湖南省娄底市双峰县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份湖南省娄底市双峰县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量120分钟 总分120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在答题卡相应题号下的方框里）
1. 下列函数不是反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数．
【详解】解：A. ，反比例函数，不符合题意；
B. ，是反比例函数，不符合题意；
C. ，不是反比例函数，符合题意；
D. ，是反比例函数，不符合题意；
故选：C．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键．
【详解】解：A. 合并后没有二次项，不是一元二次方程；
B. 合并后没有二次项，不是一元二次方程；更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 C. 合并后没有二次项，不是一元二次方程；
D. 是一元二次方程；
故选D．
3. 已知，下列变形不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分时的变形，掌握等式的性质是解题的关键．
【详解】解：A.两边同时加上1，即可得到，变形正确，不符合题意；
B.两边同时减去1，即可得到，变形正确，不符合题意；
C. 两边同时加上2，即可得到，变形正确，不符合题意；
D. ，左边和右边同时加上的数不是同一个数，变形错误，符合题意；
故选D．
4. 在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与（k≠0）的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限，没有符合条件的选项，
②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
5. 如图所示，直线，另两条直线分别交于点及点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，进而求出，再根据线段之间的关系逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选A．
6. 为了降低输电线路上的电能损耗，发电站都采用高压输电．输出电压（V）与输出电流（A）的乘积等于发电功率（即）（W），且通常把某发电站在某时段内的发电功率看作是恒定不变的，当输出电压提高1倍时，由线路损耗电能的计算公式（其中为常数）计算在相同时段内该线路的电能损耗减少（ ）倍．
A. 1B. 4C. 0. 25D. 0. 75
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，复习物理中的公式，是解决此题的前提和关键．
【详解】根据得，，
∵发电站的功率不变，当输出电压提高倍时，
∴输出电流将变为原来的；
由可知，在相同时段内该路线的电能损耗变为原来的，
∴在相同时段内该路线的电能损耗减少倍，
故选D．
7. 下列说法中，正确的个数是（ ）
①所有的正三角形都相似；
②所有的正方形都相似；
③所有的等腰直角三角形都相似；
④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似.
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似的性质，对应角相等，对应边成比例，进行逐个分析，可知①②③明显正确，④不一定成立，⑤不一定成立，即可得解.
【详解】矩形的每个角都等于90°，即对应角相等，但对应边不一定成比例，所以④不正确；菱形的四条边相等，即对应边成比例，但对应角不一定相等，所以⑤不正确.易知①②③正确.故选B.
【点睛】此题主要考查相似的性质，熟练掌握，即可解题.
8. 如图所示，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺一边长为，则其投影的对应边长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键．
【详解】∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的一边长为，
∴投影三角形的对应边长为：．
故选B．
9. 如图所示，某同学用如下方法测量数学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则救学楼的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据题意得出 ，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．
【详解】解:依据题意,得
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，即，
∴ ，
故选A．
10. 2023年，双峰县第十三次党代会明确了建设“文明双峰”的行进方向，提出了创建全国文明城市（县级）的具体目标，为宣传环保意识，周末小明对到县内某景区游玩人群的垃圾处理习惯（A就地扔掉、B带回处理、C丢入垃圾桶，三者任选其一）进行了随机抽样调查. 小明根据调查情况进行统计，绘制的扇形统计图和条形统计图尚不完整，如图所示. 请结合统计图中的信息，判断下列说法错误的是（ ）
A. 抽样调查的样本数据是240
B. “A就地扔掉”所在扇形的圆心角为
C. 样本中“C丢入垃圾桶”的百分比为
D. 周末到景区游玩的1000名游人中，“C丢入垃圾桶”垃圾的人数大约为168人
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
【详解】解：A、调查的总人数是：25%=240（人），故本选项正确，不合题意；
B、“A就地扔掉”所在扇形的圆心角为：，故本选项正确，不合题意；
C、样本中“C丢入垃圾桶”的所占百分比是：，故本选项正确，不合题意；
D、样本中“C丢入垃圾桶”垃圾的人数占调查总人数的，所以估计“五一”假期间的白家湾玩的1000名游人中“就地扔掉”垃圾的人数大约为：人．故本选项错误，符合题意；
故选：D．
11. 如图，在，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，故B不符合题意；
C、由图形可知，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
12. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值：如图，在中，，，延长使，连接，得．设，则，，所以 ．类比这种方法，计算的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】仿照题例作等腰三角形，利用直角三角形的边角间关系计算得结论．
【详解】解：如图，在中，，，
延长使，连接，得．
设，
则，．
．
在中，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，看懂题例，仿照题例作出辅助线是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 正比例函数的图像与反比例函数（为常数，）的图象的一个交点的横坐标是2，那么当时，反比例函数的对应函数值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是熟练掌握两种函数的性质．
【详解】∵该交点的横坐标为，且在正比例函数的图象上，
∴该交点的坐标为，
又∵该交点在反比例函数的图象上，
∴ ，
解得
则反比例函数解析式为，
当时，，
故答案为：．
14. （古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一半. 今问俊明公，此法如何算. 意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少. 只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半. 现在请你帮他算出它的长是__________步. （一亩步）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设此矩形田的宽为步，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设此矩形田的宽为步，依据题意，可列方程为，
解得：（负值舍去），
故答案为：．
15. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】题考查一元二次方程根与系数的关系进行变形求值，根据一元二次方程根与系数的关系，可列出两根之和及两根之积的值，再对其进行变形是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
故答案为：．
16. 已知是比例线段，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查成比例线段．熟练掌握成比例线段的定义：四条线段中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，是解题的关键．
【详解】解：∵是比例线段，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
17. 已知与的相似比为，且，则的面积是_______.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵，且相似比为，
∴
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去. 若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律.
【详解】∵四边形是矩形，
，
，
∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形的边长的比为，
∴矩形面积和矩形的面积的比,


故答案为：.
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19.
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了绝对值的性质和特殊角的三角函数值，先利用特殊角的三角函数值和二次根式的性质与化简代入计算，再加减是解题关键．
【详解】解：
．
20. 已知关于x的一元二次方程，其中分别为三边的长．
（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）为直角三角形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识；
（1）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断的形状；
（2）利用是等边三角形，则，进而代入方程求出即可．
【小问1详解】
解：为直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
，
∴，
∴为直角三角形；
【小问2详解】
解：∵是等边三角形
∴
∴原方程可化为
∵
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21. 为加强学生身体锻炼，某校开展体育“大课间”活动，学校决定在学生中开设A：篮球，B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步，E：排球五种活动项目．为了了解学生对五种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两个统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了_______名学生；
（2）请将两个统计图补充完整；
（3）若该校有1200名在校学生，请估计喜欢排球的学生大约有多少人.
【答案】(1)200；（2）答案见解析；（3）240人．
【解析】
【分析】（1）由图1可得喜欢“B项运动”的有10人；由图2可得喜欢“B项运动”的占总数的5%；由10÷5%即可求得总人数为200人；
（2）①由图1可知喜欢B、C、D、E四项运动人数分别为10、40、30、40人，由此可得喜欢A项运动的人数为：200-10-40-30-40=80，由此在图1中补出表示A的条形即可；②由80÷200×100%可得喜欢A项运动的人所占的百分比；由30÷200×100%可得喜欢D项运动的人所占的百分比；把所得百分比填入图2中相应的位置即可；
（3）由1200×20%可得全校喜欢“排球”运动的人数.
【详解】解：（1）由图1可得喜欢“B项运动”的有10人，由图2可得喜欢“B项运动”的占总数的5%，
∴这次抽查的总人数为：10÷5%=200（人）；
（2）①由图1可知喜欢B、C、D、E四项运动的人数分别为10、40、30、40人，
∴喜欢A项运动的人数为：200-10-40-30-40=80，
②喜欢A项运动的人所占的百分比为：80÷200×100%=40%；
喜欢D项运动的人所占的百分比为：30÷200×100%=15%；
根据上述所得数据补充完两幅图形如下：
（3）从抽样调查中可知，喜欢排球的人约占20%，可以估计全校学生中喜欢排球的学生约占20%，人数约为：1200×20%=240（人）.
答：全校学生中，喜欢排球的人数约为240人．
22. 如图，塔的高度为，塔的底部与桥位于同一条水平直线上．由塔顶测得和的俯角，分别为和求，的长．结果精确到

【答案】
【解析】
【分析】在直角中首先求得，然后利用三角函数求得的长，然后在直角中，利用三角函数求得，根据即可求解．
【详解】解：在直角中，，
则，
在直角中，，
则，
则．
【点睛】本题考查了解直角三角形，正确理解方向角的定义，理解直角三角形中的边和角的关系是关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23. 某店只销售某种进价为40元/的产品，已知该店按60元/出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加.
（1）若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？
（2）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）单价应降价元或元
（2）单价降低元时，该店每天的利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的最大值，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
（1）根据利润单个利润数量列方程计算出x的值即可；
（2）根据总利润y与降价x元的函数关系式，配方求出最大值即可；
【小问1详解】
解：设单价应降价元，
根据题意得：，
解得：，，
答：单价应降价元或元．
【小问2详解】
设该店每天的总利润y元，降价为x元，
则，
∴当时，y最大，最大值为，
答：当单价降低元时，该店每天的利润最大，最大利润是元．
24. 如图，正方形的边长为，，，线段的两端在边，上滑动，当为多长时，与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由．
【答案】或时，与以点，，为顶点的三角形相似，理由见解析
【解析】
【分析】根据，中，，所以在中，分与和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例求出与的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．
【详解】当或时，与以点，，为顶点的三角形相似，
理由：正方形边长是，，
，
，
与是对应边时，∽，
：：．
：：，
．
与是对应边时，∽，
：：．
：：，
．
综上所述，或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①与是对应边时，②当与是对应边时这两种情况．
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25. 如图，已知是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标.
【答案】（1），
（2）
（3）、、或
【解析】
【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
（1）先把点A的坐标代入反比例函数求得m的值，再把点B的坐标为代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求解；
（2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解；
（3）存在，在x轴和y轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点P，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点A的坐标为在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
又∵点B的坐标为也在上，
∴，
∵A的坐标为，B的坐标为都在一次函数的图象上，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：∵直线与x轴交于点，
∴，
∴，
∵A的坐标为，B的坐标为，
∴；
【小问3详解】
解：当点P在x轴上，
设点，则，
若时，如图所示，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
当时，如图，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点的坐标为；
当点在y轴上时，
设点，则，
若时，如图所示，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
当时，如图，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点的坐标为；
综上可得点P坐标为、、或．
26. 如图，四边形为正方形，且是边延长线上一点，过点作于点，交于点，交于点.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接，求的度数.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．
（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到；
（2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论；
（3）根据第一问结论可得，然后通过相似三角形的对应角相等解题即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
(2)如图，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形正方形，是对角线，
∴，
∴．