湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考卷（四）数学试题（原卷版）

这是一份湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考卷（四）数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 若随机事件A，B满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 设，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数在区间上所有零点的和等于（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
7. 点M是椭圆上点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、
9. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 的方程为B. 的离心率为
C. 曲线经过的一个焦点D. 直线与有两个公共点
10. 已知向量，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，正方体棱长为2，点是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在点，使得二面角大小为
B. 存在点，使得平面与平面平行
C. 当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为
D. 当为中点时，四棱锥外接球的体积为
12. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（ ）
A. 在内单调递增；
B. 和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；
C. 和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；
D. 和之间存在唯一的“隔离直线”.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______．
14. 如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角形，若，，则的面积为________．
15. 已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为______．
16. 在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则|的最小值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数最小值为.
（1）求函数的最大值；
（2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，且函数在上为增函数，求的最大值.
18. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B采取领先3局者获胜。每局不存在平局.假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响.
（1）求甲班在项目A中获胜的概率；
（2）若第二个比赛项目B进行了7局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜.现比赛已经进行了2局，甲班2局全输.设甲班在第二个比赛项目B中参加总局数为X、求随机变量X的分布列及期望.
19. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.
（1）若P是的中点，证明：；
（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.
20. 如图，曲线C由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为A，B，其中的离心率为.
（1）求a，b值；
（2）过点B的直线l与，分别交于点P，Q（均异于点A，B），是否存在直线l，使得以为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数，．
（1）若的最大值是0，求的值；
（2）若对任意，恒成立，求取值范围．
22. 设数列的前n项之积为，满足（）.
（1）设，求数列的通项公式；