2023-2024学年广东省深圳实验学校高中部高一上学期第二阶段考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省深圳实验学校高中部高一上学期第二阶段考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的交并补混合运算直接得出答案.
【详解】因为，，，
则，
则，
故选：B.
2．设，不等式的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义、结合选项即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，解得，
由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合.
故选：D.
3．若幂函数的图象不经过原点，则b的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【分析】根据幂函数表达式特征求值再代入验证即可.
【详解】因为是幂函数，
所以，所以或，
当时，图象不经过原点，符合题意；
当时，图象经过原点，不符合题意.
所以b的值为0.
故选：D
4．二次函数在上的最大值为（ ）
A．-1B．0C．3D．4
【答案】C
【分析】利用二次函数的单调性求最大值.
【详解】因为函数是开口向上的抛物线，且对称轴为：，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以函数在上的最大值为：.
故选：C
5．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】采用排除法先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值的符号进行判断.
【详解】从函数图象看，定义域都一样，关于原点对称，
∵，
所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BD；
又，∴可排除A.
故选：C
6．若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．12D．16
【答案】D
【分析】利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】由已知可得，，两边同除得，
所以．
当且仅当时等号成立，
故选：D
7．若实数，函数在R上是单调函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得出分段函数分段单调递增，再结合一次函数与双钩函数单调性的特点即可求解.
【详解】因为实数且函数在上是单调函数，
所以在单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：.
8．已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对，，使得，由包含关系列不等式求解.
【详解】解：，
令，则，
由对勾函数的性质得：m在上递减，在上递增，
所以，则，
易知在上递增，则，
因为对，，使得，
所以，解得，
故选：A
二、多选题
9．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BD
【分析】根据同一函数的定义和判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，
两函数定义域不同，故A错误；
对于B，的定义域为，的定义域为，且，
两函数定义域和对应关系都相同，故B正确；
对于C，的定义域为，的定义域为，
又，两函数对应关系不同，故C错误；
对于D，由得，则的定义域为，
由得，则的定义域为，
且，两函数定义域和对应关系都相同，故D正确.
故选：BD.
10．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，判断函数在上的单调性，利用指数、对数、幂大小比较结合偶函数的性质，比较大小作答.
【详解】因为对任意的，总有，
所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，
对于A，因为在上单调递增，所以，所以，正确；
对于B，因为在上单调递减，所以，
所以，正确；
对于C，因为，所以，
又，所以，正确；
对于D，因为在上单调递增，所以，所以，
又，所以，错误.
故选：ABC
11．已知正实数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式和对勾函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于A，若，，则，且，
故,当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于B，若，，则，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故B错误；
对于C，若，，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D，若，，则，即，
所以，故
所以
函数在单调递减，
所以
即，故D正确.
故选：ACD
12．已知函数，，函数在区间上的最大值为9，最小值为1．函数与函数图象在上有两个不同的交点，则实数k的可能取值为（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】BC
【分析】利用换元法将复合函数的最值转化为二次函数的最值，根据最值待定系数，再将与的图象交点个数转化为二次方程根的分布问题求解的范围即可.
【详解】令，
则，且的值域即为的值域.
由，则的图象开口向上，且对称轴为，
则在单调递增，
故，，
解得，，
故，
因为函数与函数图象在上有两个不同的交点，
则方程，即在有两个不等的实数根，
，则，
即关于的方程在有两个不等的实数根，
令，则图象开口向上，对称轴为，
且，
则有，解得，
故选：BC.
三、填空题
13．已知函数，若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合题意可转化为，在上恒成立，然后分和两种情况求解.
【详解】因为函数的定义域为，所以，在上恒成立，
当时，即，此时，不满足定义域为；
当时，，解得：,
综上：实数的取值范围是.
故答案为：.
14．已知，若，则的值为 .
【答案】或
【分析】分和，由求解.
【详解】当时，，解得；
当时，，解得或（舍去），
综上：的值为或，
故答案为：或
15．已知，，且，则ab的最小值为 ．
【答案】16
【分析】根据给定条件，利用换底公式变形，再利用均值不等式求解作答.
【详解】因为，，则，由，得，
则有，当且仅当，即时取等号，
于是，，
所以当时，ab取得最小值16.
故答案为：16
16．设函数的定义域为R，且对任意实数恒有：①；②；③当时，.若在上恰有三个零点，则的取值范围为 ．
【答案】(3，5)
【分析】根据函数的周期和奇偶性作出和在上的图象，根据交点个数列出不等式解出.
【详解】因为，所以是偶函数， 由得，所以的周期是，
结合时，，得到函数在上的图象，
因为在上恰有三个零点，
所以，解得
所以的取值范围为．
故答案为：.
四、解答题
17．（1）化简求值：
（2）已知,且，求的值．
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）利用指数式、对数式的运算公式求解；
（2）利用指数式的运算求解.
【详解】（1）
.
（2）
，
.
18．已知为定义在R上的偶函数，当时，.
(1)用分段函数表示时的解析式，作出在定义域内的图象，并指出的值域；

(2)讨论直线与图象的交点个数（不需证明）．
【答案】(1)值域为，图象见解析；
(2)答案见解析
【分析】（1）先化简函数解析式，再画出函数图象，结合图象写出函数的值域即可；
（2）结合函数图象可得交点个数.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，

的图象为：

的值域为；
（2）设直线与的图象交点个数为，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
综上，
19．设命题不等式恒成立；命题q: ，使成立.
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题至多有一个是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）由，利用基本不等式求得其最小值即可；
（2）分别求得命题是真命题时的m的范围，再根据“命题至多有一个是真命题”的反面是“两个都是真命题”，先求出对应范围，再求其补集.
【详解】（1），
，
当且仅当，即时等号成立．
所以，即，即，解得，
所以实数m的取值范围是；
（2）当为真命题时，，解得，
当命题都是真命题，则且 ，即，
若命题至多有一个是真命题，则或，
综上，实数m的取值范围为或.
20．在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆.
(1)根据以上数据，试从和两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势并说明理由，设从2019年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；
(2)2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)2028年底
【分析】（1）由增长趋势知，增长快，应选函数模型是，用待定系数法即可求得函数关系式；
（2）设从2019年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，得出关系式，再得出新能源超过传统汽车的不等式，化简求解即可得到结果.
【详解】（1）由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，因此应该选择指数模型，
应选函数模型是（，且），
由题意得得所以；
（2）设从2019年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有，
设从2019年底起经过年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，
则有，
即，
化简得，
解得，
故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车．
21．设函数，.
(1)若的定义域为，求的取值范围；
(2)判断的奇偶性并证明；
(3)若，求的值域.
【答案】(1)；
(2)奇函数，证明见解析；
(3).
【分析】（1）由题意可得对于恒成立，，即有对于恒成立，结合对勾函数的性质及基本不等式求解即可；
（2）分和求出函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义判断、证明即可；
（3），则有，再令，则有，分、结合对勾函数、反比例型函数求解即可.
【详解】（1）解：定义域为R，即对于恒成立，
令，那么，即对于恒成立，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以，
即的取值范围为；
（2）解：定义域分两种情况讨论：
①当时，定义域为R , 定义域关于原点对称.
②当时，定义域不为R
（i）
定义域为，定义域关于原点对称；
（ii）
，解得
即，
所以定义域关于原点对称.
所以的定义域关于原点对称，
下面判断和的关系，
，
即，
所以是奇函数，
综上所述是奇函数；
（3）解：当时，
，
设，
那么，
设，
那么，
①当时，；
②当时，，
因为，
由对勾函数的性质可得
所以，
即
所以
综上，的值域为
22．若,且.
(1)若,求的值；
(2)当时，若方程在上有解，求实数的取值范围；
(3)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）根据等式，代入方程化简求值即可得出；
（2）代入化简得，并得出其定义域，根据成立得出，结合定义域的范围得出，将等式在上有解，转化为整理为在上有解，构造函数，利用二次函数单调性列式求得答案；
（3）先确定函数定义域，若在上恒成立，根据定义域得出，化简整理函数得出，根据结合二次函数性质得出函数函数在区间上单调递增，再根据复合函数的单调性分类讨论函数的最值，将恒成立问题转化为最值问题列式求解即可得出答案.
【详解】（1），
即,解得
（2）当时，，定义域为，
，由，得，
，即，
令，
，
在上单调递增.
在上有解，
，即，解得，
实数的取值范围为.
（3）定义域为，
，
在上恒成立，
，即，解得：，
函数，对称轴为，开口向上
，
，即，
函数在区间上单调递增，
分2类讨论：
①若，则在定义域上单调递减，
则由复合函数单调性可得在上单调递减，
在上的最大值为
在上恒成立，
，
，即，解得或，；
②若，则在定义域上单调递增，
则由复合函数单调性可得在上单调递增，
在上的最大值为
在上恒成立，
，
，即，解得，
，
不存在满足题意.
综上，实数的取值范围为.