胡不归模型巩固练习（基础）

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1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF=30°，DF=12DC，2AD+DC=2(AD+12DC)=2(AD+DF)当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．
【解答】解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：
在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，
∴DF=12DC，
∵2AD+DC=2(AD+12DC)
＝2（AD+DF），
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B＝∠ADB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝4，
∴BC＝8，
∴DC＝BC﹣BD＝4，
∴2AD+DC＝2×4+4＝12，
∴2AD+DC的最小值为12，
故选：D．
【点评】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
2．如图，已知AE∥CD，AB＝2，∠CBE＝2∠A＝60°，P是线段AC上的任意一点，则BP+12CP的最小值为（ ）
A．3B．2C．32+1D．3+1
【分析】由已知可得∠A＝30°，∠ACB＝30°，∠CBE＝∠DCB＝60°，过点B作BQ⊥CD交AC于点P，BP+12CB＝BQ，此时BP+12CP的值最小．
【解答】解：∵∠CBE＝2∠A＝60°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝30°，
∴AB＝BC＝2，
∵AE∥CD，
∴∠CBE＝∠DCB＝60°，
过点B作BQ⊥CD交AC于点P，
∵∠DCA＝30°，
∴PQ=12PC，
∴BP+12CB＝BQ，此时BP+12CP的值最小；
∴BQ＝BC•sin60°=3，
故选：A．
【点评】本题考查最短距离、平行线的性质；由胡不归原理求线段的最短距离，利用平行线和直角三角形的知识求解是关键．
3．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则AE+12BE的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【分析】过E作EM⊥BC于M，过H作AH⊥BC于H，交BD于E'，由△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，可得EM=12BE，当AE+12BE最小时，AE+EM最小，此时E与E'重合，M与H重合，AE+12BE的最小值为AH的长度，在Rt△ABH中，有AH＝AB•sin∠ABH＝2×sin60°=3，故AE+12BE最小值为3．
【解答】解：过E作EM⊥BC于M，过H作AH⊥BC于H，交BD于E'，如图：
∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠EBM＝30°，
∴EM=12BE，
∴AE+12BE＝AE+EM，
当AE+12BE最小时，AE+EM最小，此时E与E'重合，M与H重合，AE+12BE的最小值为AH的长度，
在Rt△ABH中，
AH＝AB•sin∠ABH＝2×sin60°=3，
∴AE+12BE最小值为3，
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质，涉及胡不归问题，解题的关键是转化思想的应用．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+83x与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（ ）
A．24B．25C．30D．36
【分析】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，再证明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，进而可得3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM），当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据ANOA=BDOB求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解．
【解答】解：连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图，
令y＝0，得方程−49x2+83x=0，
解得：x1＝0，x2＝6，
∴A点坐标为（6，0），即OA＝6，
将y=−49x2+83x配成顶点式得：y=−49(x−3)2+4，
∴B点坐标为（3，4），
∴BD＝4，OD＝3，
∵CM⊥OB，AN⊥OB，
∴∠BMC＝∠ANO＝90°，
根据抛物线对称轴的性质可知BD⊥OA，
∴∠BDO＝90°，
在Rt△BDO中，
利用勾股定理得OB=OD2+BD2=32+42=5，
∵∠OBD＝∠CBM，∠BDO＝∠BMC＝90°，
∴△OBD∽△CBM，
同理可证得△OBD∽△OAN，
∴BCMC=BOOD，ANOA=BDOB，
∴BCMC=BOOD=53，即3BC＝5MC，
∴3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM），
∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，
∴AC+CM最小值为AN，如图所示，
∵ANOA=BDOB，
∴AN=BDOB×OA=45×6=245，
∴AC+CM最小值245，
∴即3BC+5AC＝5（AC+CM）＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC＝5MC，进而得出3BC+5AC＝5（AC+CM）是解答本题的关键．
二．填空题
5．如图，▱ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P为边CD上一点，则3PD+2PB最小值为 63 ．
【分析】由直角三角形的性质可得DH=12DP，HP=3DH=32DP，则当点H，点P，点H三点共线时，HP+PB有最小值，即3PD+2PB有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，过点P作PH⊥AD，交AD的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠CDH＝60°，
∵HP⊥AD，
∴∠DPH＝30°，
∴DH=12DP，HP=3DH=32DP，
∵3PD+2PB＝2（32PD+PB）＝2（HP+PB），
∴当点H，点P，点B三点共线时，HP+PB有最小值，即3PD+2PB有最小值，
此时：BH⊥AH，∠A＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴AH=12AB＝3，BH=3AH＝33，
则3PD+2PB最小值为63，
故答案为：63．
【点评】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，构造直角三角形是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x−3分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 6 ．
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点B'，可证△ABB'是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH=12AC，则2BC+AC＝2（B'C+CH），即当点B'，点C，点H三点共线时，B'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵一次函数y=33x−3分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点B（0，−3），
∴AO＝3，BO=3，
∴AB=AO2+OB2=9+3=23，
如图，作点B关于OA的对称点B'，连接 AB'，B'C，过点C作CH⊥AB于H，
∴OB＝OB'=3，
又∵AO⊥BB'，
∴BB'＝23，AB＝AB'＝23，BC＝B'C，
∴AB＝BB'＝B'A，
∴△ABB'是等边三角形，
∵AO⊥BB'，
∴∠BAO＝30°，
∵CH⊥AB，
∴CH=12AC，
∴2BC+AC＝2（BC+12AC）＝2（B'C+CH），
∴当点B'，点C，点H三点共线时，B'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，
此时，B'H⊥AB，△ABB'是等边三角形，
∴BH＝AH=3，∠BB'H＝30°，
∴B'H=3BH＝3，
∴2BC+AC的最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
7．如图，△ABC中，AB＝AC＝20，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是 85 ．
【分析】过D点作DF⊥AB于F，CH⊥AB于H，如图，利用等角的余角相等得到∠ABE＝∠ACH，在Rt△ABE中根据正切的定义得到tanA=CHAH=2，则可设AH＝x，CH＝2x，所以AC=5x＝20，解方程得到AH＝45，CH＝85，则sin∠ACH＝tanABE=55，在Rt△BDF中利用正弦的定义得到DF=55BD，从而得到CD+55BD＝CD+DF，然后根据垂线段最短解决问题．
【解答】解：过D点作DF⊥AB于F，CH⊥AB于H，如图，
∵BE⊥AC，DF⊥AB，CH⊥AB，
∴∠∠BFD＝∠AEB＝∠AHC＝90°，
∵∠A+∠ABE＝90°，∠A+∠ACH＝90°，
∴∠ABE＝∠ACH，
在Rt△ABE中，∵tanA=CHAH=2，
∴设AH＝x，CH＝2x，
∴AC=x2+(2x)2=5x，
即5x＝20，
解得x＝45，
∴AH＝45，CH＝85，
∴sin∠ACH=AHAC=4520=55，
∴tanABE=55，
在Rt△BDF中，∵sin∠FBD=DFBD=55，
∴DF=55BD，
∴CD+55BD＝CD+DF，
∵CD+DF≥CH（当且仅当C、D、F共线时取等号），
∴CD+55BD的最小值是85．
故答案为：85．
【点评】本题考查了胡不归问题：用垂线段DF表示55BD和运用垂线段最短是解决问题的关键．也考查了解直角三角形．
8．如图，矩形OABC两边与坐标轴正半轴重合，Q是AB边上的一个动点，P是经过A，C两点的直线y=−3x+23上的一个动点，则4PQ+2CP的最小值是 8 ．
【分析】4PQ+2CP＝4（PQ+12CP），再考虑胡不归．
【解答】解：过P作PM⊥OC，垂足为M，过Q作QN⊥OC，垂足为N，
当x＝0时，y=−3x+23=23，
∴OC＝23，
令y=−3x+23=0得x＝2，
∴OA＝2，
∴tan∠OCA=OAOC=223=33，
∴∠OCA＝30°，
∴PM＝PC•sin∠OCA＝PC•sin30°=12PC，
∴4PQ+2CP＝4（PQ+12CP）＝4（PQ+PM）≥4QN＝4×2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了胡不归模型，关键是将4PQ+2CP提取系数4．
三．解答题
9．（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长；
（2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．点P是线段AC上的动点，当AP+5PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明）
【分析】（1）作∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，点D即为所求；过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N．利用全等三角形的性质证明AM＝AN＝5，可求解；
（2）取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求作．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求作．
如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N．
在△ADM和△ADN中，
∠DAM=∠DAN∠AMD=∠AND=90°AD=AD，
∴△ADM≌△ADN（AAS），
∴DM＝DN，AM＝AN，
∵∠DAB＝∠DAC，
∴DB=DC，
∴DB＝DC，
∵∠DMB＝∠N＝90°，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
DB=DCDM=DN，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM＝CN，
∵AB+AC＝AM+BM+AN﹣CN＝2AN＝10，
∴AN＝5，
∴AD=ANcs30°=532=1033；
（2）如图2，点P为所求，
步骤：取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求．
【点评】本题考查了胡不归问题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并求出这个最小值．
【分析】（1）根据旋转的性质得BM＝BN，∠MBN＝60°，则可判断△ABE是等边三角形，得到BA＝BE，∠ABE＝60°，易得∠ABM＝∠EBN，然后根据“SAS”可判断△AMB≌△ENB；
（2）①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，根据正方形的性质得AC＝2，点O为BD的中点，根据两点之间线段最短得到AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），于是得到当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小；
②由△BMN为等边三角形得BM＝MN，由△AMB≌△ENB得EN＝AM，根据两点之间线段最短，当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，如图2，作EH⊥BC于H，先计算出∠EBH＝30°，在Rt△EBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到EH=12BE=22，BH=3EH=62，然后在Rt△EHC中，根据勾股定理可计算出CE=3+1．
【解答】（1）证明：∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴BM＝BN，∠MBN＝60°，
∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°，
∵∠ABM+∠ABN＝60°，∠EBN+∠ABN＝60°，
∴∠ABM＝∠EBN，
在△AMB和△ENB中，
AB=EB∠ABM=∠EBNBM=BN，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）解：①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AC=2×2=2，点O为BD的中点，
∵AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），
∴当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为2；
②∵△BMN为等边三角形，
∴BM＝MN，
∵△AMB≌△ENB，
∴EN＝AM，
∴当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，如图2，
作EH⊥BC于H，
∵∠ABE＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠EBH＝30°，
在Rt△EBH中，EH=12BE=22，
BH=3EH=62，
在Rt△EHC中，CH＝BH+BC=62+2，
∴CE2＝CH2+EH2＝（62+2）2+（22）2＝4+23=（3+1）2，
∴CE=3+1，
∴当M点在CE上时，AM+BM+CM的值最小，这个最小值为3+1．
【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质；会利用含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理进行计算；会运用两点之间线段最短解决有关线段的和的最小值问题．
11．如图，二次函数y1＝k（x+2）（x﹣4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C．经过点B的直线y2＝﹣x+b与二次函数图象的另一交点为D，交y轴于E．
（1）求b的值；
（2）连接OD，若△OBE与△OED的面积之比为4：5，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中所用时间最少？
【分析】（1）由题意可求点A，点B坐标，将点B坐标代入一次函数解析式可求b的值；
（2）设点D（m，n），由△OBE与△OED的面积之比为4：5，可求m的值，代入一次函数解析式可求点D坐标，将点D坐标代入二次函数解析式可k的值，即可求二次函数的表达式；
（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF1+DF2=AF+FH；再由垂线段最短，得到垂线段AG与直线BD的交点，即为所求的F点．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝k（x+2）（x﹣4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点，
∴k（x+2）（x﹣4）＝0
∴x1＝﹣2，x2＝4
∴A（﹣2，0），点B（4，0）
∵直线y2＝﹣x+b经过点B
∴0＝﹣4+b
∴b＝4
（2）设点D（m，n）
∵直线y2＝﹣x+4经过点E
∴E（0，4）
∵△OBE与△OED的面积之比为4：5，
∴（12×4×4）：[12×4×（﹣m）]＝4：5
∴m＝﹣5
∵点D在直线直线y2＝﹣x+4上，
∴n＝5+4＝9
∴点D（﹣5，9）
∵点D在二次函数y1＝k（x+2）（x﹣4）上
∴9＝k×（﹣3）×（﹣9）
∴k=13
∴二次函数解析式为：y1=13（x+2）（x﹣4）=13x2−23x−83，
（3）如图，过点D作DP∥x轴，过点A作AG⊥DP于点G，过点F作FH⊥DP于点H，
∵点E（0，4），点B（4，0）
∴OE＝OB＝4
∴∠OBE＝45°
∵DP∥x轴，
∴∠HDF＝∠OBE＝45°
∵FH⊥DP
∴∠HFD＝∠HDF＝45°
∴DH＝HF
∴DF=2HF
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF1+FD2=AF+HF，
即运动的时间值等于折线AF+FH的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FH的长度的最小值为DP与x轴之间的垂线段AG的长．
∴AG与BD的交点为点F
∴点F的横坐标为﹣2，
∴y＝2+4＝6
∴点F坐标为（﹣2，6）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，函数极值的确定方法，解（1）的关键是求出点B的坐标，解（2）的关键是用三角形的面积公式求出点D坐标，解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题．
12．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或点C重合），分别过B，C，D，作射线AP的垂线，垂足分别是B'，C'，D'，求BB'+CC'+DD'的最大值和最小值．
【分析】找到S四边形BCDA＝S△ABP+S△ADP+S△DPC的等量关系，并且根据本等量关系计算得BB′+CC′+DD′=2AP，根据AP的取值范围计算BB′+CC′+DD′的最小值和最大值
【解答】解：连接AC和DP，
∵S△DPC＝S△APC=12AP•CC′，
∴S四边形BCDA＝S△ABP+S△ADP+S△DPC
=12AP（BB′+DD′+CC′）＝1，
∴BB′+CC′+DD′=2AP．
又∵AB≤AP≤AC，即1≤AP≤2，
故2≤BB′+CC′+DD′≤2，
∴BB′+CC′+DD′的最小值为2，
最大值为2．
故最大值为2，最小值为2．
【点评】本题涉及垂线可考虑用面积法来求．故找到S四边形BCDA＝S△ABP+S△ADP+S△DPC的等量关系，本题考查了极值的运算，考查了正方形各边均相等且各内角为90°的性质，解本题的关键是化简得到BB′+CC′+DD′=2AP的方程式，并根据AP的取值范围求解．
13．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，求2AD+DC的最小值．
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E 分别是BC，AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，求PA+14PB的最小值．
【分析】（1）过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DF=12DC，2AD+DC＝2（AD+12DC）＝2（AD+DF），当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．
（2）如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF．利用相似三角形的性质证明PF=14PB，根据PF+PA≥AF，利用勾股定理求出AF即可解决问题．
【解答】解：（1）过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图①，
在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，
∴DF=12DC，
∵2AD+DC＝2（AD+12DC）＝2（AD+DF），
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B＝∠ADB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴BC＝4，
∴DC＝BC﹣BD＝4﹣2＝2，
∴2AD+DC＝2×2+2＝6，
∴2AD+DC的最小值为6．
（2）如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF．
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，
∴PC=12DE＝2，
∵CFCP=14，CPCB=14，
∴CFCP=CPCB，
∵∠PCF＝∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
∴PFPB=CFCP=14，
∴PF=14PB，
∴PA+14PB＝PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF=CF2+AC2=(12)2+62=1452，
∴PA+14PB≥1452，
∴PA+14PB的最小值为1452．
【点评】本题考查垂线段最短，勾股定理，胡不归模型，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为y轴上一个动点，连接BP，求10CP+10BP的最小值；
（3）连接AC，在x轴上是否存在一点P，使得∠PCO+∠ACO＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式；
（2）对条件10CP+10BP提取系数10，再利用胡不归模型；
（3）构造和∠ACO相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴a−b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−1b=2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点P作PM⊥AC，垂足为M，过点B作BN⊥AC，垂足为N，
在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
在△AOC中，OA＝1，OC＝3，AC=10，
∴sin∠ACO=OAAC=1010，
在△CMP中，sin∠ACO=MPCP=1010，
∴MP=1010CP，
∵S△ABC=12×AB×OC=12×4×3=12×AC×BN=12×10×BN，
∴BN=6105，
∴10CP+10BP＝10（1010CP+BP）＝10（MP+BP）≥10BN＝10×6105=1210，
∴10CP+10BP的最小值为1210．
（3）如图，∠PCO+∠ACO＝45°，
∴∠ACP＝45°，
∵OA＝OB＝3，
∴△COB是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴∠ACO＝∠PCB，
过点B作PQ⊥BC，垂足为Q，
∴tan∠PCB=PQCQ=tan∠ACO=OAOC=13，
∴CQ＝3PQ，
设OP＝x，则PB＝3﹣x，BQ＝PQ=22（3﹣x），
又CQ+PQ＝BC=32，
∴3×22×（3﹣x）+22（3﹣x）＝32，
∴x=32，
∴P（32，0）．
由对称性得，P'（−32，0）也满足题意，
∴P（32，0）或（−32，0）．
【点评】本题考查了二次函数用待定系数法求表达式，胡不归模型等．第（3）问关键是构造和∠ACO相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．