福建省百校联考2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题及答案

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（在此卷上答题无效）
2023~2024学年高中毕业班第一学期期中考试
数学试题
2023.11
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．图中的阴影部分表示的集合为（ ）．
A．B．
C．D．
2．若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的部分图象为（ ）．
A．B．
C．D．
4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度（单位：米）约为（ ）．
A．3B．4C．D．
5．已知数列满足，且，若，则正整数k为（ ）．
A．13B．12C．11D．10
6．如图，AB是圆O的一条直径，且．C，D是圆O上的任意两点，．点P在线段CD上，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
7．已知直线，是函数图像相邻的两条对称轴，将的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像．若在上恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
8．已知，，，则（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．的最小值为3B．ab的最大值为1
C．的最小值为2D．的最小值为2
10．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则（ ）．
函数在上单调递增
圆的半径为
C．函数的图象关于点成中心对称
D．函数在上单调递减
11．如图，在长方体，，E，F分别是棱AD，的中点，点P在侧面内，且，则三棱锥外接球表面积的取值可能是（ ）．
A．B．C．D．
12．已知数列满足，，则下列说法正确的有（ ）．
A．B．
C．若，则D．
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，且，则______．
14．已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为______．
15．已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______．
16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点．”在ABC中，，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，则______；若的面积为，则三角形中的最大值为______．
四、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程在上恰有两个实数根，求实数a的取值范围．
18．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．
19．设数列前n项和满足，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前n项和．
20．如图，在四棱锥中，PAD为等边三角形，M为PA的中点，，平面平面ABCD．
（1）证明：平面平面PAB；
（2）若，，，直线PB与平面MCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
21．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数，的图像，图像的最高点为．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且，游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DE．
（1）求曲线段FGBC的函数表达式；
（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；
（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值．
22．已知函数．
（1）求在的单调区间与最值；
（2）当时，若，证明：有且仅有两个零点．
2023年~2024学年高中毕业班第一学期期中考试
数学评分参考标准
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．15．16．，4
四、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1），
将函数的图象向左平移个单位长度后，
所得函数为，
∴，，∴，．
又，∴，∴．
（2）∵，∴，
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减．
且，，．
∵方程在上恰有两个实数根，
∴，∴实数a的取值范围为．
18．解：（1）∵，，
当，，∴在单调递增，
当时，，
令，得，得，
∴在单调递增，在单调递减．
综上，时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减．
（2）∵，∴，
∴，∴，
令，∴，
令，，∴在单调递减．
∵
∵，
∴，使得，即，，
当，，，单调递增，
当，，，单调递减，
∴，
∵，，∴，∴m的最小值为3．
19．（1）证明：∵，且，
∴，
∴，∴，
令，可得，∴，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）可得，
∴，∴，
∴，
∴．
20．【解析】（1）取AD中点为N，连接PN，
因为PAD为等边三角形，所以，
且平面平面ABCD，平面平面，面PAD，
所以平面ABCD，
又平面ABCD，所以，
又因为，，PN，平面PAD，
所以平面PAD，
又因为平面PAD，所以，
因为M为AP中点，所以，且，PA，平面PAD，
所以平面PAB，且平面CDM，
所以平面平面PAB．
（2）由（1）可知，且，，
所以平面PAD，且平面PAD，所以，
以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则可得
，，，，，，
即，，，
设平面MCD的法向量为，
则
则可得，取，则，，
所以平面MCD的一个法向量为，
设直线PB与平面MCD所成角为，
所以，
解得，或，即（舍去）或1，
所以，．
21．解：（1）由已知条件，得，
又∵，，∴．
又∵当时，有，∴，
∴曲线段FBC的解析式为，．
（2）由得，
又，∴，，∴，，
∴景观路GO长为千米．
（3）如图，，，∴，，
作轴于点，在中，，
在中，，
∴，
，
当时，即时，平行四边形面积最大值为．
22．解：（1）∵，
解得或0或，
∴与的分布列如下：
所以，的增区间为：，，减区间为：，，
的最大值为，最小值为．
（2）的定义域为R，
∵，
所以为偶函数．
∵，∴当时，有且仅有两个零点
当时，在上有且仅有一个零点．
∵，
当时，若，则，所以在上单调递减，
∵，∴在上有且仅有一个零点；
当时，存在，使得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，在递增，在上递减，
在上单调递增，
，，可得，
当时，，
所以，
所以，在上有且仅有一个零点，综上，当时，有且仅有两个零点．1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
C
C
B
D
A
A
9
10
11
12
ABD
CD
BCD
BCD
x
0
＋
－
＋
－
↑
极大值
↓
极小值1
↑
极大值
↓