河南省创新联盟2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省创新联盟2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至第二册第六章6．2．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知p：存在一个平面多边形的内角和是540°，则（ ）
A. p为真命题，且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是540°
B. p为真命题，且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540°
C. p为假命题，且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540°
D. p为假命题，且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是540°
【答案】A
【解析】
【分析】举例说明判断命题p的真假，再利用存在量词命题的否定方法判断p的否定作答.
【详解】平面五边形的内角和为，因此命题p是真命题，CD错误；
又命题p是存在量词命题，其否定为全称量词命题，因此p的否定是：所有平面多边形的内角和都不是540°，B错误，A正确.
故选：A
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. 
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合B，再利用并集、交集、补集的运算结合集合的包含关系判断各选项作答.
【详解】，而，显然，
因此，，AB都错误；
因为且，或，
所以，C正确，D错误.
故选：C
3. 函数图象的对称中心可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令即可求出f(x)对称中心横坐标，从而可判断求解．
【详解】由，得，
当时，．
故选：C．
4. 小赵同学骑自行车从A地沿北偏西方向骑行了5km到达B地，再从B地沿北偏东方向骑行了到达C地，则( )
A. C地在A地西南方向上，且
B. C地在A地东北方向上，且
C. C地在A地西南方向上，且
D. C地在A地东北方向上，且
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形，求出∠ABC的度数，求出AC长度和∠BAC的度数，从而可判断A地位置，根据向量数量积即可计算．
【详解】如图，
由题意得，
则，，∴C地在A地东北方向上，
且．
故选：D．
5. 已知函数（且）的图象过定点，则函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数所过定点的坐标可得出，求出、的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数（且）的图象过定点，
则，可得，所以，，
因为函数、在上均为减函数，
所以，函数在上为减函数，
且，，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.
故选：A.
6. 为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（ ）
A. 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】变换，根据三角函数平移和伸缩法则依次判断每个选项，对比得到答案.
【详解】，
对选项A：得到的函数为，错误；
对选项B：得到的函数为，错误；
对选项C：得到的函数为，错误；
对选项D：得到的函数为，正确；
故选：D
7. 在中，BC边上的高为AD，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再借助平面向量基本定理求解作答.
【详解】如图，因为，则，令，则，
而于D，则有，，因此，
即，所以.
故选：B
8. 函数的单调递减区间为（ ）
A.
B. ，，
C.
D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】先构造函数分段求解析式后画出函数图像，确定函数的单调减区间，再应用整体代入法解出单调区间即可.
【详解】由正弦、余弦函数的图像可知，
当，即时，函数，
当，即，函数，
的部分图像如图所示．
由图可知，的单调递减区间为，．
因为，所以由，得，
由，得．
故的单调递减区间为，．
故选:B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 零向量与任意向量平行
C. 方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量是共线向量
D. 在平行四边形ABCD中，
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，根据向量相等的定义即可判断，对B，根据规定即可判断，对C，利用共线向量的定义即可判断，对D，根据平行四边形性质即可判断.
【详解】对A，向量的模相等，方向不一定相同，故向量不一定相等，故A错误；
对B，根据规定：零向量与任意向量平行，故B正确；
对C，东偏南即南偏东，故两向量为共线向量，故C正确，
对D，因为四边形为平行四边形，故，故，故D正确.
故选：BCD
10. 若向量，，满足，，，与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知模长应用向量数量积公式判断A,B,D选项，根据向量和的模长范围判断C选项即可.
【详解】由题意得，A正确;
， B错误;
当，同向时，取到最大值，且最大值为，
当，异向时，取到最小值，且最小值为，
所以，C正确;
因为，所以，D正确．
故选：ACD.
11. 已知，均为锐角，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由条件结合特殊角三角函数值求，利用诱导公式求，结合同角关系求，利用诱导公式结合二倍角公式求，由此判断各选项.
【详解】因为，所以，
又，
所以，故，A正确；
因为，
所以，即，
所以，所以，B正确；
当时，可得，
所以，
当时，可得，
所以，C错误；
所以，D正确；
故选：ABD.
12. 已知函数，且，在上的图像与直线恰有2个交点，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先利用诱导公式将化简为，利用条件，得到，再利用在上的图像与直线恰有2个交点，从而求出的范围，得到结果.
【详解】，
，又因为，
，即.
又在上的图像与直线恰有2个交点，
由，得到，
所以或，得到或，
，当取1时，由，得到，
当取0，1时，由，得到，，
所以且，即，
故或
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 写出一个与终边相同的正角：______．（用弧度数表示）
【答案】，(写出一个即可)
【解析】
【分析】终边相同的角之间相差或可得答案.
【详解】因为，
所以与终边相同的正角为,写出一个即可为.
故答案为：.
14. 若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再利用投影向量及向量模的意义求解作答.
【详解】因为，，则有，即，
而在方向上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模为.
故答案为：5
15. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答.
【详解】函数在上单调递增，
依题意，，，且在上单调递增，
因此，解得，
所以a的取值范围是.
故答案：
16. 在长方形中，，，为边的中点，分别为边上的动点，且，则的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】画出图形，用三角函数的性质表示出，在根据辅助角公式化简，换元法后利用函数单调性求解即可.
【详解】如图，
设，
则，，，
，
令，则，
所以．
易得，所以，，
因为函数在上单调递增，
所以，
所以．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且．
（1）在图中，以A为起点作出向量，使得；
（2）在（1）的条件下，求．
【答案】（1）作图见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）由向量线性运算的几何表示作出向量；
（2）利用向量，为基底，求.
【小问1详解】
，以A为起点作出向量，如图所示，
【小问2详解】
由图中网格可得：，
由，，且
则有
18. 我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一”（注：宛田，扇形形状的田地；径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式：扇形面积．
（1）已知甲宛田的面积为2，周为2，求径的大小以及甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数；
（2）若乙宛田的面积为2，求乙宛田径与周之和的最小值．
【答案】（1）2，1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题中公式求弧长，根据弧长公式求圆心角弧度数；
（2）根据基本不等式公式计算.
【小问1详解】
由题意得，得径，
则扇形的半径为2，所以甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数为．
【小问2详解】
设乙宛田的弧长为l，径为d，则，得，
所以乙宛田径与周之和为，
当且仅当时，等号成立．
故乙宛田径与周之和的最小值为．
19. 已知函数．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由倍角公式结合同角三角函数的基本关系计算即可；
（2）由得出，进而由同角三角函数的基本关系得出的值．
【小问1详解】
因为，
所以．
【小问2详解】
由，化简得，
得或，由，得，所以．
联立得，．
故．
20. 已知直线和是函数图象的两条相邻的对称轴．
（1）求单调递增区间；
（2）若图象的一个最高点与相邻的一个对称中心之间的距离为，求在上的值域．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意求得，，再利用正弦函数的性质求得单调递增区间；
（2）根据题意求得，再利用正弦函数的性质求得在上的值域．
【小问1详解】
依题意可得，即，而，.
若对称轴过图象的最高点，
则，解得，令符合题意；
若对称轴过图象的最低点，
则，解得，不符合题意，舍去.
所以，此时
令，
解得
所以的单调递增区间为
【小问2详解】
因为图象的一个最高点与相邻的一个对称中心之间的距离为，
所以，即，解得.
所以.
因为，所以，
则当，即时，，
当，即时，
故在上的值域为.
21. 在平行四边形ABCD中，，，，线段EF与线段AG相交于点O．
（1）用，表示；
（2）用，表示．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解作答.
（2）用向量，表示出，再利用共线向量定理结合两次共线列式计算作答.
【小问1详解】
在中，，，则，,
所以.
【小问2详解】
因为，则，则，
又线段EF与线段AG相交于点O，则由，设，，
由，设，
，
因为与不共线，因此，解得，
所以.
22. 已知函数．
（1）若，证明：的图象始终在x轴上方．
（2）若函数有4个零点，求k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意先得出，再由，得出，
，即可得出，从而得证.
（2）先根据题意得出为偶函数并且求导，得出在上单调递增，在上单调递减，
将函数整理后得，并令，
得到，再由有4个零点转化为
在上有2个零点，根据二次函数图像性质，得出k的取值范围即可.
【小问1详解】
证明：由题意得，
由，得，，
因为，所以，
即图象始终在x轴上方．
【小问2详解】
由题意得，
因为定义域为且，所以为偶函数．因为，当
时，，；当，，，即在上单调递增，
在上单调递减．
因为
，
令，则，
因为有4个零点，所以令函数在上有2个零点即可，
则得，故k的取值范围为．
【点睛】方法点睛：函数零点个数常见的判定方法有
（1）直接法：直接求出的解即可；
（2）图像法：作出的图像，观察与轴的交点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出两个函数图像，观察它们公共点的个数；
（3）涉及的零点问题，结合的图像，利用换元法，转化成二次函数的根的个数问题进行求解；