立，
所以对于任意的，恒成立，
当时，为单调递增函数，
所以，所以，即
所以实数的取值范围
【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的，恒成立求解.
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