安徽省江淮名校2023-2024学年高二上学期12月阶段性联考数学试题

这是一份安徽省江淮名校2023-2024学年高二上学期12月阶段性联考数学试题，共15页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，在空间直角坐标系中，点，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列直线中，倾斜角为的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的两个焦点分别为，点M为椭圆C上一点，则（ ）
A．8 B． C．4 D．
3．已知抛物线的焦点为F,点P在抛物线C上，点,且,则（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线与圆相交于A,B两点，则的周长为（ ）
A．26 B．18 C．14 D．13
5．已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆的长轴长为,下顶点为，垂直于y轴的直线与椭圆C相交于A,B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
7．根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．已知地震台站A,B在公路l上（l为直线），且A,B相距,地震局以的中点为原点O,直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系．在一次地震发生后，根据A,B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知,若圆上存在点M在以为直径的圆上，则实数b的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在空间直角坐标系中，点，则（ ）
A．直线平面 B．直线平面
C．直线平面 D．直线平面
10．已知，点在直线l上，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆C关于直线l对称，则直线l的方程为
B．若点P是圆C上任意一点，则的最大值为
C．若直线l与圆C相切于点B,则
D．若直线l与圆C相切，则直线l的方程为
11．已知曲线（为常数），点A是曲线E上一点，直线上的动点B,C满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程表示椭圆，则
B．若方程表示双曲线，则
C．当时，的面积的最小值为4
D．当时，使得是等腰直角三角形的点A有8个
12．如图，在长方体中，,点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点F,使得 B．满足的点F的轨迹长度为
C．的最小值为 D．若平面,则线段长度的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为___________．
14．在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱上一点，且,则___________．
15．已知半径为的圆C经过点，则圆心C到直线的距离的最大值为___________．
16．已知椭圆的右焦点为F,过点F且斜率为的直线l与椭圆E交于A,B两点，与y轴交于点C,若，则椭圆E的离心率为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知两点，直线．
（1）若直线经过点P,且,求直线的方程；
（2）若圆C的圆心在直线l上，且P,Q两点在圆C上，求圆C的方程．
18．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知椭圆E的右顶点为B,过B作直线l与椭圆E交于另一点C,且,求直线l的方程．
19．（本小题满分12分）
如图，在棱长为3的正方体中，E为棱上一点，且．
（1）求点B到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）以原点O为端点作两条互相垂直的射线与曲线C分别交于点M,N．求证：是定值．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面平面,四边形是等腰梯形，,是棱上一点，且．
（1）证明：平面;
（2）线段上是否存在一点M,使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知抛物线的准线是,直线与抛物线E没有公共点，动点M在抛物线E上，过点M分别作直线的垂线，垂足分别为,且的最小值为．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过作两条不同的直线,分别与抛物线E相交于点A,B与点C,D,且线段的中点分别为．若直线的斜率之和为2，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
江准名校2023-2024学年上学期高二年级阶段联考
数学试卷参考答案、提示及评分细则
1．B 对于A,直线的斜率为，倾斜角为;对于B,直线的斜率为,倾斜角为：对于C,直线的斜率为，倾斜角为；对于D,直线的斜率为，倾斜角为．故选B．
2．A 由题意知,所以,又由椭圆的定义，得．故选A．
3．C 由抛物线,得，因为,所以P在线段的中垂线上，所以，由抛物线的定义，得．故选C．
4．B 由,得,所以圆心为,半径,圆心C到直线l的距离,所以,所以的周长为．故选B．
5．D 设直线的斜率为k,则直线的方程为，由题意，得直线与抛物线C有交点，联立方程得,当时，,即;当时，，解得且．综上所述，．故选D．
6．A 由椭圆C的长轴长为，可得，即,由下顶点为，得,所以椭圆C的方程为．由题意，可设，则,又，所以，所以，又，所以,所以的最小值是．故选A．
7．D 由题意，得,所以,解得,所以,由及余弦定理，得,即,所以的面积,设P到公路l的距离为h,则，所以，即P到公路l的距离为．故选D．
8．C 由,得以为直径的圆的圆心为的中点D,半径为．圆的圆心为,半径．因为M在以为直径的圆上，所以圆与以为直径的圆有交点，即，解得,所以实数b的最小值为．故选C．
9．ACD ，平面的一个法向量是,平面的一个法向量是,因为,所以,又平面,所以直线平面,故A正确；因为不存在使得,所以与不平行，即直线平面不成立，故B错误；，因为,所以,又平面,所以直线平面,故C正确；因为,所以与平行，即直线平面,故D正确．故选ACD．
10．AC 对于选项A,由圆，得圆心，半径,若圆C关于直线l对称，则直线l经过圆心C,所以直线l的斜率为，方程为,即，故A正确；对于选项B,的最大值为，故B错误；对于选项C,若直线l与圆C相切于点B,则，故C正确；对于选项D,当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为,圆心C到直线l的距离为,所以直线l与圆C相切，满足要求；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即,若直线l与圆C相切，则圆心C到直线l的距离，解得,所以直线l的方程为,综上所述，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为或,故D错误．故选AC．
11．ABD 对于选项A,若方程表示椭圆，则且,所以,故A正确；对于选项B,若方程表示双曲线，则或所以,故B正确；对于选项C,当时，曲线E为双曲线，设直线，联立方程得，当直线l与双曲线E只有一个交点时，，解得,所以点A到直线的距离的最小值的面积的最小值为，故C错误；对于选项D,若或,则点A到直线的距离为，设直线经过此时的点A,则,解得，当时，由C选项可知，即存在2个点A满足要求，同理时，也存在2个点A满足要求；若,则点A到直线的距离为,设直线经过此时的点A,则，解得，当时，由C选项可知，即存在2个点A满足要求，同理时，也存在2个点A满足要求，综上所述，使得是等腰直角三角形的点A有8个，故D正确．故选ABD．
12．BD 以A为原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．对于选项A,若,则,又,所以,即，此方程无解，所以不存在点F,使得,故A错误；对于选项B,由,得,化简可得,又，所以当时，得，当时，得，即满足的点F的轨迹长度为，故B正确；对于选项C,设点C关于平面的对称点为G,则G的坐标为，则，故C错误；对于选项D,,设平面的一个法向量为,则即，令,则,所以平面的一个法向量为,因为平面,所以,即,又点,所以，当时，取得最小值，故D正确．故选BD．
13． 由题意知双曲线C的渐近线方程为，又其中一条渐近线的倾斜角为，所以,即,所以,即．
14． 连接,则，又，所以．
15． 设圆心C的坐标为,因为半径为的圆C经过点,以，所以点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故圆心C到直线的距离的最大值为点A到直线l的距离加上半径，即．
16． 设F的坐标为，则，直线l的方程为，则C的坐标为，设,由,得，所以,联立方程得,所以,由,得，所以，又，所以,即,解得或,所以离心率（舍）或．
17．解：（1）直线的斜率为2，
设直线的斜率为k,由，得,解得， 2分
又直线经过点,所以直线的方程为,即． 4分
（2）方法一：，所以的中垂线的斜率为，又的中点为，所以的中垂线的方程为，即． 6分
因为两点在圆C上，所以圆心C在的中垂线上，又圆心C在直线l上，由得即圆心C的坐标为， 8分
又圆C的半径,
所以圆C的方程为． 10分
方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为，半径为r,所以圆C的方程为， 6分
又P,Q两点在圆C上，所以解得 9分
所以圆C的方程为． 10分
18．解：（1）由题可知，其中，所以, 2分
又点在椭圆E上，所以，即，解得， 4分
所以椭圆E的方程为． 5分
（2）由椭圆E的方程，得,所以，
设,其中，因为,所以， 7分
又点在椭圆上，所以，
联立得，解得或（舍）， 9分
当时，，即或． 10分
所以当C的坐标为时，直线l的方程为；当C的坐标为时，直线l的方程为． 12分
19．解：（1）以D为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则, 2分
，设平面的一个法向量为，则即令,则，所以平面的一个法向量为, 4分
又，所以点B到平面的距离． 6分
（2），设平面的一个法向量为,则即,令,则．所以平面的一个法向量为， 9分
由（1）知平面的一个法向量为,
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为． 12分
20．（1）解：设动点P的坐标为,
因为动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，
所以， 2分
化简，得,即曲线C的方程为． 5分
（2）证明：当中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，中有一条直线与曲线C不相交，所以不符合题意．
设，则，
联立方程解得，则． 7分
用替换上式中的k即得． 9分
因此，
即是定值． 12分
21．（1）证明：在棱上取一点G,使得,连接,
因为,所以且, 2分
又,所以,所以四边形是平行四边形，所以,
又平面平面,所以平面． 4分
（2）解：分别取的中点,连接,因为四边形是等腰梯形，所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,所以． 6分
因为是的中点，所以,所以两两垂直，以O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为,则,… 7分
设，其中，则． 8分
,设平面的一个法向量为,则即令，则,所以平面的一个法向量为， 10分
设与平面所成角为,
则，
所以，即，解得或（舍），
即当时，与平面所成角的正弦值为． 12分
22．解：（1）由题意知抛物线E的焦点为，由抛物线的性质知, 1分
过F作直线的垂线，垂足为,则F到直线的距离，
又直线与抛物线E没有公共点，所以,当且仅当点M在线段上时，等号成立， 2分
所以的最小值为,即,解得（舍）或．
所以抛物线E的方程为． 4分
（2）若直线或直线与x轴平行，则或与抛物线E只有一个公共点，不符合题意，所以直线的斜率都不为0，
设直线的方程为，直线的方程为，易知直线的斜率分别为，所以且．
设,联立方程得,
所以,所以, 6分
同理可得． 7分
当直线的斜率不存在时，，即，又,
所以,又，所以，方程无解，所以直线的斜率一定存在； 8分
当直线的斜率存在时，设直线过定点,则,即，
整理可得,
又,所以, 10分
因为，所以,代入上式，得，当时，，解得，
即直线经过定点． 12分