2023-2024学年江苏省扬州市广陵区新华中学高一（上）期中数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市广陵区新华中学高一（上）期中数学试卷(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合M={1,2,3,4}，N={3,4,5}，则M∪N=( )
A. {1,2}B. {3,4}C. {5}D. {1,2,3,4,5}
2.命题“∃x∈R，x+2≤0”的否定是( )
A. ∃x∈R，x+2>0B. ∃x∉R，x+2≤0
C. ∀x∈R，x+2≤0D. ∀x∈R，x+2>0
3.函数f(2x+1)=x2−3x+1，则f(3)=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
4.我们知道，任何一个正数N可以用科学记数法表示成N=a×10n(1≤a0，则bam−x+m,x≤m，则下列说法正确的是( )
A. 当m=1时，f(x)的单调减区间为(−∞,1]∪[2,+∞)
B. 函数f(x)为R上的单调函数，则m≤0
C. 若f(x−1)>f(x)恒成立，则实数m的取值范围是(−∞,12)
D. 对∀x1，x2∈[m,+∞)，不等式f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=(x−2)0 x+1的定义域为______ ．
14.已知a，b∈R，则“ab=0”是“a2+b2=0”的______ 条件(填充“充分不必要条件、必要不充分、充要条件、既不充分又不必要条件”)
15.已知函数f(x)=x2−kx−8在(5,6)上具有单调性，则实数k的取值范围是______ ．
16.有同学发现：函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是f(x+a)+f(a−x)=2b.根据以上结论，则函数f(x)=x3−3x2的对称中心是______ ；若n为正整数，则f(−n)+f(−n+1)+f(−n+2)+⋯+f(0)+f(1)+⋯+f(n+2)= ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)已知lg2=m，lg3=n，试用m，n表示lg512；
(2)已知x+x−1=3(0f(3)，
又因为函数f(x)为R上的单调递增函数，
所以−x2+5x−1>3，即x2−5x+41，且b>1；
1a+1b=1变形为a+bab=1，∴ab=a+b，∴ab−a−b=0，∴(a−1)(b−1)=1，∴a−1=1b−1；
∴a−1>0，∴1a−1+9b−1=1a−1+9(a−1)≥2 1a−1⋅9(a−1)=6，
当且仅当1a−1=9(a−1)，即a=1±13时取“=”(由于a>1，故取a=43)，
∴1a−1+9b−1的最小值为6；
故选：B．
正数a，b满足1a+1b=1，可得a>1，且b>1；即a−1>0，且b−1>0；由1a+1b=1变形为a−1=1b−1；化1a−1+9b−1为1a−1+9(a−1)应用基本不等式可求最小值．
本题考查了基本不等式的灵活应用问题，应用基本不等式a+b≥2 ab时，要注意条件a>0，且b>0，在a=b时取“=”．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，因为a>b，c>d，则a−b>0，c−d>0，
所以a+c−(b+d)=(a−b)+(c−d)>0，即a+c>b+d，故A正确；
对于B，由a>b，假设0>a>b，有a2ab>b2，故C正确；
对于D，因为a>b>c>0，所以ba−b+ca+c=ab+bc−ab−aca(a+c)=c(b−a)a(a+c)f(x)恒成立表示的几何意义是函数y=f(x−1)的图象恒在函数y=f(x)图象的上方．
当m≤0时函数f(x)为R上减函数，符合题意；
当m>0时，函数f(x)在区间(−∞,m]和[2m,+∞)上递减，在区间(m,2m)上递增．
令f(x)=0得x=m或x=3m，
由图象平移可得3m−mf(x)恒成立的几何意义可列出不等式进行求解即可；
对于选项D，作差即可比较大小．
本题考查分段函数对应用，属中档题．
13.【答案】(−1,2)⋃(2,+∞)
【解析】解：依题意，要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x−2≠0x+1≥0 x+1≠0，
解得：x>−1且x≠2，所以函数y=(x−2)0 x+1的定义域为：(−1,2)⋃(2,+∞)．
故答案为：(−1,2)⋃(2,+∞)．
根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
14.【答案】必要不充分
【解析】解：因为ab=0⇒a=0b=0或a=0b≠0或a≠0b=0，
a2+b2=0⇒a=b=0，
所以“ab=0”是“a2+b2=0”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
根据充分、必要条件的知识确定正确答案．
本题考查充分必要条件，属于基础题．
15.【答案】{k|k≤10或k≥12}
【解析】解：f(x)图象的对称轴是x=k2，
∵f(x)=x2−kx−8在(5,6)上具有单调性，
∴k2≤5或k2≥6．
解得k≤10或k≥12．
故答案为：{k|k≤10或k≥12}．
由已知结合二次函数的单调性即可求解．
本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，属于基础题．
16.【答案】(1,−2) −4n−6
【解析】解：设函数f(x)=x3−3x2的对称中心是(a,b)，则b=a3−3a2，
因为f(x+a)+f(a−x)=2b，
所以有(x+a)3−3(x+a)2+(a−x)3−3(a−x)2=2b=2a3−6a2，
整理得：2a3+6ax2−6x2−6a2=2a3−6a2，
即6ax2−6x2=(6a−6)x2=0，
所以a=1，则b=−2，
故函数f(x)=x3−3x2的对称中心是(1,−2)；
因为f(x)=x3−3x2的对称中心是(1,−2)，
依题意有f(x+1)+f(1−x)=−4，
则f(−n)+f(−n+1)+f(−n+2)+⋯⋯+f(0)+f(1)+⋯⋯+f(n+2)
=[f(−n)+f(n+2)]+[f(−n+1)+f(n+1)]+⋯⋯+[f(0)+f(2)]+f(1)
=−4(n+1)+f(1)
=−4n−6．
故答案为：(1,−2)，−4n−6．
设出函数f(x)的对称中心是(a,b)，根据f(x+a)+f(a−x)=2b列出方程，即可求得对称中心是(1,−2)；根据对称中心可得f(x+1)+f(1−x)=−4，那么原式可化为[f(−n)+f(n+2)]⋅(n+1)+f(1)，代入求解即可．
本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)由换底公式得，
lg512=lg12lg5=lg3+2lg2lg10−lg2
=n+2m1−m；
(2)∵x+x−1=3，
∴x2+x−2=(x+x−1)2−2⋅x⋅x−1=7，
∴x12+x−12= (x12+x−12)2
= x+x−1+2= 5，
故x2+x−2x12+x−12=7 5=7 55．
【解析】(1)利用换底公式化简lg512=lg12lg5=lg3+2lg2lg10−lg2，从而求得；
(2)由完全平方公式化简求x2+x−2，x12+x−12，从而求得．
本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．
18.【答案】解：(1)依题意，方程x2−3x+a2=0有解，
则Δ=(−3)2−4⋅a2≥0恒成立，解得：−32≤a≤32，
所以集合B={a|−32≤a≤32}．
又因为A={x|2−2xx−5>0}={x|(2x−2)(x−5)