初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数课后作业题

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【答案】
【分析】如图，取点，连接，，作，垂足为点，即，证明，则，由，可知当点三点共线时，有最小值，在中，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：当，当，
∴，
如图，取点，连接，，作，垂足为点，即，
在和中，
∵，
∴，
，
，
当点三点共线时，有最小值，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数等知识．解题的关键在于添加适当的辅助线．
2．如图放置的,，，…都是边长为2的等边三角形，边在y轴上点，，，…都在直线上，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】由已知结合等边三角形的性质和一次函数的性质可分别求出，， ，(，…，，由此即可求解．
【详解】解：∵是边长为2的等边三角形，且边在y轴上，
∴，，
∵在直线上，
∴将代入，得，
解得：，
∴．
又∵，且轴，
∴．
同理，
∴将代入，得，
解得：，
∴．
∴．
同理可求：，，…，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数，等边三角形的性质，点的坐标规律，理解题意结合一次函数的图象与正三角形的特点通过计算得出点的坐标，得到点的坐标规律是解题的关键．
3．如图，四边形是矩形，在轴上，在轴上，函数的图象与交于点，点是射线上一点，沿折叠点恰好落在函数的图象上，且，则点的坐标为_____．
【答案】/
【分析】设沿折叠点恰好落在函数的图象上，其坐标为，进而可得，点B坐标为，由，可得、、点E坐标为，根据和两点距离公式方程求出，即可解得．
【详解】解：由折叠性质可知：，
设沿DE折叠点B恰好落在函数的图象上，其坐标为，
∴，
∴点B坐标为
∵，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴点E坐标为，，
∴，
整理得：，
解得：(不合题意，舍去)，，
∴
∴点B坐标为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了折叠图形的性质和一次函数图象点的坐标特征，根据两点距离公式正确表示出和列方程求解是解题关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，的中点M的坐标为．若一次函数的图像经过点M，且将分成的两个部分面积之比为，则k的值为_____________．
【答案】1或/或1
【分析】连接，先求出，再根据条件得出，由题意分两种情况讨论：当点C在OB边上，求出点，然后利用待定系数法即可求出k；当点C在OA边上，作辅助线如图，则有，，易求出直线的解析式为，于是设点，求出，然后根据构建方程求出n，进而可得点C坐标，再利用待定系数法即可求出结果．
【详解】解：连接，
∵，点M为AB的中点，
∴，
设满足条件的直线与的另一边边交于点C，由题意分两种情况：
当点C在OB边上，且时，可得，
可得：，
∴，
∴，
∴，
将，代入，
得出：，
解得：；
当点C在OA边上，可得，，如图，则有，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
∴直线的解析式为，
连接，作于点D，于点E，
则，
∴，
∴设点，
则，，
∵，
∴，即，
解得(负值已舍去)，
∴点C的坐标是，
把、C代入，
得出：，
解得：；
故答案为：1或．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、利用勾股定理求两点间的距离等知识，正确得出点C坐标是解题的关键．
5．如图：在平面直角坐标系内有长方形，点，分别在轴，轴上，点在上，点在上，沿折叠，使点与点重合，点与点重合．若点在坐标轴上，且面积是18，则点坐标为_____．
【答案】或或或
【分析】过作于F，如图：根据折叠的性质得到，，，，根据三角形的面积公式和勾股定理得到，当P在x轴上时，连接交x轴于H，得到，当P在y轴上时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】解：过作于F，如图：
∵，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点B与点O重合，点C与点重合，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，且，
∴，
∴；
当P在x轴上时，连接交x轴于H，如图：
∵，；
∴直线为，
令得，
∴，
∵面积是18，
∴，即，
∴，
∴或；
当P在y轴上时，如图：
∵面积是18，
∴，即，∴，
∴或，
综上所述，P的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，坐标与图形，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理．
6．如图，直线的解析式为分别与，轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且，在轴上方存在点，使以点为顶点的三角形与全等，则点的坐标为______．
【答案】或
【分析】将点的坐标代入直线的解析式为，可求得直线的解析式，从而可得到的长度，再分和两种情况进行讨论即可得到答案．
【详解】解：点在直线上，
，
直线的解析式为：，
当时，，当时，，解得，
点坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，，
以点为顶点的三角形与全等，
当时，如图所示，
此时，且，
，即，
点的横坐标为3，纵坐标为4，
点的坐标为：；
当时，如图所示，
此时，，
，
点的横坐标为4，纵坐标为3，
点的坐标为：，
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是一次函数图像上的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大．
7．如图，一次函数与轴交于点，点在直线上且横坐标为．点为轴上一点，，若点是轴上的动点，在直线上找在一点(点与点不重合)，使与全等，点的坐标为______．
【答案】或或．
【分析】把点代入一次函数中，即可求出；然后令，代入一次函数解析式，即可求得即可求得y，从而得出点坐标；设，根据利用，利用勾股定理求得点的坐标，然后分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．
【详解】解：点代入，得
，
解得：，
，
当时，则，
；
令，则，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
；
∵，，，
∴，，
∵点是轴上的动点，点在直线上，
设且与点不重合，
分两种情况：①当时，则
，即，
解得：，，
∴或，
∴或；
②当时，则，
，即，
解得：，，或，
∵点与点不重合，，
综上，存在点(点与点不重合)，使与全等，点N的坐标为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，一次函数与坐标轴的交点，两点间的距离，勾股定理，全等三角形的判定和性质、分类讨论思想，是一次函数与全等三角形的综合题，解答本题的关键在分类讨论．
8．如图，已知，点P在线段上(点P不与点A重合)，点Q在线段上，，当最小时，点Q的坐标________．
【答案】
【分析】如图所示，过点Q作轴于D，过点B作于E，设，利用勾股定理求出，再利用三角形面积法求出，则，即可利用勾股定理求出，要使最小就相当于在x轴上找一点到点G和点H的距离最小，该点即为直线与x轴的交点，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点Q作轴于D，过点B作于E，设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的和就相当于点到点G和点H的距离之和，
∵要使最小，
∴即为直线与x轴的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，正确得到要使最小就相当于在x轴上找一点到点G和点H的距离最小是解题的关键．
9．已知直线与(其中k为正整数)，记与x轴围成的三角形面积为，则___________．
【答案】
【分析】变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论k取何值，直线与的交点均为定点；先求出与x轴的交点和与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后即可求解．
【详解】解：∵直线，
∴直线经过点；
∵直线：，
∴直线：经过点．
∴无论k取何值，直线与的交点均为定点．
∵直线与x轴的交点为，
直线：与x轴的交点为，
∴，
∴；
∴
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0．
10．如图，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点．从点P(1，0)射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是________．
【答案】
【分析】由题意知的点A(4，0)，点B(0，4)，也可知点P(1，0)，设光线分别射在AB、OB上的Q、M处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PQA=∠BQM；∠PMO=∠BMQ．由而求得的坐标．求出直线，由此能求出点Q的坐标．
【详解】解：∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴点A(4，0)，点B(0，4)，
设光线分别射在AB、OB上的Q、M处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，
根据反射规律，则∠PQA=∠BQM；∠PMO=∠BMQ．
∵点P(1，0)，
作出点P关于OB的对称点，则，
作出点P关于AB的对称点，则：
∴共线，
∵，
即；∴(4，3)，
设直线的解析式为,则有：，解得：，
∴直线的解析式为，，解得：，
∴Q点的坐标为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，正确画出图形，用待定系数法求出直线解析式来解．
11．如图，在直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，C为的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为________．
【答案】/
【分析】先根据直线先确定和的长，再证明四边形是矩形，得出，再证明四边形是平行四边形，则，在中，是定值，所以只要的值最小就可以，当、、在同一直线上时，的值最小，利用平行四边形的性质求出即可．
【详解】解：如图，连接，
直线分别交轴，轴于，两点，
，，
是的中点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
要使的值最小，只需、、三点共线即可，
点是点关于点的对称点，
，
又点，
根据勾股定理可得，
此时，，
即的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数点的坐标的求法、矩形的判定及性质、三角形面积的求法和三点共线及最值，勾股定理，解题的关键是作辅助线进行求解，综合性强．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(5，12)，B是x轴负半轴上一点，OP平分∠AOB，则OP所在直线的函数解析式为_______．
【答案】
【分析】过点A作轴交于点，过点作轴于点，于点，过点作轴于点，根据，轴，轴，点A的坐标是(5，12)可得,，，因为平分可得，易证得，可求出的长度，即可得出点的坐标，可求出所在直线的函数解析式．
【详解】解：如图，过点A作轴交于点，过点作轴于点，于点，过点作轴于点；
点的坐标是，
,；
,
轴，轴，
；
平分，
；
轴，
，
在和中，
，
，
；
，
,
点的坐标为；
设直线的解析式为，将点的坐标为代入
可得：，
解得：；
；
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角函数以及正比例函数解析式的求解，熟练掌握数形结合的方法是本题解题关键．
13．如图，正方形边长为6，对角线、相交于点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，点坐标为______．
【答案】(4，0)或(12，0)/(12，0)或(4，0)
【分析】过点D作DH⊥OA于点H，分两种情况：①点P在点A左侧，根据正方形的性质，易证△DHE≌△DHP(ASA)，可得PH=EH=1，可得点P坐标；②点P在点A右侧，在线段AC上截取AF=2，连接DF并延长交x轴于点P，待定系数法求DF的解析式，即可求出点P坐标．
【详解】解：过点D作DH⊥OA于点H，如图所示，
①点P在A点左侧，
在正方形OABC中，OD=AD，∠DOA=45°，
∴∠ODP=∠ADP，H为OA的中点，
∵∠DEA-∠PDA=45°，∠DEA=∠DOA+∠ODE，
∴∠PDA=∠ODE，
∴∠EDH=∠PDH，
∵∠DHE=∠DHP，DH=DH，
∴△DHE≌△DHP(ASA)，
∴EH=PH，
∵正方形OACB的边长为6，
∴OA=6，
∴OH=HA=3，
∵E(2，0)，
∴OE=2，
∴HE=1，
∴HP=1，OP=4，
∴P(4，0)；
②点P在A点右侧，
在线段AC上截取AF=2，连接DF并延长交x轴于点P，
∵OD=AD，∠DOH=∠DAF=45°，OE=AF=2，
∴△DOE≌△DAF，
∴∠ODE=∠ADF，
∴∠DEA-PDA=∠DEA-∠ODE=45°，
∴点P就是所求点，
∵正方形的边长为6，
∴D(3，3)，F(6，2)，
设直线DF的解析式：y=kx+b，
代入D，F点坐标，
得，
解得，
∴DF的解析式：，
令y=0，得x=12，
∴P(12，0)，
综上，点P坐标为(4，0)或(12，0)，
故答案为：(4，0)或(12，0)
【点睛】本题考查了正方形的性质，设计全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，熟练掌握正方形的性质以及分情况讨论是解题的关键．
14．等腰Rt△AOB和等腰Rt△COB按如图所示方式放置，∠OAB＝∠OCB＝90°，A(1，1)，将△AOB沿x轴平移，得到△DEF，连接CD，CE．当CD＋CE的值最小时，点D的坐标为________．
【答案】
【分析】证明，则当最小时，即最小，作点B关于AD所在直线的对称点G，连接CG，此时CG是的最小值，与AD所在直线的交点即为点D，求出CG直线方程为：，当时，，即可求出．
【详解】解：∵Rt△AOB和Rt△COB是等腰三角形，且，∠OAB＝∠OCB＝90°，
∴是正方形，，
根据平移的性质可知：，，
∴，，
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴，
若最小，即最小，
作点B关于AD所在直线的对称点G，连接CG，此时CG是的最小值，与AD所在直线的交点即为点D，
∵,
∴，，，
设CG直线方程为：
将，代入方程得：，解得：，
∴
当时，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查平移，正方形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，一次函数的解析式，解题的关键是理解若最小，即最小找出此时CG与AD所在直线的交点即为点D．
15．如图，一次函数y=-x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD=3，点P为AB上的动点，当∠APC=∠BPD时，点P的坐标为____．
【答案】(，)
【分析】过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， 过点作，交轴于点，过点作轴，交的延长线与点，如图，，是等腰直角三角形，证明，设，则，求得，进而根据三点共线，求得直线的解析式，将点的坐标代入求得的值，即可求解．
【详解】解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∵一次函数y＝﹣x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A(4，0)，B(0，4)，
∴OA＝OB＝4，AB＝4，
∵点C为AO中点，OD＝3，
∴OC＝AC＝2，BD＝1，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
过点作，交轴于点，过点作轴，交的延长线与点，如图，
则，是等腰直角三角形，
，
轴，
，
，
设，则，
，，
∠APC=∠BPD,，
，
又，，
，
，
，
三点共线，设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
将点代入得，
，
解得，
∴P(，)．
故答案为：(，)．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，设参数法求得点的坐标是解题的关键．
16．如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，点C的坐标是_____．在y轴上有一个动点M，当△MDC的周长最小的时候，点M的坐标是 _____．
【答案】
【分析】过点D作轴于点E，作点C关于y轴的对称点，交y轴于点F，连接，交y轴于点，连接，则轴，先求出点A、B的坐标，从而可得OA、OB、AB的长，再根据正方形的性质可得，，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，，由此即可得出点D的坐标；同样的方法可求出点C的坐标，再根据轴对称的性质可得点的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出的周长值最小时，点M的位置，求出直线的解析式，则M点坐标可求．
【详解】如图，过点D作轴于点E，作点C关于y轴的对称点，交y轴于点F，连接，交y轴于点，连接，则轴，
对于，
当时，，解得，则点A的坐标为，
当时，，则点B的坐标为，
即，，，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
则点D的坐标为，
同理可证：，
∴，，
∴，
则点C的坐标为，
由轴对称的性质得：点的坐标为，且，
∴的周长为，
由两点之间线段最短得：当点M与点重合时，取得最小值，
∵，，
∴设直线DC′解析式为y=kx+b，
把，代入得：，
解得：，
∴直线DC′解析式为y=x+，
令x=0，得到y=，则M坐标为．
故答案为：，．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出的周长最小时，点M的位置是解题关键．
17．如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点B的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为____________．
【答案】
【分析】先求出四边形ABCD的面积为14，然后根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，可设直线l的解析式为，即可求出直线l的解析式为，则直线l与x轴的交点坐标为(，0)，求出直线CD的解析式为，则直线l与直线CD的交点坐标为(，)，再由过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵A(-4，0)，B(-2，-1)，C(3，0)，D(0，3)，
∴AC=7，
∴，
∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，
∴可设直线l的解析式为，
∴，
∴，
∴直线l的解析式为，
∴直线l与x轴的交点坐标为(，0)
∵点C坐标为(3，0)，点D坐标为(0，3)，
∴直线CD的解析式为，
∵当时，直线l与直线DC平行，此时直线l不可能平分四边形ABCD的面积
∴联立，
解得，
∴直线l与直线CD的交点坐标为(，)，
∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，
∴，
解得或(舍去)，
∴直线l的解析式为 ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点在直线：上，点在直线：上，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则点的坐标为__________．
【答案】或
【分析】如图，过点作轴，垂足为，过点作于点，证明，设，根据，列出二元一次方程组，解方程组求解即可．
【详解】如图，过点作轴，垂足为，过点作于点，
是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
,,
依题意，设，则,
,
， 解得
如图，当点在第二象限时，过点作轴，垂足为，过点作于点，
同理可得，
则,
,，， 解得
或，或
故答案为：或
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解二元一次方程组，分类讨论是解题的关键．
19．如图，平面直角坐标系中，长方形，点，分别在轴，轴的正半轴上，，，，，分别交，于点，，且，则点坐标为______．
【答案】
【分析】过点作，过点作，并延长交延长线于点，设，根据三角形全等得到，则，求出直线解析式，代入点求出，即可求解．
【详解】解：过点作，过点作，并延长交延长线于点，如下图：
则，∴，
∴
在矩形中，，
∴
∴四边形为矩形
∴，，
∴
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则，
设直线解析式为
由题意可知，代入得，，解得，
又∵点在直线上，∴
解得，即
∴
∴点坐标为
故答案为
【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线，利用有关性质求解．
20．已知直线与轴，轴分别交于点，，点是射线上的动点，点在第一象限，四边形是平行四边形．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为______．

【答案】或．
【分析】先根据题意求得，，，分点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点关于直线的对称点恰好落在轴上，根据含30度角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得点的坐标．
【详解】与轴，轴分别交于点，，
令，，，
令，，，
，
，
，
，，
，
①如图，当点在第二象限时，设交轴于点，交于点，交轴于点，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点关于直线的对称点为点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
②如图，当点在第二象限时，延长交轴于点，
则，
点关于直线的对称点为点
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
．
综合①②可知C的坐标为或．
故答案为: 或．
【点睛】本题考查了一次函数图像的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法比较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．
21．如图，已知点，，，的坐标分别为，，，．线段、、组成的图形为图形，点沿移动，设点移动的距离为，直线：过点，且在点移动过程中，直线随运动而运动，当过点时，的值为__________；若直线与图形有一个交点，直接写出的取值范围是__________．
【答案】 1或11 或
【分析】l过点C、点P的位置有两种情况：①点P位于点E时，S=1；②点P位于点C时，S=11；求出l过临界点D、E、B即求出直线与图形有一个交点时b的取值范围．
【详解】解：∵点A、B、C、D的坐标分别为(-2，2)，(-2，1)，(3，1)，(3，2)
∴AD=BC=5，AB=1
当直线l过点C(3，1)时，1=-3+b，即b=4
∴直线的解析式为y=-x+4.
∴，解得，即直线1与AD的交点E为(2，2)
∴DE=1.
∴如图：当l过点C时，点P位于点E或点C
①当l过点C时，点P位于点E时，S=DE=1；
②当l过点C时，点P位于点C时，S=AD+AB+BC=5+1+5=11
∴当1过点C时，S的值为1或11；
当直线l过点D时，b=5；
当直线1过点C时，b=4；
当直线1过点B时，将B(-2，1)代入y=-x+b得1=2+b，即b=-1
∴当或时，直线与图形有一个交点．
故填1或11，或．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求出临界值成为解答本题的关键．
22．在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点连接，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，进而可得点所在直线的函数关系式，然后根据勾股定理求解即可解决问题．
【详解】解：作轴于点，轴于，
，
，
，
在和△中，
，
△，
，，
设，
，，
，
，，
设点，，
则，
整理，得：，
则点，在直线上，
设直线与x轴，y轴的交点分别为E、F，
如图，当时，取得最小值，
令，则，
解得，
∴，
令，则，
∴，
在中，，
当时，则，
∴，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换－旋转，勾股定理，表示出点的坐标以及点所在直线的函数关系式是解题的关键．
23．如图，直线y＝x+b(b>0)与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在第一象限内，∠OPB=45，则线段OP、AP、BP满足的数量关系式为______．
【答案】BP2+2OP2=AP2
【分析】以OP为边作等腰直角三角形OPQ，证明△AOP≌△BOQ，得到AP=BQ，证明△BPQ为直角三角形，得到BP2+PQ2=BQ2，再利用等量代换即可得到结论．
【详解】解：如图，以OP为边作等腰直角三角形OPQ，
则OP=OQ，∠POQ=90°，∠OPQ=∠OQP=45°，OP=PQ，
∵直线y=x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y=b，令y=0，则x=-b，
即A(-b，0)，B(0，b)，即OA=OB=b，
∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOB+∠POB=∠POQ+∠POB，即∠AOP=∠BOQ，OA=OB，OP=OQ，
∴△AOP≌△BOQ(SAS)，∴AP=BQ，
∵∠OPB=45°，∴∠BPQ=∠OPB+∠OPQ=90°，
∴在△BPQ中，BP2+PQ2=BQ2，∴BP2+2OP2=AP2，
故答案为：BP2+2OP2=AP2．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，有一定难度，解题的关键是添加辅助线，构造出全等三角形．
24．如图在平面直角坐标系中，直线的图像分别与y轴和x轴交于点A，点B．定点P的坐标为，点Q是y轴上任意一点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】以点P为顶点，y轴为一边，在y轴右侧作，与x轴交于点D，作点B关于y轴的对称点，过点作，交y轴与点Q，根据直角三角形的性质得出即为最小值，然后利用勾股定理和直角三角形的性质求出的长即可．
【详解】如图，以点P为顶点，y轴为一边，在y轴右侧作，与x轴交于点D，作点B关于y轴的对称点，过点作，交y轴与点Q，
∵，
∴，
∵此时，
则即为的最小值．
∵，
∴，
根据勾股定理可得，
解得，
∵直线的图象分别与y轴和x轴交于点A，点B，
令x=0，得y=4；令y=0，得x=4，
则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，最短路径问题，以及一次函数与坐标轴的交点等，正确得出最短路径是解题关键．
25．如图，点A坐标为(0，4)，点B坐标为(4，2)．直线BC垂直于y轴于点C．点D在直线BC上，点B关于直线AD的对称点在y轴上，则点D的坐标为_____．

【答案】(，2)
【分析】设点B关于直线AD的对称点为E，根据轴对称的性质可得，直线AD为线段BE的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质则可得AE＝AB，所以在y轴上截取AE，使AE＝AB，并连接BE，过点A作AF⊥BE交BC于点D，利用勾股定理求得AB，根据点A的坐标与AE的长可求出点E的坐标，并利用中点公式可求出点F的坐标，根据点A、F的坐标并利用待定系数法求出直线AF的关系式，即可求出点D的坐标．
【详解】解：设点B关于直线AD的对称点为E，
∴直线AD为线段BE的垂直平分线，
∴AE＝AB．
如图，在y轴上截取AE，使AE＝AB，并连接BE，过点A作AF⊥BE交BC于点D，
∵A (0，4)，B(4，2)，BC⊥y轴，
∴AC＝2，BC＝4，
则AB＝，
设E(0，m)，
∴AE＝4－m＝，
解得m＝，
∴E(0，)，
∵点F是BE的中点，
∴F(2，)，
设直线AF的关系式为，将A (0，4)，F(2，)代入得
，
解得，
∴直线AF的关系式为，
∵点D在直线BC上，
∴，
∴把代入得，
解得，
∴点D的坐标为(，2)．
故答案为：(，2)．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握轴对称、线段垂直平分线的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键．