江西省新余市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题（含答案详解）

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命题人：新余四中 李标 新钢中学 邹进辉 审题人：刘勇刚
说明：
1. 本卷共有四个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.
2. 本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的直线的倾斜角为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】计算 SKIPIF 1 < 0 ，得到倾斜角.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，故直线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2. 点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点的坐标是
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】设点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，根据斜率关系和中点坐标公式，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，设点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解，其中解答中熟记点关于直线的对称点的解法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 平行，则它们之间的距离为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合两直线平行求得 SKIPIF 1 < 0 ，再代入两平行线间距离公式运算求解.
【详解】若直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 平行；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 平行；
综上所述：若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的距离 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4. 如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使 SKIPIF 1 < 0 ，用向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示向量 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的运算法则得到 SKIPIF 1 < 0 ，再次代换即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
5. 11月29日，江西新余仙女湖的渔民们迎来入冬第一个开捕日，仙女湖的有机鱼迎来又一个丰收年.七位渔民分在一个小组，各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A. 96种B. 120种C. 192种D. 240种
【答案】C
【解析】
【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解.
【详解】由题意可知：丙必须在最中间（第4位），则甲乙排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位，
故不同的排法有 SKIPIF 1 < 0 种.
故选：C.
6. 一束光线从点 SKIPIF 1 < 0 射出，经x轴上一点C反射后到达圆 SKIPIF 1 < 0 上一点B，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】确定圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，计算得到答案.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
7. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左，右顶点，点P在双曲线C上， SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，且底角为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 2D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】不妨取 SKIPIF 1 < 0 在双曲线右支上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，确定 SKIPIF 1 < 0 ，代入方程得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到离心率.
【详解】不妨取 SKIPIF 1 < 0 在双曲线右支上，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
8. 阅读材料：空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，过点 SKIPIF 1 < 0 且一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；过点 SKIPIF 1 < 0 且一个方向向量为 SKIPIF 1 < 0 的直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 .利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线l是平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交线，则直线l与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量与直线l的方向向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】对于 SKIPIF 1 < 0 ，可以整理为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得：平面 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得：直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，且方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴故直线l与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】结论点睛：直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量 SKIPIF 1 < 0 与平面的法向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角φ求得，即 SKIPIF 1 < 0 .
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分）
9. 为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天.则下列结论正确的是（ ）
A. 从六位专家中选两位不同选法共有20种
B. “呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种
C. “护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种
D. “护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
【答案】BC
【解析】
【分析】由组合知识判断A；从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家，从而判断B；由捆绑法判断C；由插空法判断D.
【详解】对于A：从六位专家中选两位的不同选法共有 SKIPIF 1 < 0 种，故A错误；
对于B：从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家共有 SKIPIF 1 < 0 种，故B正确；
对于C：将“护理”，“感染类专家”视为一个元素，不同的排法共有 SKIPIF 1 < 0 种，故B正确；
对于D：先排疾控、药剂、呼吸，再用插空法排护理、感染、儿科类专家，共有 SKIPIF 1 < 0 种，故D错误；
故选：BC
10. 安徽省新高考拟采用“ SKIPIF 1 < 0 ”模式，其中“ SKIPIF 1 < 0 ”为语文、数学、外语三门必选科目，“ SKIPIF 1 < 0 ”指的是物理或历史两门学科中选择一门，为“首选科目”；“ SKIPIF 1 < 0 ”指的是从政治、化学、生物、地理四科中选两科，即“再选科目”．现在高一某班进行模拟选科，假设甲、乙、丙三位同学在模拟选科时对所有科目都是随机选择，下列说法正确的有 （ ）
A. 甲、乙两名同学首选科目都是物理的概率是 SKIPIF 1 < 0
B. 若甲、乙两名同学首选科目都是历史，则两人再选科目全相同的概率是 SKIPIF 1 < 0
C. 甲、乙、丙三名同学首选科目都相同的概率是 SKIPIF 1 < 0
D. 甲、乙两名同学首选科目相同，且再选科目都不相同的概率是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】根据独立事件求概率的方法可以判断A,C；
甲乙两名同学各自任意从4个科目中选取2个科目确定分母，然后考虑分子，因为所选科目相同，不如先确定甲，然后乙从甲所选取的2个科目中选取，进而求得答案；
结合B,C即可判断D.
【详解】对A，甲乙两名同学首选科目都是物理的概率 SKIPIF 1 < 0 ，则A错误；
对B，甲乙两名同学首选科目都是历史，则两人再选科目全相同概率 SKIPIF 1 < 0 ，则B正确；
对C，甲乙丙三名同学首选科目都相同的概率 SKIPIF 1 < 0 ，则C错误；
对D，甲乙两名同学首选科目相同，且再选科目都不相同的概率 SKIPIF 1 < 0 ，则D正确.
故选：BD.
11. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）必过定点 SKIPIF 1 < 0
B. 圆 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上有且仅有4个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离都等于1，则 SKIPIF 1 < 0
C. 曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 恰有三条公切线
D. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，点P为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点P向圆C引两条切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A，B为切点，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】A.直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，所以A错误；
B.圆心O到直线l的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确；
C. SKIPIF 1 < 0 ，两圆相离，故有4条公切线，所以C错误；
D.当 SKIPIF 1 < 0 垂直直线 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积最小. 此时四边形 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确.
【详解】A.由题得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ，所以A错误；
B.圆心O到直线l的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，故圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有4个点到直线l的距离为1，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确；
C.圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两圆相离，故有4条公切线，所以C错误；
D.当 SKIPIF 1 < 0 垂直直线 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积最小.此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确.
故选：BD
12. 设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 为定值
B. SKIPIF 1 < 0 的周长的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形
D. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由 SKIPIF 1 < 0 为定值以及 SKIPIF 1 < 0 的范围判断B；求出 SKIPIF 1 < 0 坐标，由数量积公式得出 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形判断C；求出 SKIPIF 1 < 0 坐标，由面积公式得出 SKIPIF 1 < 0 的面积判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值，A正确；
SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为定值6，
所以 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的周长的范围是 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
将 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程联立，可解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，C正确；
将 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程联立，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 空间 SKIPIF 1 < 0 四点共面，但任意三点不共线，若 SKIPIF 1 < 0 为该平面外一点且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为____________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先设 SKIPIF 1 < 0 ，然后把向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别用向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示，再把向量 SKIPIF 1 < 0 用向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示出，对照已知的系数相等即可求解．
【详解】解：因为空间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点共面，但任意三点不共线，
则可设 SKIPIF 1 < 0 ，
又点 SKIPIF 1 < 0 在平面外，则
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
14. 若抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点重合，则实数m的值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】分别求出椭圆和抛物线的焦点坐标即可出 SKIPIF 1 < 0 值.
【详解】由椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即椭圆的右焦点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用二项式定理求得 SKIPIF 1 < 0 展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，从而得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件A为“三人竞岗部门都不同”，B为“甲独自竞岗一个部门”，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.5
【解析】
【分析】根据给定条件求出事件B和AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18~22题各12分，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17. 已知圆C： SKIPIF 1 < 0 ，直线l： SKIPIF 1 < 0 .
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|= SKIPIF 1 < 0 时，求直线l的方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）由题设可得圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数a的值即可.
（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a，即可得直线方程.
【小问1详解】
由圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
若直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 距离 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）知：圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
18. （1）已知A， SKIPIF 1 < 0 两点的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且它们的斜率之积是 SKIPIF 1 < 0 .求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程，并判断轨迹的形状：
（2）已知过双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线于A， SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，轨迹为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线，不含左右顶点；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意列出等式，化简即可得轨迹方程，判断轨迹形状，即得答案；
（2）求出直线方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，根据弦长公式求出弦长即得答案.
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
轨迹为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线，不含左右顶点.
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角是 SKIPIF 1 < 0 ，且直线经过右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
19. 党的二十大是全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.认真学习宣传和全面贯彻落实党的二十大精神，是当前和今后一个时期的首要政治任务和头等大事.某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.
（1）分别求甲、乙两人进入正赛的概率；
（2）记甲、乙两人中进入正赛的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）甲、乙两人进入正赛的概率分别为 SKIPIF 1 < 0
（2）分布列见详解， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布和二项分布运算求解；
（2）根据（1）中的数据，求分布列和期望 SKIPIF 1 < 0 ，再根据期望性质求 SKIPIF 1 < 0 .
【小问1详解】
设甲、乙两人答对的题目数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得甲进入正赛的概率 SKIPIF 1 < 0 ，
乙进入正赛的概率 SKIPIF 1 < 0 ，
故甲、乙两人进入正赛的概率分别为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 的可能取值为 SKIPIF 1 < 0 ，则有：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的分布列为：
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
20. 某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是 SKIPIF 1 < 0 .
（1）该小组中男女学生各多少人？
（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）
（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）
【答案】（1）男生有6人，女生有3人.（2） SKIPIF 1 < 0 （3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设男生有 SKIPIF 1 < 0 人，表示出其概率，然后得到男女生人数；（2）方法一：按坐座位的方法分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对9人全排，然后对3名女生除序；（3）先对6名男生分成3组，再对3名女生全排后，将3组男生插空，每组男生全排，得到答案.
【详解】解：（1）设男生有 SKIPIF 1 < 0 人，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解之得， SKIPIF 1 < 0
故男生有6人，女生有3人.
（2）方法一：按坐座位的方法，
第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有 SKIPIF 1 < 0 种；
第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；
故，一共有 SKIPIF 1 < 0 种重新站队方法.
方法二：除序法
第一步：9名学生站队共有 SKIPIF 1 < 0 种站队方法；
第二步：3名女生有 SKIPIF 1 < 0 种站队顺序；
故一共有 SKIPIF 1 < 0 种站队方法，
所以重新站队方法有 SKIPIF 1 < 0
（3）第一步：将6名男生分成3组，共有 SKIPIF 1 < 0 种；
第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有 SKIPIF 1 < 0 种
第三步：3组男生中每组男生站队方法共有 SKIPIF 1 < 0 种
故一共有： SKIPIF 1 < 0 种站队方法
【点睛】本题考查排列组合中的分类讨论，插空法、除序法等，属于中档题.
21. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，F是PB中点，E为BC上一点.
（1）求证：AF⊥平面PBC；
（2）当BE为何值时，二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ;
（3）求三棱锥P—ACF的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）通过证明 SKIPIF 1 < 0 来证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值列方程，从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 的值.
（3）根据椎体体积计算方法，计算出三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【小问1详解】
因为PA⊥平面ABCD，BC SKIPIF 1 < 0 平面ABCD．
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为ABCD是矩形，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以BC⊥平面PAB.
因为AF SKIPIF 1 < 0 平面PAB，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，F是PB中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以AF⊥平面PBC．
【小问2详解】
因为PA⊥平面ABCD，所以 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设 SKIPIF 1 < 0 ，则P（0，0，1），D（ SKIPIF 1 < 0 ，0，0），E（a，1，0），F（0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故可设 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 是直角三角形．
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于异于点 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 两点，以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点？若是，求出所过定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）过定点 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 为直角时，由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上可构造方程组求得 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；当 SKIPIF 1 < 0 为直角时，由 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到抛物线方程；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量数量积的坐标运算，代入韦达定理的形式进行整理化简可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，代回直线验证即可得到所求定点坐标.
【小问1详解】
由题意知： SKIPIF 1 < 0 不是直角．
①当 SKIPIF 1 < 0 为直角时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，不符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 为直角时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，符合题意．
SKIPIF 1 < 0 抛物线 SKIPIF 1 < 0 方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
经验证此时 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 或点 SKIPIF 1 < 0 重合，与 SKIPIF 1 < 0 异于点 SKIPIF 1 < 0 矛盾，不符合题意．
综上所述：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程的形式；
②利用 SKIPIF 1 < 0 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果. SKIPIF 1 < 0
0
1
2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0