中考数学精选真题实战测试34 直角三角形与勾股定理 B

这是一份中考数学精选真题实战测试34 直角三角形与勾股定理 B，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC.若OC=5，BC=1，∠AOB=30°，则OA的值为（ ）
A．3B．32C．2D．1
2．（3分）（绵阳）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋3．则四边形EFGH的周长为（ ）
A．4(2+6)B．4(2+3+1)C．8(2+3)D．4(2+6+2)
3．（3分）（兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE， ∠ABC=60° ， BD=43 ，则 OE= （ ）
A．4B．23C．2D．3
4．（3分）（包头）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE=AB，AF与BE相交于点O，连接OC，若BF=2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（ ）
A．2OC=5EFB．5OC=2EFC．2OC=3EFD．OC=EF
5．（3分）（2021·贵州）已知直线 y=−x+1 与 x 轴、 y 轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
6．（3分）（2021·贵州）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用 30° 角的三角板的直角边和含 45° 角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
7．（3分）（2021·绵阳）如图，在边长为3的正方形 ABCD 中， ∠CDE=30° ， DE⊥CF ，则 BF 的长是（ ）
A．1B．2C．3D．2
8．（3分）（青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE=BC，连接DE，F为DE中点，连接BF.若AC=16，BC=12，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．6D．8
9．（3分）（眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB=2，HG=3.以下结论：
①∠EDC=135°；②EC2=CD⋅CF；③HG=EF；④sin∠CED=23.其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）（泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE=2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（ ）
A．23B．56C．67D．1
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（丹东）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为 ．
12．（3分）（内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 .
13．（3分）（桂林）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走.已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米.
14．（3分）（雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 .
15．（3分）（武威）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，若 AB=25cm ， AC=4cm ，则 BD 的长为 cm.
16．（3分）（山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE=5，CN=8，则线段AN的长为
三、解答题（共7题，共72分）(共7题；共72分)
17．（6分）（安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1）（3分）∠FDG= °；
（2）（3分）若DE=1，DF=22，则MN= ．
18．（8分）（2021·荆门）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点， ∠AEF=90° ，且 EF=AE ， FH⊥BH .
（1）（4分）求证： BE=CH ；
（2）（4分）若 AB=3 ， BE=x ，用x表示DF的长.
19．（8分）（贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.
（1）（4分）求证：△ABE≌△FMN；
（2）（4分）若AB=8，AE=6，求ON的长.
20．（8分）（丽水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重台，点A落在点P处，折痕为EF，
（1）（4分）求证：△PDE≌△CDF；
（2）（4分）若CD=4cm，EF=5cm，求BC的长.
21．（12分）（赤峰）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
（1）（4分）【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 ；
（2）（4分）【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
（3）（4分）【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC=6，CE=2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．
22．（14分）（仙桃）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD=m，BD=n，△ADE与△BDF的面积之和为S.
（1）（2分）填空：当∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B=45°，m=52，则n= ，S= ；
②如图2，若∠B=60°，m=43，则n= ，S= ；
（2）（3分）如图3，当∠ACB=∠EDF=90°时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：
（3）（3分）如图4，当∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小.
23．（16分）（宁夏）综合与实践
（1）（2分）知识再现
如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S1、S2、S3．当S1=36，S3=100时，S2= ．
（2）（2分）问题探究
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．
如图2，分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是 ．
（3）（4分）如图3，分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S4、S5、S6，试猜想S4、S5、S6之间的数量关系，并说明理由．
（4）（4分）实践应用
如图4，将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH，△ACE绕点A顺时针旋转一定角度至△AMN，GH、MN相交于点P．求证：S△PHN=S四边形PMFG；
（5）（4分）如图5，分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V1、V2、V3．若AB=4，柱体的高ℎ=8，直接写出V1+V2的值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】B
11．【答案】25
12．【答案】10
13．【答案】203
14．【答案】7.5
15．【答案】8
16．【答案】434
17．【答案】（1）45
（2）2615
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=90°，AB=BC，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°.
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEH.
又∵EF=AE，
∴△ABE≌△EHF.
∴BE=FH，AB=EH，
∴AB=BC=EH，则BC-EC=EH-EC，
∴BE=CH；
（2）解：作FP⊥CD于P，
由（1）可知EH=AB，
∴CE=3−x.
∴CH=FH=FP=x，
∴PD=3−x.
DF=x2+(3−x)2=2x2−6x+9
19．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，BC∥AD，
AB∥DC，
∵MF∥AD，∠A=∠D=90°，AB∥DC，
∴四边形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴MN⊥BE，
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵∠NFM=∠A=90∘MF=AB∠OMF=∠MBO，
∴△ABE≌△FMN；
（2）解：连接ME，如图，
∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中，BE=AB2+AE2=82+62=10，
∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴BO=OE=12BE=5，BM=ME，
∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中，AM2+AE2=ME2，
∴(8−ME)2+62=ME2，解得：ME=254，
∴BM=ME=254，
∴在Rt△BMO中，MO2=BM2−BO2，
∴MO=BM2−BO2=(254)2−52=154，
∴ON=MN-MO=10−154=254.
即NO的长为：254.
20．【答案】（1）证明：由题意，∠PDF-∠B=∠ADC=90°，PD=AB=CD，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF，
即∠PDE=∠CDF.
又∵∠P=∠A=∠C=90°，
∴△PDE≌△CDF.
（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，
∴∠EGC=90°，EG=CD=4.
在Rt△EGF中，EG2+GF==EF2，
∴CF=3
设CF=x，由(1)得BG=AE=PE=x，
∴DF=BF=x+3，
在Rt △CDF 中， CF2+CD2=DF2 ，即 x2+42=(x+3)2 ，解得 x=76 .
∴BC=BG+GF+CF=2×76+3=163(cm) .
21．【答案】（1）AE=BF
（2）解：过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，作TR∥AD.交AB于点T，交CD于点R，如图，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴AT=TO=OM=MA=12AB=12AD，
又∠A=90°
∴四边形ATOM是正方形，
∴S正方形ATOM=14S正方形ABCD=14AB2=16，
同（1）可证△OME≅ΔOTG.
∴S四边形AEOG=S正方形ATOM=16
（3）解：∵四边形ABCD，CEFG均为正方形，
∴AB=BC=CD=DA=6，CE=EF=FG=GC=2，∠B=∠E=∠ADC=∠EFG=90°，
∵CG在CD上，
∴DG=DC−CG=6−2=4，
又CE在BC的延长线上，
∴BE=BC+CE=6+2=8，
设BP=x，则PE=8−x，
在RtΔABP中，AP2=AB2+BP2=36+x2，
在RtΔFPE中，FP2=PE2+EF2=(8−x)2+22=x2−16x+68
延长AD，CE交于点Q，则四边形DQFG是矩形，
∴QF=DG=4，DQ=GF=2，
∴AQ=AD+DQ=6+2=8.，
在RtΔAQF中，AF2=AQ2+QF2=82+42=80，
若△APF为直角三角形，则有，
AP2+PF2=AF2，即36+x2+x2−16x+68=80.
整理得，x2−8x+12=0，
解得，x1=6，x2=2.
∴BP=6或BP=2.
22．【答案】（1）52；25；4；83
（2）解：过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，
∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°，
∴四边形DGCH为矩形，
∵CD是△ABC的角平分线，DH⊥AC，DG⊥BC，
∴DG=DH，
∴四边形DGCH为正方形，
∴∠GDH=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°，
∴∠FDG=∠EDH，
在△DFG和△DEH中，
∠FDG=∠EDHDG=DH∠DGF=∠DHE，
∴△DFG≌△DEH（ASA）
∴FG=EH，
在△DBG和△DIH中，
DG=DH∠DGB=∠DHIBG=IH，
∴△DBG≌△DIH（SAS），
∴∠B=∠DIH，DB=DI=n，
∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°，
∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°，
∴S△ADI=12AD⋅DI=12mn，
∴S=S△ADE+SΔBDF=S△ADE+SΔHDI=SΔADI=12mn；
（3）解：过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S，
∵CD是△ABC的角平分线，DP⊥AC，DQ⊥BC，
∴DP=DQ，
∵∠ACB=60°
∴∠QDP=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°，
∴∠FDQ=∠EDP，
在△DFQ和△DEP中，
∠FDQ=∠EDPDQ=DP∠DQF=∠DPE，
∴△DFQ≌△DEP（ASA）
∴DF=DE，∠QDF=∠PDE，
在△DBQ和△DRP中，
DQ=DP∠DQB=∠DPRBQ=RP，
∴△DBQ≌△DRP（SAS），
∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR，
∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE，
∵DB=DE，DB=DR，
∴△DBF≌△DRE，
∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°，
∴S=S△ADR=12AS⋅DR=12ADsin60°×DR=12×6×32×4=63.
23．【答案】（1）64
（2）S1+S2=S3
（3）解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
过点D作DG⊥BC交于G，
在等边三角形BCD中，CD=BC，CG=12BC，
∴DG=32BC，
∴S4=12×BC×32BC=34BC2，
同理可得S5=34AC2，S6=34AB2，
∴34AB2=34AC2+34BC2，
∴S4+S5=S6；
（4）证明：设AB=c，BC=a，AC=b，
∴HN=a+b−c，FG=c−a，MF=c−b，
∵△HGB是等边三角形，△ABF是等边三角形，
∴HG//AF，MN//BF，
∴∠HPN=60°，
∴△HNP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，
∴S△PMN=34(a+b−c)2，S四边形PMFG=32(c−a)(c−b)，
∵△ABC是直角三角形，
∴c2=a2+b2，
∴34(a+b−c)2=34(a2+b2+c2+2ab−2bc−2ac)=32(c2+ab−bc−ac)=32(c−a)(c−b)，
∴S△PMN=S四边形PMFG；
（5）解：设AB=c，BC=a，AC=b，以AB为直径的圆的面积为S3、以BC为直径的圆的面积为S1、以AC为直径的圆的面积为S2，
∵△ABC是直角三角形，
∴c2=a2+b2，
∴π4c2=π4a2+π4b2，
∴S1+S2=S3，
∵V2=12S2ℎ，V1=12S1ℎ，V3=12S3ℎ，
∴V2+V1=12(S1+S2)ℎ=12S3ℎ=V3，
∵AB=4，ℎ=8，
∴V3=12S3ℎ=12×π×4×8=16π，
∴V1+V2=16π．