2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷
一、单项选择题（共8题，每题5分）
1．（5分）设集合，2，，，0，1，，则　　
A． B． C．，0，1，2， D．，
2．（5分）函数的定义域为　　
A．， B． C．，， D．，，
3．（5分）幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数的值是　　
A．0 B．1 C．2 D．0或2
4．（5分）函数的值域为　　
A． B．， C．， D．，
5．（5分）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是　　
A． B．
C． D．
6．（5分）设函数为定义在上的奇函数，且当时，（其中为实数），则（1）的值为　　
A． B． C．1 D．3
7．（5分）某种新药服用小时后血液中残留为毫克，如图所示为函数的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为　　

A．上午 B．中午 C．下午 D．下午
8．（5分）设定义在上的奇函数满足，对任意，，且，都有，且（3），则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
二、多项选择题（共4题，每题5分，选错得0分，漏选得3分）
9．（5分）下列函数在定义域上为单调递增函数的是　　
A． B． C． D．
10．（5分）下列说法错误的是　　
A．二次函数没有零点的充要条件是
B．命题“，”的否定是“，使得”
C．若，则
D．三个数，，之间的大小关系是
11．（5分）已知若互不相等的实数，，满足，且，则下列说法正确的有　　
A．
B．的取值范围为
C．
D．
12．（5分）我们把定义域为，且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：
（1）对任意的，，总有；
（2）若，，则有成立，下列判断正确的是　　
A．若为“函数”，则
B．若为“函数”，则在，上为增函数
C．函数在，上是“函数”
D．函数在，上是“函数”
三、填空题（共4题，每题5分）
13．（5分）已知，则（3）　　．
14．（5分）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为　　．
15．（5分）已知函数的图象关于直线对称，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为　　．
16．（5分）已知若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．
四、解答题（共6题，共70分，其中17题10分，18-22题每题12分）
17．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
18．（12分）已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值集合．
19．（12分）已知函数是定义在，上的奇函数．
（1）求的值，并证明在，单调递增；
（2）求不等式的解集．
20．（12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“”计划在甲、乙两座城市共投资80万元，根据行业规定，每个城市至少要投资20万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足．
（1）当甲项目的投入为25万元时，求甲乙两个项目的总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
21．（12分）已知函数且，．
（1）判断函数的奇偶性与单调性；
（2）解关于的方程；
（3）若（1），且在，上的最小值为，求的值．
22．（12分）已知函数在区间，上是单调函数．
（1）求实数的所有取值组成的集合；
（2）试写出在区间，上的最大值；
（3）设，令，对任意，都有成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共8题，每题5分）
1．（5分）设集合，2，，，0，1，，则　　
A． B． C．，0，1，2， D．，
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：，2，，，0，1，，
，．
故选：．
【点评】本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）函数的定义域为　　
A．， B． C．，， D．，，
【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得：且，
故函数的定义域是，，，
故选：．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
3．（5分）幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数的值是　　
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【分析】由于幂函数是奇函数，且在是减函数，故，且是奇数，且是整数，根据条件求出的值即可．
【解答】解：由于幂函数是奇函数，且在是减函数，
故，且是奇数，且是整数，
，，
当时，，是奇数，；
当时，，不是奇数；
当时，，是奇数；
故或2．
故选：．
【点评】本题考查了幂函数的性质以及应用，属于基础题．
4．（5分）函数的值域为　　
A． B．， C．， D．，
【分析】容易得出，根据指数函数的单调性即可得出的范围，即得出原函数的值域．
【解答】解：，
，
函数的值域为．
故选：．
【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，配方求二次函数值域的方法，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．
5．（5分）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据指数函数的单调性分类讨论即可判断．
【解答】解：由函数，可得到函数为增函数，故排除，
若，则，函数是上的减函数，且过点，函数的图象与轴的交点的上方，故符合
若，则，函数是上的增函数，函数的图象与轴的交点的下方，故符合，
故选：．
【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．
6．（5分）设函数为定义在上的奇函数，且当时，（其中为实数），则（1）的值为　　
A． B． C．1 D．3
【分析】根据是定义在上的奇函数可得出，从而求出，即得出时，，从而根据（1）即可求出（1）．
【解答】解：为定义在上的奇函数，且时，，则：
，得到，则（1）．
故选：．
【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及已知函数求值的方法．
7．（5分）某种新药服用小时后血液中残留为毫克，如图所示为函数的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为　　

A．上午 B．中午 C．下午 D．下午
【分析】由图象分段设出一次函数模型，分别代入点和求解函数解析式；由第一次服药的残留量大于等于240求解的范围，同样由第二次服药的残留量大于等于240求解第二次的药效时间．
【解答】解：由图象可知：当，时，设．
把代入，得，．
当，时，设．
把，代入得，解得，．
．
当，时，，解得；
当，时，，解得，
．
故第二次服药应在第一次服药8小时后，即当日，
故选：．
【点评】本题考查了函数模型的选择及应用，考查了分段函数涉及的不等式的解法，解答此题的关键是对题意的理解与把握，考查了计算能力，是中档题．
8．（5分）设定义在上的奇函数满足，对任意，，且，都有，且（3），则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【分析】根据，构造函数，可得在单调性递减，（3），可得（3），求不等式，即求的解集可得答案；
【解答】解：设，且，，
由题意，
可得函数在单调性递减，
（3），可得（3），
那么不等式，即求的解集，
是上的奇函数，
，
，
当时，，
可得成立；
当时，，
可得成立；
综上可得不等式的解集为，，．
故选：．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，构造思想在数学中的体现，属于中档题．
二、多项选择题（共4题，每题5分，选错得0分，漏选得3分）
9．（5分）下列函数在定义域上为单调递增函数的是　　
A． B． C． D．
【分析】结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：在上单调递增，在单调递增，在定义域，，上不单调，不符合题意；
在定义域上为单调递增函数，符合题意，
在，上单调递增，符合题意；
根据二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，但在定义域上不单调，不符合题意，
故选：．
【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．
10．（5分）下列说法错误的是　　
A．二次函数没有零点的充要条件是
B．命题“，”的否定是“，使得”
C．若，则
D．三个数，，之间的大小关系是
【分析】利用二次函数的性质以及充要条件判断；命题的否定形式判断；指数函数的性质判断；比较三个数值的大小，判断．
【解答】解：二次函数没有零点就是函数的图象与轴没有交点，可得△，所以二次函数没有零点的充要条件是，所以正确；
命题“，”的否定是“，使得”，所以不正确；
若，，所以，正确，所以正确；
三个数，，所以大小关系是，所以不正确；
故选：．
【点评】本题考查命题的真假的判断，考查充要条件，命题的否定，指数函数的性质以及数值大小的比较，是基本知识的考查．
11．（5分）已知若互不相等的实数，，满足，且，则下列说法正确的有　　
A．
B．的取值范围为
C．
D．
【分析】画出函数的大致图象，由二次函数的性质可知，由互不相等的实数，，满足可知，进而求出的取值范围，从而得到的取值范围，又函数的图象不关于轴对称，所以，进而判断出正确选项．
【解答】解：画出函数的大致图象，如图所示：，
由图象可知，，所以选项正确，
由得：，即，所以选项正确，
所以的取值范围为，选项正确，
因为函数的图象不关于轴对称，所以，所以选项错误，
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了分段函数的应用，同时考查了学生的作图能力，是中档题．
12．（5分）我们把定义域为，且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：
（1）对任意的，，总有；
（2）若，，则有成立，下列判断正确的是　　
A．若为“函数”，则
B．若为“函数”，则在，上为增函数
C．函数在，上是“函数”
D．函数在，上是“函数”
【分析】：对任意的，，总有，令，则，进而求解；
，是函数，但不单调，故错误；
：如果、，设、，则，，进而求解；
：显然，所以满足条件（1），，进而求解；
【解答】解：对任意的，，总有，，
又，，则有成立，
，，，故正确；
，是函数，但不单调，故错误；
：显然满足条件（1），如果、，则，
，；
如果、，设、，则，，
，故错误；
：显然，满足条件（1），
，
满足条件（2），故正确．
故选：．
【点评】考查函数的单调性的证明和函数的性质，考查新定义的理解和应用，对新知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题；
三、填空题（共4题，每题5分）
13．（5分）已知，则（3）　5　．
【分析】根据题意，变形可得，即可得的解析式，将代入计算可得答案．
【解答】解：根据题意，，即，
则（3），
故答案为：5．
【点评】本题考查函数值的计算，关键是求出的解析式，属于基础题．
14．（5分）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为　　．
【分析】由题意，，，利用基本不等式，即可得出结论．
【解答】解：由题意，，





，
此三角形面积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
15．（5分）已知函数的图象关于直线对称，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为　　．
【分析】由题意可得为偶函数，且在上为单调函数，由，可得，得到，利用根与系数的关系得结果．
【解答】解：由函数的图象关于直线对称，得的图象关于轴对称，即为偶函数，
又当时，是单调函数，
由，可得，即，
得到，即，
显然既不是方程的根，也不是方程的根，
对于方程，△，
对于方程，△，
由根与系数的关系可知，满足的所有之和为．
故答案为：．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查函数奇偶性与单调性的应用，考查数学转化思想，是中档题．
16．（5分）已知若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　，　．
【分析】首先判断在上递增，且，原不等式等价为对任意，恒成立，由恒成立思想可得的范围．
【解答】解：由可得在上为增函数，
且，
则即为，
等价为对任意，恒成立，
即，解得，
又，即，
则的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
四、解答题（共6题，共70分，其中17题10分，18-22题每题12分）
17．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）由题意利用对数的换底公式、对数的运算性质，指数幂的运算法则，计算求得结果．
（2）由题意利用对数的换底公式、指数幂的运算法则，计算求得结果．
【解答】解：（1）．
（2）．
【点评】本题主要考查对数的换底公式、对数的运算性质，指数幂的运算法则，属于基础题．
18．（12分）已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值集合．
【分析】（1）可求出集合，时求出集合，然后进行交集、并集和补集的运算即可；
（2）根据可得出，从而讨论是否为空集：时，；时，，解出的范围即可．
【解答】解：（1），时，，
，或，；
（2），，
①时，，解得；
②时，，解得，
综上得，的取值集合为．
【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、并集和补集的运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
19．（12分）已知函数是定义在，上的奇函数．
（1）求的值，并证明在，单调递增；
（2）求不等式的解集．
【分析】（1）由已知结合奇函数的性质可得，代入可求，进而可求，然后结合单调性定义，设，利用作差法比较与的大小关系即可判断，
（2）由（1）中单调性及奇函数可求．
【解答】解：（1）因为是定义在，上的奇函数，
所以，，
设，
则，
，
在，单调递增；
（2）由可得，
，
解得，，
故不等式的解集，．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，属于中档试题．
20．（12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“”计划在甲、乙两座城市共投资80万元，根据行业规定，每个城市至少要投资20万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足．
（1）当甲项目的投入为25万元时，求甲乙两个项目的总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
【分析】（1）当甲项目的投入为25万元时，则乙项目的投入为55万元，分别代入甲、乙的收益函数即可求出结果．
（2）由题意可知，当时，利用基本不等式求出的最大值，当时利用单调性求出的最大值，再比较两者取较大的即为总收益的最大值．
【解答】解：（1）当甲项目的投入为25万元时，则乙项目的投入为55万元，
甲乙两个项目的总收益为：（万元）．
（2）设甲项目的投入万元，则乙项目的投入万元，
由，解得，
甲城市收益，乙城市收益，
甲、乙两个项目的总收益为，
当时，，当且仅当即时，等号成立，
所以当时，取得最大值70万元，
当时，单调递减，
所以当时，取得最大值65万元，
因为，
故当时，取得最大值70万元．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
21．（12分）已知函数且，．
（1）判断函数的奇偶性与单调性；
（2）解关于的方程；
（3）若（1），且在，上的最小值为，求的值．
【分析】（1）容易判断出是奇函数，然后讨论判断的单调性：，是上的增函数；，是上的减函数；
（2）可得出，由上面知，是单调函数，从而得出，解出即可；
（3）根据即可求出，从而得出，可设，，从而得出，，然后讨论与的关系，根据在，上的最小值为即可求出的值．
【解答】解：（1）因为定义域是，且，
是奇函数，
若，是上的单调增函数；
若，是上的单调减函数；
（2）由（1），
不论或是上的单调函数，
于是得，解得或；
（3）因为（1），所以，解得，
，
设，则由，得（1），，，
若，则当时，，解得；
若，则当时，，解得，舍去，
综上得．
【点评】本题考查了奇函数的定义及判断，指数函数的单调性，换元法的运用，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数在区间，上是单调函数．
（1）求实数的所有取值组成的集合；
（2）试写出在区间，上的最大值；
（3）设，令，对任意，都有成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）考虑对称轴，由二次函数的单调性可得的不等式，解不等式即可；
（2）分类讨论结合单调性可得最大值；
（3）由题意求得的解析式，由题意可得，，，作出函数的图象，对讨论，结合函数的单调性，求得最值，解不等式，可得所求范围．
【解答】解：（1）函数在区间，上是单调函数，
在区间，上的两个端点处取得最大值和最小值，
又函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为，
必有，或，解得或，
实数的所有取值组成的集合或；
（2）当时，，函数在区间，上单调递增，
函数的最大值（2）；
当 时，，函数在区间，上单调递减，
函数的最大值，
即有；
（3）由题意得，
对任意，，，总有，
可得，，，
①当时，在，递减，可得，（a），
代入解得，不成立，舍去；
②当时，在，递减，，递增，可得，，
代入解得，即有；
③当时，在，递减，，递增，可得（a），，
代入解得或，可得；
④当时，在，递减，，递增，，递减，，递增，
可得，，
代入解得，可得；
⑤当时，在，递减，，递增，，递减，，递增，
可得（a），，
代入可得；
综上可得，即的范围是，．
【点评】本题考查含参二次函数的单调性、在定区间上的最值，含绝对值的不等式恒成立问题问题，解题的关键在于正确画出函数的图象，确定参数的讨论标准，属于难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/2/23 14:26:48；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394