2024省齐齐哈尔普高联谊校高三上学期12月期末考试数学含解析

这是一份2024省齐齐哈尔普高联谊校高三上学期12月期末考试数学含解析，共22页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：复数，数列立体几何（含空间向量）占50%；集合，逻辑，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量占50%．
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数在复平面上对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 在等比数列中，，，则首项等于（ ）
A. 2B. 1C. D.
4. 若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（ ）
A. B. C. D.
5. 设函数，则（ ）
A. 是偶函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减
C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是奇函数，且在上单调递减
6. 若函数在上单调，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 若为函数的极值点，则函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）

A. 30B. 60C. D.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 设向量，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 最大C. D.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数为偶函数
D. 若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则可以为
12. 如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 的最小值为
C. 若直线与所成角余弦值为，则
D. 若是的中点，则到平面的距离为
三、填空题：本题共4小题．
13 已知函数，则______．
14. 若数列是等比数列，且，则__________．
15. 已知，为坐标原点，点（异于点）在直线上，则________.
16. 已知函数图象上相邻两对称轴的距离为，则函数的图象与函数（，且的图象所有交点的横坐标之和为________.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在递增的等比数列中，，，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前n项和.
18. 在中，角，，所对的边分别为，，，.
（1）求角；
（2）若，求边上高的最大值.
19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点，，．
（1）求与所成角的大小；
（2）求与平而所成角的正弦值．
20. 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求通项公式；
（2）求数列的前n项和.
21. 如图，多面体中，四边形为菱形，平面，，，，.
（1）若是的中点，证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
22. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明.齐齐哈尔普高联谊校高三期末考试
数学
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：复数，数列立体几何（含空间向量）占50%；集合，逻辑，不等式，函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量占50%．
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合A，再利用集合的交集运算求解.
【详解】由，得，解得，
所以，又，
所以．
故选：D
2. 复数在复平面上对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限.
【详解】∵复数=,∴复数对应的点的坐标是（）,
∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.
3. 在等比数列中，，，则首项等于（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列基本量关系求解即可.
【详解】，，，.
故选：C
4. 若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可.
【详解】设向量与的夹角是，
则．
又因，所以．
故选：A．
5. 设函数，则（ ）
A. 是偶函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减
C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是奇函数，且在上单调递减
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，画函数图象，然后结合图象得函数的单调区间.
【详解】因为函数的定义域为R，且，
所以是奇函数，又，作出函数图象如下图：
由图知，函数在和上单调递增，在上单调递减.
故选：B
6. 若函数在上单调，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，得到，然后根据在单调求解.
【详解】解：因为，
所以，
因为在单调，
所以，
∴，
故选：D.
7. 若为函数的极值点，则函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由为函数的极值点求得a，再利用导数法求解.
【详解】，
因为是函数的极值点，
所以，则，
所以，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故选：C
8. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）

A. 30B. 60C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理，得，再结合锐角三角函数的定义，求得，，得解．
【详解】由题意知，，，
所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，，
所以，
在中，米，
所以小明估算索菲亚教堂的高度为米．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 设向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示可判断AB正误；由向量模长坐标运算可知CD正误.
【详解】对于A，，，A正确；
对于B，，与不平行，B错误；
对于C，，，C正确；
对于D，，，D正确.
故选：ACD.
10. 设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 最大C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知条件可得，然后逐个分析判断即可
【详解】因为，所以，得，即，则A正确.
当时，，则，最小，故B错误.
因为，所以，所以，
对称轴为，所以，则C错误.
因为，所以D正确.
故选：AD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数为偶函数
D. 若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则可以为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用辅助角公式和周期公式即可判断；对于B，求出后利用对称中心点的计算即可判断；对于C，利用偶函数的判断标准判断即可；对于D，根据三角函数变换法则进行变换后，利用关于轴对称进行判断即可.
【详解】因为，
所以的最小正周期为，故A正确；
当时，，
所以函数的图象关于点对称，B正确；
易知函数的定义域为，
又
，
所以函数不是偶函数，故C错误；
函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
由题意，函数的图象关于轴对称，
所以，，即，，
当时，，故D正确．
故选：ABD
12. 如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 的最小值为
C. 若直线与所成角的余弦值为，则
D. 若是的中点，则到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A；结合正方体结构特征判断当点与重合时，取最小值，即可判断B；建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间角的向量求法可判断C；将线面距离转化为点面距离，根据空间距离的向量求法求得点到平面的距离，即可判断D.
【详解】在正方体中，因为平面，平面，
所以平面平面，故A正确；
连接，由平面，平面，得，
故在中，当点与重合时，取最小值，故B正确；
如图，以、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，，
假设存在点，使直线与所成角的余弦值为，
则，
解得（舍去），或，此时点是中点，，故C错误；
由且平面，平面，知平面，
则到平面的距离，即为到平面的距离；
是的中点，故，，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，故，
所以点到平面的距离为，
即到平面的距离为，D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题．
13. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】求出，代值计算可得出的值.
【详解】因为，则，故.
故答案为：.
14. 若数列是等比数列，且，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据等比数列的性质求解即可．
【详解】根据等比数列的性质，有，
则，解得，
所以．
故答案为：4．
15. 已知，为坐标原点，点（异于点）在直线上，则________.
【答案】
【解析】
【分析】由点（异于点）在直线上设出其坐标，然后得出向量坐标，由数量积公式和模长公式求得答案.
【详解】点（异于点）直线上，可设，，
可得，，
则，且，
所以，
故答案为：.
16. 已知函数图象上相邻两对称轴的距离为，则函数的图象与函数（，且的图象所有交点的横坐标之和为________.
【答案】4
【解析】
【分析】由题意可知和且的图象关于点中心对称，作出两函数图象，即可得出答案.
【详解】由题知，函数的最小正周期为，，所以，
则.又，
所以的图象关于点中心对称，
作出和，且的图象如图所示，
可知两函数图象共有4个交点，且关于点中心对称，
将4个交点从左到右设为，，
则，
故这4个交点的横坐标之和为:.
故答案为：4
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在递增的等比数列中，，，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答.
（2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答.
【小问1详解】
由，等比数列是递增数列，得，
因此数列的公比，则，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）得，，
.
18. 在中，角，，所对的边分别为，，，.
（1）求角；
（2）若，求边上高的最大值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）用正弦定理边化角即可求解；
（2）用余弦定理结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理及，得.
因为，所以，
所以，所以.
因为，所以.因为，所以.
【小问2详解】
由（1）及余弦定理得：，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
设边上高为，又因为，所以.
即边上高的最大值为.
19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点，，．
（1）求与所成角的大小；
（2）求与平而所成角的正弦值．
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出、，利用可得答案；
（2）求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
，又底面，、底面，，，
故以为坐标原点，，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，所以，
所以，即与所成角的大小为；
【小问2详解】
由（1）知，，．
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，
所以是平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
20. 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，用、表示及，即可求解作答；
（2）方法1，利用（1）的结论求出、，再分奇偶求和求出即可；方法2，利用（1）的结论求出、，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是；
【小问2详解】
方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当为奇数时，.
所以.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，
，
当为奇数时，若，则
，
显然满足上式，因此当为奇数时，.
.
21. 如图，多面体中，四边形为菱形，平面，，，，.
（1）若是的中点，证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，用向量法结合坐标运算即可求解.
小问1详解】
证明：连接，因为四边形为菱形，且，
所以与为等边三角形.
又中点为，所以.因为，所以，
因为平面，平面，所以.
又，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
解：连接，，设，交于点，取中点，连接，所以，底面.
以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则
令，得；
设平面的一个法向量为，
则
令，得；
所以，
所以二面角的正弦值为.
22. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明.
【答案】（1）；
（2），证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）利用导数研究函数单调性及最值，分类讨论即可判定的取值范围，构造差函数证明即可.
【小问1详解】
当时，，易知，
所以曲线在点处的切线方程为：；
【小问2详解】
由已知可得，
①若，则，，
即在上单调递增，上单调递减，，
又时，，所以函数存在两个零点；
②若时，，显然不符合题意；
③若时，令，
当时，令或，令，
即在上单调递减，和上单调递增，
函数极小值为，函数极大值为，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，，则单调递增，至多一个零点，不符合题意；
当时，令或，令，
即在上单调递减，和上单调递增，
函数极大值为，函数极小值为，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
综上所述，时函数有两个零点，则一正一负，
不妨令，设，
令，即在R上单调递增，
所以，，
故时，有，时，有，
即，所以，
则，
又因为在上单调递减，故，证毕.
【点睛】第二问关键是分类讨论，通过判断单调性及极值、最值研究函数的零点个数，证明可利用构造差函数，通过证明来判定极值点偏移问题.