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福建省百校联考2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题
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这是一份福建省百校联考2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题，共15页。试卷主要包含了答题前，若，，则，设等比数列的公比为，，设甲，已知双曲线，已知圆，已知正实数，满足，则等内容，欢迎下载使用。
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前.先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，为单位向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.若函数为偶函数，则实数（ ）
A.1B.0C.-1D.2
5.刍甍是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面为矩形，顶棱和底面平行，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一·即（其中是刍甍的高，即顶棱到底面的距离），已知，和均为等边三角形，若二面角和的大小均为150°，则该刍甍的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.若，，则（ ）
A.-1B. C. D.
7.设等比数列的公比为，，设甲：；乙：，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.已知双曲线：，点，，若上存在三个不同的点满足，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知圆：，圆：，则下列结论正确的是（ ）
A.若和外离，则或
B.若和外切，则
C.当时，有且仅有一条直线与和均相切
D.当时，和内含
10.已知正实数，满足，则（ ）
A. B.
C. 的最大值为0D. 的最小值为
11.已知，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
12.在三棱锥中，平面，，，为内的一个动点（包括边界），与平面所成的角为45°，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最大值为
C.有且仅有一个点，使得
D.所有满足条件的线段形成的曲面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设是公差不为0的等差数列的前项和，若，则_________.
14.已知函数，且为曲线的一条切线，则_________.
15.设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭圆的长轴长为_________.
16.已知函数，若，且，则_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17.（本小题满分10分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，且.
（1）求的外接圆的半径；
（2）若，且，求边上的高
18.（本小题满分12分）
设为数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：.
19.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设，分别为的极大值点、极小值点，求的取值范围.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，，，设E，F，M分别为棱，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）证明：有唯一的极值点；
（2）若，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知抛物线：，F为C的焦点，在上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与交于A，B两点（A，B分别位于直线的两侧），且直线，的斜率之和为0.
（ⅰ）求直线的斜率：
（ⅱ）求的面积的最大值.
2024届高三12月质量检测·数学
参考答案、提示及评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】由，解得，所以，因为，所以，，故选B.
2.【答案】C
【解析】因为，，所以，故选C.
3.【答案】D
【解析】依题意，，因为，所以，故选D.
4.【答案】D
【解析】由题意，,
所以，所以，解得，故选D.
5.【答案】A
【解析】设和分别是，在底面的投影，设为的中点，则，，，所以，，故选A.
6.【答案】B
【解析】因为，解得，
所以，故选B.
7.【答案】C
【解析】考虑充分性：因为，当时，，所以，满足充分性；考虑必要性：，即，当，，当时，正负交替，不可能恒大于0，当时，，当，，满足必要性，所以甲是乙的充要条件，故选C.
8.【答案】A
【解析】设，由，可得，整理得，将点的轨迹与双曲线联立，即，整理得，解得或，所以，解得，所以的离心率，故选A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】ABC
【解析】，，，，，
若和外离，则，解得或，A选项正确；
若和外切，，解得，B选项正确；
当时，，和内切，故仅有一条公切线，C选项正确；
当时，，和相交，D选项错误；
故选ABC.
10.【答案】BC
【解析】，当且仅当，即，时等号成立，所以，A选项错误；
由，可知，所以，当且仅当，即，时等号成立，B选项正确；
由，可知，所以，当且仅当时等号成立，C选项正确；
，当时等号成立，由B可知，，当且仅当时等号成立，因为前后两次不等式取等条件不一致，所以，D选项错误，故选BC.
11.【答案】ABD
【解析】因为，所以，又，均单调递增，所以单调递增，故，A选项正确；
由A可知，所以，B选项正确；
因为单调递增，且，，
根据零点存在定理，有，，C选项错误；
，因为二次函数的对称轴为1，且在区间上单调递减，所以，D选项正确，
故选ABD.
12.【答案】ACD
【解析】依题意，，取的中点，则，，
所以平面，过作于，因为平面，
所以，且，所以平面，易得，且为等边的外心，
由与平面所成角为45°，可知，
所以点轨迹是以为圆心，以为半径的圆在内部的一部分，
如图所示，
所以的最小值为，A选项正确；
由于轨迹圆部分在平面外部，所以的最大值不等于，B选项错误；
因为平面，若，则点在线段上，有且仅有一个点满足题意，C选项正确；
动线段形成的曲面为圆锥侧面积的一部分，
因为，所以，
因为，所以曲面面积为圆锥侧面面积的，
圆锥侧面积为，
所以所有满足条件的动线段形成的曲面面积为，D选项正确，故选ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
【解析】因为，即，所以，.
14.【答案】2
【解析】，，设切点为，
则切线方程为，
依题意，且，解得.
15.【答案】
【解析】
，
∵，∴，∴
∴长轴长.
16【答案】
【解析】由可知，当时，取得最大值，所以，
又，即，
因为，所以，解得，所以，
.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.【答案】（1）1（2）
【解析】（1）依题意，所以，
由正弦定理，得，
所以的外接圆半径为1；
（2）由（1）可知，解得，
由余弦定理，得，
即，解得，
设边上的高为，则，所以.
18.【答案】（1）（2）略
【解析】（1）解：因为①，
当时，②，
①-②，可得，所以时，，
当时，，
又当时，，
当时，，所以，
所以当时符合，
综上，；
（2）证明：由（1）知，，
所以
.
19.【答案】（1）详解见解析（2）
【解析】（1），
当时，，单调递增；
当时，令，解得或，
所以当时，，，
∴在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，，
∴在，上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，由（1）可知，，，
则，，
所以，
设，则，
所以在上单调递增，，
所以的取值范围是.
20.【答案】（1）略（2）
【解析】（1）证明：取的中点，则，且，
又，且，所以，所以四边形N为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面；
（2）解：作的中点，连接，
∵，∴，
又∵，是的中点，∴，
又∵，，，是的中点，∴，
∵，∴平面，，
∵，，，平面，∴平面，
不妨设，
以点为坐标原点，分别以，过点平行于的直线，所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
，，，
则，.
因为为的中点，所以，，
由（1）可知，，所以与平面所成角，
即为与平面所成角，设为平面的一个法向量，
则由得令，则，
即.
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
21.【答案】（1）略（2）
【解析】（1）证明：，
设，则，
所以在上单调递增，
又，
取，且，且，
所以存在唯一，使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，取得极小值，所以有唯一极值点；
（2）解：由（1）可知，，即，
依题意，，
将代入整理可得，，
设，则，
所以单调递减，又，所以，故，
所以，解得，
所以的取值范围是.
2.【答案】（1）（2）（i）（ii）
【解析】（1）易知的准线为，
由抛物线的定义得，解得，
所以C的方程为；
（2）（i）将代入C的方程，解得，所以，
设，，
则直线斜率为，
因为，则直线斜率为，
同理可得直线斜率为，
依题意，解得，
所以直线的斜率为；
（ii）设直线：，与抛物线方程联立可得
整理得，，
，，
因为A，B分别位于直线的两侧，
所以，所以，
，
点到直线的距离为，
面积为，
设，，，
，或（舍），
故面积的最大值为.
所以面积的最大值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
D
A
B
C
A
题号
9
10
11
12
答案
ABC
BC
ABD
ACD
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前.先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，为单位向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.若函数为偶函数，则实数（ ）
A.1B.0C.-1D.2
5.刍甍是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面为矩形，顶棱和底面平行，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一·即（其中是刍甍的高，即顶棱到底面的距离），已知，和均为等边三角形，若二面角和的大小均为150°，则该刍甍的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.若，，则（ ）
A.-1B. C. D.
7.设等比数列的公比为，，设甲：；乙：，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.已知双曲线：，点，，若上存在三个不同的点满足，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知圆：，圆：，则下列结论正确的是（ ）
A.若和外离，则或
B.若和外切，则
C.当时，有且仅有一条直线与和均相切
D.当时，和内含
10.已知正实数，满足，则（ ）
A. B.
C. 的最大值为0D. 的最小值为
11.已知，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
12.在三棱锥中，平面，，，为内的一个动点（包括边界），与平面所成的角为45°，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最大值为
C.有且仅有一个点，使得
D.所有满足条件的线段形成的曲面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设是公差不为0的等差数列的前项和，若，则_________.
14.已知函数，且为曲线的一条切线，则_________.
15.设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭圆的长轴长为_________.
16.已知函数，若，且，则_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17.（本小题满分10分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，且.
（1）求的外接圆的半径；
（2）若，且，求边上的高
18.（本小题满分12分）
设为数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：.
19.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设，分别为的极大值点、极小值点，求的取值范围.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，，，设E，F，M分别为棱，，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）证明：有唯一的极值点；
（2）若，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知抛物线：，F为C的焦点，在上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与交于A，B两点（A，B分别位于直线的两侧），且直线，的斜率之和为0.
（ⅰ）求直线的斜率：
（ⅱ）求的面积的最大值.
2024届高三12月质量检测·数学
参考答案、提示及评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】由，解得，所以，因为，所以，，故选B.
2.【答案】C
【解析】因为，，所以，故选C.
3.【答案】D
【解析】依题意，，因为，所以，故选D.
4.【答案】D
【解析】由题意，,
所以，所以，解得，故选D.
5.【答案】A
【解析】设和分别是，在底面的投影，设为的中点，则，，，所以，，故选A.
6.【答案】B
【解析】因为，解得，
所以，故选B.
7.【答案】C
【解析】考虑充分性：因为，当时，，所以，满足充分性；考虑必要性：，即，当，，当时，正负交替，不可能恒大于0，当时，，当，，满足必要性，所以甲是乙的充要条件，故选C.
8.【答案】A
【解析】设，由，可得，整理得，将点的轨迹与双曲线联立，即，整理得，解得或，所以，解得，所以的离心率，故选A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】ABC
【解析】，，，，，
若和外离，则，解得或，A选项正确；
若和外切，，解得，B选项正确；
当时，，和内切，故仅有一条公切线，C选项正确；
当时，，和相交，D选项错误；
故选ABC.
10.【答案】BC
【解析】，当且仅当，即，时等号成立，所以，A选项错误；
由，可知，所以，当且仅当，即，时等号成立，B选项正确；
由，可知，所以，当且仅当时等号成立，C选项正确；
，当时等号成立，由B可知，，当且仅当时等号成立，因为前后两次不等式取等条件不一致，所以，D选项错误，故选BC.
11.【答案】ABD
【解析】因为，所以，又，均单调递增，所以单调递增，故，A选项正确；
由A可知，所以，B选项正确；
因为单调递增，且，，
根据零点存在定理，有，，C选项错误；
，因为二次函数的对称轴为1，且在区间上单调递减，所以，D选项正确，
故选ABD.
12.【答案】ACD
【解析】依题意，，取的中点，则，，
所以平面，过作于，因为平面，
所以，且，所以平面，易得，且为等边的外心，
由与平面所成角为45°，可知，
所以点轨迹是以为圆心，以为半径的圆在内部的一部分，
如图所示，
所以的最小值为，A选项正确；
由于轨迹圆部分在平面外部，所以的最大值不等于，B选项错误；
因为平面，若，则点在线段上，有且仅有一个点满足题意，C选项正确；
动线段形成的曲面为圆锥侧面积的一部分，
因为，所以，
因为，所以曲面面积为圆锥侧面面积的，
圆锥侧面积为，
所以所有满足条件的动线段形成的曲面面积为，D选项正确，故选ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
【解析】因为，即，所以，.
14.【答案】2
【解析】，，设切点为，
则切线方程为，
依题意，且，解得.
15.【答案】
【解析】
，
∵，∴，∴
∴长轴长.
16【答案】
【解析】由可知，当时，取得最大值，所以，
又，即，
因为，所以，解得，所以，
.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.【答案】（1）1（2）
【解析】（1）依题意，所以，
由正弦定理，得，
所以的外接圆半径为1；
（2）由（1）可知，解得，
由余弦定理，得，
即，解得，
设边上的高为，则，所以.
18.【答案】（1）（2）略
【解析】（1）解：因为①，
当时，②，
①-②，可得，所以时，，
当时，，
又当时，，
当时，，所以，
所以当时符合，
综上，；
（2）证明：由（1）知，，
所以
.
19.【答案】（1）详解见解析（2）
【解析】（1），
当时，，单调递增；
当时，令，解得或，
所以当时，，，
∴在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，，
∴在，上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，由（1）可知，，，
则，，
所以，
设，则，
所以在上单调递增，，
所以的取值范围是.
20.【答案】（1）略（2）
【解析】（1）证明：取的中点，则，且，
又，且，所以，所以四边形N为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面；
（2）解：作的中点，连接，
∵，∴，
又∵，是的中点，∴，
又∵，，，是的中点，∴，
∵，∴平面，，
∵，，，平面，∴平面，
不妨设，
以点为坐标原点，分别以，过点平行于的直线，所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
，，，
则，.
因为为的中点，所以，，
由（1）可知，，所以与平面所成角，
即为与平面所成角，设为平面的一个法向量，
则由得令，则，
即.
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
21.【答案】（1）略（2）
【解析】（1）证明：，
设，则，
所以在上单调递增，
又，
取，且，且，
所以存在唯一，使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，取得极小值，所以有唯一极值点；
（2）解：由（1）可知，，即，
依题意，，
将代入整理可得，，
设，则，
所以单调递减，又，所以，故，
所以，解得，
所以的取值范围是.
2.【答案】（1）（2）（i）（ii）
【解析】（1）易知的准线为，
由抛物线的定义得，解得，
所以C的方程为；
（2）（i）将代入C的方程，解得，所以，
设，，
则直线斜率为，
因为，则直线斜率为，
同理可得直线斜率为，
依题意，解得，
所以直线的斜率为；
（ii）设直线：，与抛物线方程联立可得
整理得，，
，，
因为A，B分别位于直线的两侧，
所以，所以，
，
点到直线的距离为，
面积为，
设，，，
，或（舍），
故面积的最大值为.
所以面积的最大值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
D
A
B
C
A
题号
9
10
11
12
答案
ABC
BC
ABD
ACD
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