思想04 运用转化与化归的思想方法解题（精讲精练）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）

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高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题
核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题
核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题
核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.

2．（2020·全国·统考高考真题）设复数，满足，，则=__________.
【答案】
【解析】方法一：设，，
，
，又，所以，，
.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴.
3．（2020·天津·统考高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
故答案为：；.
4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【解析】（1）由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）[方法一]：判别几何关系
依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以，
所以.
[方法二]：等体积转换
，，
是边长为2的等边三角形，
连接
【方法技巧与总结】
将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则：
1、熟悉化原则：许多数学问题的解决过程就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用已有知识、方法以及解题经验来解决．在具体的解题过程中，通常借助构造、换元、引入参数、 建系等方法将条件与问题联系起来，使原问题转化为可利用熟悉的背景知识和模型求解的问题．
2、简单化原则：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关、易于解决的新问题．借助特殊化、等价转化、不等转化等 方法常常能获得直接、清晰、简洁的解法，从而实现通过对简单问题的解答，达到解决复杂问题的目的．
3、直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题，数学问题的特点之一便是它具有抽象性，有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要借助数形结合法、图象法等手段把它转化为具体的、更为直观的问题来解决．
4、正难则反原则：问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．一般地，在含有“至多”、“至少”及否定词的问题中，若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，此时从反面考虑较简单．
【核心考点】
核心考点一：运用“熟悉化原则”转化化归问题
【典型例题】
例1．（2023春·云南昆明·高三昆明市第三中学阶段练习）如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=，csB=，∠ADB=．
(1)求AD的长；
(2)求△ADE的面积．
【解析】（1）在△ABD中，∵，，
∴，
∴，
由正弦定理，知．
（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，
在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcs∠ADC，
即，
∴DC2-2DC-5=0，解得（负值舍去）．
∴，
从而．
例2．（2023·吉林·高三校联考竞赛）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E､F分别是AC､BC的中点，，则球O的表面积为____________ .
【答案】
【解析】由于P-ABC为正三棱锥，故，从而△EPF为等边三角形，且边长EF=1.
由此可知侧面PAC的高PE=1，故棱长.
还原成棱长为的正方体可知，
P-ABC的外接球的直径长恰为正方体的体对角线长，
从而表面积为.
故答案为：．
例3．（2023春·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为____________．
【答案】．
【解析】，，则，
，当且仅当，即，时等号成立，
所以最小值是．
故答案为：．
例4．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为___________
【答案】
【解析】，则，
如图，建立平面直角坐标系，，，，，
，，，

，当且仅当时，取得最小值，
所以的最小值为.
故答案为：
例5．（2023春·广西桂林·高三校考阶段练习）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，分别为，中点，，且，
为边长为2的等边三角形，，
又，，，
在中，由余弦定理，
作于，，为中点，
又，，解得，
，
又，，，两两垂直，
即三棱锥是以，，为棱的正方体的一部分；
所以球的直径，解得，
则球的体积，
故选：D.
核心考点二：运用“简单化原则”转化化归问题
【典型例题】
例6．（2023春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD中，，AB=2，则AD长度的取值范围________.
【答案】
【解析】
如图所示，延长，交于E，
平行移动CD，当C与D重合于E点时，最长，
在中，，，AB=2，由正弦定理可得，
即，
解得；
平行移动CD，到图中AF位置，即当A与D重合时，最短，为0.
综上可得，AD长度的取值范围为
故答案为：.
例7．（2023春·北京·高三北京市第一六一中学校考）三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________
【答案】
【解析】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，
所以，
例8．（2023秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=4，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为___________.
【答案】
【解析】设在平面内的射影为，则平面，
由于平面，所以，
过作，垂足分别为，
由于，所以四边形是矩形.
由于平面，所以平面，
平面，所以；同理可证得.
所以，，
，即到平面的距离是.
故答案为：
例9．（2023春·湖南衡阳·高三校考）设，，为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，，，，
在平面直角坐标系中画出，，的图象及直线，结合图象知．
方法二 令，则，
易得，，，
又当时，函数在上单调递增，且，
∴，
∴，即．
故选：D.
核心考点三：运用“直观化原则”转化化归问题
【典型例题】
例10．（2023春·北京·高三校考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以的图像关于原点对称，由此画出函数在上的图象，
在同一坐标系内画出的图象，
因为，，所以，
又，，
所以的图象与的图象交于和两点，如图，
所以结合图像可知，的解集为.
故选：C.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
例12．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，，显然直线恒过点，
则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”，
，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
则当时，，当时，，而，
即当时，不存在整数使得点在直线下方，
当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：，
而切线过点，即有，整理得：，而，解得，
因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，
即存在唯一整数2使得点在直线下方，
因此有，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
核心考点四：运用“正难则反原则”转化化归问题
【典型例题】
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知矩形, , ,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折的过程中
A．存在某个位置,使得直线和直线垂直
B．存在某个位置,使得直线和直线垂直
C．存在某个位置,使得直线和直线垂直
D．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直
【答案】A
【解析】如图所示：作于，于
翻折前，易知存在一个状态使，满足，，平面，平面，故正确错误；
若和垂直，平面，平面，不成立，故错误；
若和垂直，故平面，平面，，因为 ，故不成立，故错误；
故选：
例14．（2023春·湖南·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为.
例15．（2023秋·陕西宝鸡·高三陕西省宝鸡市长岭中学校考阶段练习）如图，用K，，三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，，正常工作的概率依次为0.8，0.7，0.7，则系统正常工作的概率为___________.
【答案】
【解析】因为，同时不能正常工作的概率为，
所以，至少有一个正常工作的概率为，
所以系统正常工作的概率为，
故答案为：
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统，．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90．则系统N1正常工作的概率为___________，系统正常工作的概率为___________．
【答案】 0.648 0.792
【解析】分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件，，．
因为事件A、B、C是相互独立的，系统N1正常工作的概率为．
系统正常工作的概率．
故答案为：0.648；0.792.
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）已知满足，若存在实数，使得不等式成立，则实数k的最小值为（ ）
A．-4B．-1C．1D．4
【答案】A
【解析】构造函数，为奇函数，且在上单调增，
由已知可知，
，即，
所以，存在实数，使得不等式成立，
又，.
故选：A.
2．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题知，所以直线的方程为，
因为，所以直线的倾斜角为，
所以直线的方程为．
联立，解得，．
因为为等腰三角形，，
所以，即，
整理得：．
所以椭圆的离心率为．
故选：D.
3．（2023春·安徽淮北·高三淮北一中校考阶段练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则等于（ ）
A．0B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】依题意，
故令，所以，
所以函数为奇函数，所以，故，
所以.
故选：C.
4．（2023春·广东广州·高三校考）已知数列是公比不等于的等比数列，若数列，，的前2023项的和分别为，，9，则实数的值（ ）
A．只有1个B．只有2个C．无法确定有几个D．不存在
【答案】A
【解析】设的公比为，
由，可得：
为等比数列，公比为，为等比数列，公比为，
则①，②，
③，①×②得：④，
由③④得：，解得：，
故实数的值只有1个.
故选：A
5．（2023春·山西太原·高三统考）下列结论正确的个数是（ ）
①已知点，则外接圆的方程为；
②已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为；
③已知点在圆上，，且点满足，则点的轨迹方程为.
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】对于①，线段的中垂线的直线方程为，线段的中垂线的直线方程为，故圆心为，半径为，即圆的方程为，故①正确；
对于②，设，由，则，整理可得，故②正确；
对于③，设，，则，，
由，则，即，
在上，，整理可得，故③正确.
故选：D.
6．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】如图，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
，
所以，
设，因为，则
在中，由余弦定理得：，
化简得：，即，
从而有，
整理得，（当且仅当时等号成立）
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为学生成绩服从正态分布，且，所以，，，
所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是.
故选：A.
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相切B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为D．|PM|的最小值为
【答案】BD
【解析】圆C：得圆心,半径
∵圆心到直线l：得距离
∴直线l与圆C相离
A不正确，B正确；
C不正确，D正确；
故选：BD．
9．（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）函数，图像一个最高点是，距离点A最近的对称中心坐标为，则下列说法正确的有( )
A．的值是6
B．时，函数单调递增
C．时函数图像的一条对称轴
D．的图像向左平移个单位后得到图像，若是偶函数，则的最小值是
【答案】AD
【解析】由题意可知，，，即，其中为的最小正周期，
又因为，所以，故A正确；
当时，，由，可得，
此时，，满足题意；
当时，，由，则无解，
综上所述，，
从而是一个偶函数，故 在上不单调，故B错误；
又因为，所以不是函数图像的一条对称轴，故C错误；
对于选项D:由题意可得，，若是偶函数，
则，，即，，
又因为，所以的最小值是，此时，故D正确.
故选：AD.
10．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知函数，若过点（其中是整数）可作曲线的三条切线，则的所有可能取值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】ABCD
【解析】由题知，设切点为，则切线方程为，将，代入得；
令，则，
或时，；时，，
的极大值为，极小值为，由题意知，又为整数，
.
故选：ABCD.
11．（2023秋·辽宁朝阳·高三统考开学考试）已知、分别是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆C上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．椭圆C的离心率为
C．存在点A使得D．面积的最大值为12
【答案】AD
【解析】由椭圆的标准方程，得，，
，且，；
对于A：由椭圆的定义，知，
即选项A正确；
对于B：椭圆C的离心率，
即选项B错误；
对于C:设，则，
若，则，
则，即，
联立，得（舍）
即该方程组无解，即不存在点A使得，
即选项C错误；
对于D：当点A为上、下顶点时，的面积取得最大值，
即，
即选项D正确.
故选：AD.
12．（2023春·江苏南通·高三校联考）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，，当时，都有；③，下列选项成立的是（ ）
A．B．若，则
C．若，D．，使得
【答案】ACD
【解析】由①，，得为偶函数，
②，，当时，都有，得在上单调递减，，故A正确；
即或，解得或，故B错误；
由，得，若，则或，解得，故C正确；
由为R上的偶函数，在单调递减，在单调递增，
又因为函数的图象是连续不断的，所以为的最大值，所以，，使得，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．（2023·高三课时练习）如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为，点，分别是棱，上的点，且，，则的长为______．
【答案】
【解析】三棱锥底面边长与侧棱长均为，三棱锥各个面均为等边三角形，
，
，
，即．
故答案为：.
14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）若函数的图像在上恰好有一个点的纵坐标为，则实数的值可以是__________（写出一个满足题意的值即可）．
【答案】（答案写内任意的实数都正确）.
【解析】因为函数的图像在上恰好有一个点的纵坐标为，
令，由，得，，即，
原命题等价于，函数的图像在上恰好有一个点的纵坐标为，
所以，即，解得.
故答案为：（答案写内任意的实数都正确）.
15．（2023春·河北石家庄·高三石家庄外国语学校校考）已知定义域为R的函数则关于t的不等式的解集为________.
【答案】.
【解析】函数的定义域为R.
因为，所以，所以，
即是奇函数.
因为为增函数，所以为减函数，所以在R上为减函数.
所以可化为.
所以，解得：或.
故答案为：.
16．（2023春·湖南长沙·高三宁乡一中校考）过点可以作两条直线与曲线相切，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】设切点坐标为，
，故斜率为，
切线方程为，代入得，
整理得，
构造函数，，
所以在区间递减；在区间递增.
所以在时取得极小值也即是最小值，
当时，，当时，，
要使过点可以作两条直线与曲线相切，
则，
所以的取值范围是.
故答案为：
17．（2023春·黑龙江绥化·高三校考）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为 ，则的最大值为________．
【答案】
【解析】由可知 ，
设椭圆右焦点，则
，
当且仅当，，共线时且当在的延长线上时等号成立．
的最大值为，
故答案为：.