2023-2024学年福建省“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作高一上学期12月联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作高一上学期12月联考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若角2α与220∘角的终边相同，则α=( )
A. 110∘+k⋅360∘k∈ZB. 110∘+k⋅180∘k∈Z
C. 220∘+k⋅360∘k∈ZD. 220∘+k⋅180∘k∈Z
2.若函数fx的定义域为−2,2，则函数fx−1 x−1的定义域为
( )
A. 1,3B. 1,3C. −1,3D. −1,3
3.若函数fx的图象在R上连续不断，且满足f12B. a0,x2>0,x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，则x1+x2>2
D. 当x>0时，恒有f(x)≥52x成立
12.已知函数fx的定义域是0,+∞，对∀x,y∈0,+∞，都有fxy=fx+fy，且当x>1时，fx>0，且f12=−1，下列说法正确的是
( )
A. f1=0
B. 函数fx在0,+∞上单调递增
C. f2+f12+f3+f13+⋯+f2023+f12023=2023
D. 满足不等式fx−fx−2≥2的x取值范围为2,83
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，P(− 32,12)为其终边上一点，则sin(π2+α)=________
14.若命题“∃x0∈R,mx02+mx0+1≤0”是假命题，则实数m的取值范围是__________．
15.音量大小的单位是分贝dB，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由公式η=10⋅lgII0(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)计算得到，设η1=70dB的声音的声波强度为I1,η2=65dB的声音的声波强度为I2，则I1是I2的__________倍．
16.设函数fx=4x+1,x≤0lg5x,x>0，若关于x的函数gx=f2x−a+2fx+3恰好有四个零点，则实数a的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算：127−13+ (π−4)2+eln2+lg49⋅lg34；
(2)已知m12+m−12=3(m>1)，求m2−m−2的值．
18.(本小题12分)
在①tan(π+α)=2，②sin(π−α)−sin(π2−α)=cs(−α)，③2sin(π2+α)=cs(3π2+α)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知_______，
(1)求3sinα+2csαsinα−csα的值；
(2)当α为第三象限角时，求sin(−α)−cs(π+α)−cs(π2+α)sin(α−3π2)的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2−4ax+b(a>0)在[0,3]上的最大值为3，最小值为−1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若∃x∈(1,+∞)，使得f(x)0时，gx=fx，求函数gx的解析式；
(2)已知x∈33,27时，函数ℎx=fx3a⋅fx9的最小值为−2，求实数a的值．
21.(本小题12分)
“双11”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1:一次购买商品的价格，每满60元立减5元;
优惠方案2:在优惠1之后，再每满400元立减40元．
例如，一次购买商品的价格为150元，则实际支付额150−5x[15060]=150−5×2=140元，其中[x]表示不大于x的最大整数.又如，一次购买商品的价格为810元，则实际支付额810−5×|81060|−40×1=810−5×13−40=705元．
(1)小芳计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好?请说明理由;
(2)已知某商品是小芳常用必需品，其价格为30元/件，小芳趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低?最低平均价格是多少?
22.(本小题12分)
已知函数fx=3−x，函数gx的图像与fx的图像关于y=x对称．
(1)求g9的值；
(2)若函数y=fx−3−k在x∈−2,1上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得函数y=4−m−lg3fx2−4xx>0在a,b上的值域为2a,2b，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】利用终边相同的角的特征即可得解．
解：因为角 2α 与 220∘ 角的终边相同，
所以 2α= 220∘+k⋅360∘k∈Z ，则 α= 110∘+k⋅180∘k∈Z ．
故选：B．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据抽象函数定义域的求法以及二次根式、分式有意义的条件列出不等式组即可求解．
解：若函数 fx 的定义域为 −2,2 ，则函数 fx−1 x−1 有意义当且仅当 −2≤x−1≤2 x−1≠0x−1≥0 ，解得 11a≥2af(−b2a)=fmin如图时，f(f(x)min)>0，
如图f(f(x))在f(x)∈[fmin,−b2a]，f(f(−b2a))0 ，则 a>b ，故A正确；
对于B，取 a=1,b=−1 ，则 1a=1>−1=1b ，故B错误；
对于C，若 a>0>b ，则 ab−b2=ba−bb ，当 c=0 时， ac−a=bc−b=−1 ，故D错误．
故选：AC．
11.【答案】AC
【解析】【分析】对于C选项，根据解析式推导出 f(1x)=f(x) ，进而得到 x2=1x1 为关键.应用奇偶性定义判断A；在 x∈(0,+∞) 上，令 t=x2+1x=x+1x 研究其单调性和值域，再判断 f(x) 的区间单调性和值域判断B；利用解析式推出 f(1x)=f(x) ，根据已知得到 x2=1x1 ，再应用基本不等式判断C；特殊值法，将 x=2 代入判断D．
解：由解析式知：函数定义域为 {x|x≠0} ，且 f(−x)=(−x)2+1−x+−x(−x)2+1=−(x2+1x+xx2+1)=−f(x) ，
所以 f(x) 为奇函数，A对；
当 x∈(0,+∞) 时，令 t=x2+1x=x+1x≥2 x⋅1x=2 ，当且仅当 x=1 时等号成立，
由对勾函数性质知： t=x+1x 在 (0,1) 上递减，在 (1,+∞) 上递增，且值域为 t∈[2,+∞) ，
而 f(x)=t+1t 在 t∈[2,+∞) 上递增，故 f(x) 在 x∈(0,1) 上递减，在 x∈(1,+∞) 上递增，且 f(x)∈[52,+∞) ，
由奇函数的对称性知： f(x) 在 x∈(−∞,−1) 上递增，在 x∈(−1,0) 上递减，且 f(x)∈(−∞,52] ，
所以 f(x) 值域为 (−∞,−52]∪[52,+∞) ，B错；
由 f(1x)=(1x)2+11x+1x(1x)2+1=1+x2x+x1+x2=f(x) ，若 x1>0,x2>0,x1≠x2 且 f(x1)=f(x2) ，
所以 x2=1x1 ，故 x1+x2=x1+1x1≥2 x1⋅1x1=2 ，当且仅当 x1=1 时等号成立，
而 x1=1 时 x2=x1=1 ，故等号不成立，所以 x1+x2>2 ，C对；
由 f(2)=4+12+24+1=29100 ，即 fx2−fx1>0 ，所以 fx10x−2>0x≥4x−8 ，解得 20 在R上恒成立，
当 m=0 时，不等式 mx2+mx+1>0 化为 1>0 ，恒成立；
当 m≠0 时，由不等式 mx2+mx+1>0 恒成立，
得 m>0Δ=m2−4m0g0>0g1≤0g21 ， ∴m−m−1=3 5 ，
∴m2−m−2=m+m−1m−m−1=21 5 ．

【解析】【分析】(1)结合指对数的运算性质化简即可；
(2)结合两次平方关系即可求得 m2−m−2 ．
18.【答案】解：(1)若选①，tan(π+α)=tanα=2，
可得3sinα+2csαsinα−csα=3tanα+2tanα−1=8；
若选②，sin(π−α)−sin(π2−α)=cs(−α)，
可得：sinα−csα=csα，即tanα=2，
可得3sinα+2csαsinα−csα=3tanα+2tanα−1=8；
若选③，2sin(π2+α)=cs(3π2+α)，
可得2csα=sinα，即tanα=2，
可得3sinα+2csαsinα−csα=3tanα+2tanα−1=8；
(2)当α为第三象限角时，tanα=2，sin2α+cs2α=1，
解得sinα=−2 55，csα=− 55，
所以sin(−α)−cs(π+α)−cs(π2+α)sin(α−3π2)
=−sinα+csα+sinαcsα
=2 55− 55+(−2 55)×(− 55)
=2+ 55．
【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
(1)若选①或②或③，利用诱导公式化简后，根据同角三角函数基本关系式即可求解；
(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinα，csα的值，利用诱导公式化简即可求解．
19.【答案】解：(1)f(x)的图象开口向上，对称轴为x=2，
所以在区间[0,3]上有：f(x)min=f(2)，f(x)max=f(0)，
即4a−8a+b=−1b=3，解得：a=1b=3，
所以f(x)=x2−4x+3；
(2)依题意∃x∈(1,+∞)，使得f(x)1，x+3x−4≥2 x⋅3x−4=2 3−4，
当且仅当x=3x，即x= 3时等号成立．
所以m>2 3−4，
故m的取值范围为：(2 3−4,+∞)．
【解析】本题考查了二次函数的最值及利用基本不等式求函数的最值，属于基础题．
(1)根据f(x)的最值列方程组，解方程组求得a，b的值，进而求得f(x)；
(2)利用分离常数法，结合基本不等式求得m的取值范围．
20.【答案】解：(1)∵ 当 x0 ，
∵ 当 x>0 时， gx=fx=lg3x,gx 为 R 上的奇函数
∴gx=−g−x=−lg3−x,g0=0
综上所述，函数 gx 的解析式为 gx=lg3x,x>00,x=0−lg3−x,x