2022-2023学年湖北省孝感市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省孝感市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若分式x+2x−2的值为0，则x的值是( )
A. −2B. 2C. ±2D. 任意实数
3.下列运算正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (x+12)2=x2+1
C. (−2x2)3=−2a6D. a6÷a2=a4
4.如图，已知AB=CD，则再添加下列哪一个条件，可以判定△ABC≌△DCB( )
A. ∠A=∠D
B. ∠ABC=∠ACB
C. AC=BD
D. BC=CD
5.已知多项式x2+4x+k2是一个完全平方式，则k的值为( )
A. 2B. 4C. 2或−2D. 4或−4
6.如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3=( )
A. 105°B. 120°C. 115°D. 135°
7.某机床厂原计划在一定期限内生产240套机床，在实际生产中通过改进技术，结果每天比原计划多生产4套，并且提前5天完成任务．设原计划每天生产x套机床，根据题意，下列方程正确的是( )
A. 240x+5=240x+4B. 240x−5=240x+4C. 240x+5=240x−4D. 240x−5=240x−4
8.如图，等腰△ABC中，∠ACB=120°，AC=4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为腰在右侧作等腰△CDE，且∠DCE=120°，连接AE，则AE的最小值为( )
A. 2 3B. 4C. 6D. 8
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000102千米，数0.000102用科学记数法表示为______．
10.分式x−1x+2有意义x的取值范围______ ．
11.分解因式：3a2(m−n)+12(n−m)= ______ ．
12.若等腰三角形的一个内角为36°，则这个等腰三角形顶角的度数为______．
13.通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为______ ．
14.如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是______．
15.如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA=OB，再分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C.若C的坐标为(3a,a+10)，则a=______．
16.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=45°，过点A作AD⊥BC于点D，过B作BE⊥AC于点E，AD，BE相交于点F，H为AB的中点，连接EH，CH，FH，则下列结论：①∠BAD=∠CBE，②EH⊥AB，③CE=12AF，④AE=CE+CF，⑤S△EFH=S△EHC；其中正确的有______ .(填上正确的序号)．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：x−3x−2+1=32−x．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
计算：
(1)(x−2y)2+(x+y)(x−y)；
(2)先化简，再求值：(2x+2x2−1+1)÷x+1x2−2x+1；其中x=4．
19.(本小题8分)
如图，AB⊥BE，CD⊥DF，垂足分别为B、D，∠1=∠2，A、F、E、C四点共线且AF=CE.求证：AB=CD．
20.(本小题8分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E两点在直线BC上(点D在点E的左侧).若BD=CE，∠BAD=15°，求证：△ADE是等边三角形．
21.(本小题8分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个长度单位，再向下平移1个长度单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称，点A1、B1、C1的对称点分别是点A2、B2、C2．
(1)画出△A1B1C1和△A2B2C2；
(2)利用网格中的格点作出线段AC的中垂线；
(3)若△ABC向右平移3个长度单位，此时△ABC扫过的面积为______ ．
22.(本小题10分)
某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
23.(本小题10分)
问题背景
如图(1)，已知AB/​/CD，AD平分∠BAC，求证：AC=CD；
尝试应用
如图(2)，在四边形ABCD中，AB/​/CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展创新
如图(3)，在四边形ABCD中，AB/​/CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，请直接写出你的结论．
24.(本小题12分)
如图1，在平面直角坐标系中，点A(a,0)，B(0,b)，a，b满足(a+5)2+|2−b|=0．
(1)直接写出A，B两点的坐标，A (______，______)，B (______，______)；
(2)如图1，过点B作BC⊥AB，且BC=AB，求点C的坐标；
(3)如图2，过点A作AD⊥AB，且AD=AB，过点A作AE⊥AO，且AE=AO，连接DE交x轴于点P，求AP的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可完全重合．根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：∵分式x+2x−2的值为0，
∴x+2=0，
解得：x=−2．
故选：A．
直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零条件，正确把握相关定义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、x2⋅x3=x2+3=x5≠x6，本选项错误，不符合题意；
B、(x+12)2=(x+1)2=x2+2x+1≠x2+1，本选项错误，不符合题意；
C、(−2x2)3=(−2)3x2×3=−8x6≠−2a6，本选项错误，不符合题意；
D、a6÷a2=a6−2=a4，本选项正确，符合题意．
故选：D．
利用同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方幂的乘方，同底数幂的除法等运算法则逐项进行计算即可得出结论．
本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方幂的乘方，同底数幂的除法等知识，熟练掌握这些运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
利用三角形全等的判定方法进行分析即可．
解：A、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加∠ABC=∠ACB不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加AC=DB可利用“SSS”判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
D、添加BC=CD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：∵多项式x2+4x+k2是一个完全平方式，
∴k=±2，
即k=2或−2．
故选：C．
根据完全平方式的定义计算即可．
本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
6.【答案】D
【解析】【分析】
首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2=45°，进而可得答案．
【解答】
解：∵在△ABC和△AEF中，
AB=AE,∠ABC=∠AEF,BC=EF,
∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴∠4=∠3，
∵∠1+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵AD=MD，∠ADM=90°，
∴∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°，
故选：D．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．
7.【答案】B
【解析】解：实际用的时间为：240x+4，
原计划用的时间为：240x，
则方程可表示为：240x−5=240x+4．
故选B．
关键描述语为：提前5天完成任务．等量关系为：原计划用的时间−5=实际用的时间．
找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
8.【答案】C
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，求出点E的运动路径是解题的关键．
连接BE并延长交AC的延长线于点F，利用“SAS”证明△ACD≌△BCE，得∠CBE=∠CAD=30°，由CB为定直线，∠CBE=30°为定值，则AE⊥BE时，AE最小，从而解决问题．
解：连接BE并延长交AC的延长线于点F．
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=120°，
∴AC=BC=4，∠CAB=∠CBA=30°．
∵∠DCE=120°=∠ACB，
∴∠DCE−∠DCB=∠ACB−∠DCB，
即∠ACD=∠BCE．
∵△CDE是等腰三角形，
∴CD=CE．
在△ACD和△BCE中，
AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD=30°．
∵CB为定直线，∠CBE=30°为定值，
∴当D在直线AB上运动时，E也在定直线上运动，
当AE⊥BE时，AE最小．
∵∠CAB=30°=∠ABC=∠CBE，
∴∠AFB=180°−∠CAB−∠ABC−∠CBE=90°，
∴当E与F重合时，AE最小．
在Rt△CBF中，∠CFB=90°，∠CBF=30°，
∴CF=12CB=2，
∴AF=AC+CF=6，
∴AE的最小值为AF=6．
故选：C．
9.【答案】1.02×10−4
【解析】解：0.000102=1.02×10−4，
故答案为：1.02×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10.【答案】x≠−2
【解析】解：根据题意得x+2≠0，
解得x≠−2，
即x的取值范围为x≠−2．
故答案为：x≠−2．
根据分式有意义的条件得到x+2≠0，然后解不等式即可．
本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零．
11.【答案】3(m−n)(a+2)(a−2)
【解析】解：3a2(m−n)+12(n−m)
=3a2(m−n)−12(m−n)
=3(m−n)(a2−4)
=3(m−n)(a+2)(a−2)．
故答案为：3(m−n)(a+2)(a−2)．
先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．
本题考查因式分解的相关知识．灵活运用提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键．解题时注意，分解一定要彻底，这是易错点．
12.【答案】36°或108°
【解析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
等腰三角形的一个内角是36°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论．
解：分两种情况：
当36°的角是底角时，则顶角度数为180°−36°×2=108°；
当36°的角是顶角时，则顶角为36°．
故答案为：36°或108°．
13.【答案】a2−b2=(a+b)(a−b)
【解析】解：图中阴影部分的面积可以表示为：a2−b2，
还可以表示为2×(a+b)(a−b)2=(a+b)(a−b)，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：a2−b2=(a+b)(a−b)．
用两种方法表示同一种图形的面积即可．
本题考查了平方差公式的几何背景，根据图形特征，用两种方法表示同一种图形的面积是解答本题的关键．
14.【答案】40°
【解析】解：∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PA=PB，QA=QC，
∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，
∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°，
∴∠PAQ=∠BAC−(∠PAB+∠QAC)=40°，
故答案为：40°．
根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，得到∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，结合图形计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，结合直角坐标系象限符号，求解坐标，比较容易求解．根据题目中尺规作图可知，点C在第一象限的角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值．
【解答】
解：由题可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，即点C在第一象限的角平分线上，
所以点C的横坐标和纵坐标相等，即3a=a+10，
得a=5，
故答案为：5．
16.【答案】①②④⑤
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，
∵∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠CBE=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠BAD=∠CBE，
故①正确；
∵∠BAC=45°，BE⊥AC，
∴∠BAC=∠ABE=45°，
∴AE=BE，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∵H为AB的中点，
∴EH⊥AB，故②正确；
在△AEF和△BEC中，
∠CAD=∠CBEAE=BE∠AEF=∠BEC=90°，
∴△AEF≌△BEC(ASA)，
∴AF=BC，
∵∠CBE=∠BAD=∠CAD=12∠BAC=22.5°，
∴BC≠2EC，
∴EC≠12AF，故③错误；
∵AD⊥BC，BD=CD，
∴BF=CF，
∴∠EBC=∠FCB=∠CAD=22.5°，
∴∠EFC=45°，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴EF=EC，
∴AE=BE=BF+EF=CF+CE，故④正确；
∵△AEB是等腰直角三角形，H为AB的中点，
∴∠BEH=45°=∠EFC，
∴EH//CF，
∴S△EFH=S△EHC，故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．
由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，BD=CD，由余角的性质可得∠BAD=∠CBE故①正确；通过证明△AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得EH⊥AB，故②正确；由ASA可证△AEF≌△BEC，可得AF=BC，由∠CBE=22.5°，可得EC≠12AF，故③错误；由线段垂直平分线的性质可得BF=CF，可求∠EFC=∠FEC=45°可得EF=EC，可得AE=BE=BF+EF=CF+CE，故④正确；通过证明EH//CF，可得S△EFH=S△EHC，故⑤正确，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：方程两边同乘以(x−2)，
得：x−3+(x−2)=−3，
解得x=1，
检验：x=1时，x−2≠0，
∴x=1是原分式方程的解．
【解析】此题考查了解分式方程，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．(3)去分母时有常数项的不要漏乘常数项．
观察可得2−x=−(x−2)，所以可确定方程最简公分母为：(x−2)，然后去分母将分式方程化成整式方程求解．注意检验．
18.【答案】解：(1)原式=x2−4xy+4y2+x2−y2
=2x2−4xy+3y2；
(2)原式=[2x+2(x+1)(x−1)+x2−1(x+1)(x−1)]÷x+1(x−1)2
=x2+2x+1(x+1)(x−1)÷x+1(x−1)2
=(x+1)2(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x+1
=x−1，
当x=4时，原式=3．
【解析】(1)根据完全平方公式、平方差公式的运算法则计算；
(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
本题主要考查整式的混合运算及分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】证明：∵AF=CE，
∴AF+FE=CE+FE，
即AE=CF．
∵AB⊥BE，CD⊥DF，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABE与△CDF中，
∠B=∠D,∠1=∠2,AE=CF,
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AB=CD．
【解析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解答此题的关键．
根据“AAS”证明△ABE与△CDF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
20.【答案】证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=15°，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=60°，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC ∠B=∠C BD=CE ，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，
∴△ADE为等边三角形．
【解析】由∠BAC=90°，AB=AC，∠BAD=15°，可得∠ADE=60°，证明△ABD≌△ACE(SAS)，即得AD=AE，故△ADE为等边三角形．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
21.【答案】11
【解析】解：(1)如图△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作．
(2)如图，直线MN即为所求作．
(3)此时△ABC扫过的面积=12× 2×2 2+3×3=11．
故答案为：11．
(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，可得△△A1B1C1，再分别周长A1，B1，C1的对应点A2，B1，C2可得△A2B2C2．
(2)取格点MN，作直线MN即可．
(3)此时△ABC扫过的面积=△ABC的面积+平行四边形的面积．
本题考查轴对称变换，三角形的面积，平行四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40−x)元/件，
90x=15040−x
x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40−x=25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(48−y)件，
y<48−y15y+25(48−y)≤1000，
解得20≤y<24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．
【解析】(1)设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为(40−x)元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
(2)设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具(48−y)件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．
本题考查理解题意的能力，第一问以件数做为等量关系列方程求解，第2问以玩具件数和钱数做为不等量关系列不等式组求解．
23.【答案】问题背景
证明：∵AB/​/CD，
∴∠BAD=∠ADC．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC=CD；
尝试应用
DC+AB=AD；
证明：如图(2)，延长AE，DC交于点F．
∵AB/​/CD，
∴∠BAF=∠F．
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE．
在△ABE和△FCE中，
∠BAE=∠F,∠AEB=∠FEC,BE=CE,
∴△ABE≌△FCE(AAS)，
∴CF=AB．
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠FAD，
∴∠FAD=∠F，
∴AD=DF．
∵DC+CF=DF，
∴DC+AB=AD；
拓展创新
AB=AF+CF．
【解析】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点．
问题背景：由AB/​/CD知∠BAD=∠ADC，由AD平分∠BAC知∠BAD=∠CAD，据此得∠ADC=∠CAD，从而得证；
尝试应用：延长AE，DC交于点F，先证△ABE≌△FCE得CF=AB，再由AE是∠BAD的平分线知∠BAF=∠FAD，从而得∠FAD=∠F，据此知AD=DF，结合DC+CF=DF可得答案；
拓展创新：延长AE，DF交于点G，同(2)可得：AF=FG，△ABE≌△GCE，据此知AB=CG，继而得出答案．
解：问题背景：见答案；
尝试应用：见答案；
拓展创新：如图(3)，延长AE，DF交于点G．
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE．
∵AB/​/CD，
∴∠BAE=∠G．
在△ABE和△GCE中，
∠BAE=∠CGE,∠BEA=∠CEG,BE=CE,
∴△ABE≌△GCE(AAS)，
∴GC=AB．
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAE=∠FAE．
∵∠BAE=∠G，
∴∠FAE=∠G，
∴AF=FG．
∵CG=CF+FG=CF+AF，
∴AB=AF+CF．
24.【答案】(1)−5，0；0，2；
(2)过点C作CH⊥y轴于H，如图：
∴∠CHB=90°，
∴∠C+∠CBH=90°，∠CHB=∠AOB，
∵BC⊥AB，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∴∠C=∠ABO，
在△CBH和△BAO中，
∠CHB=∠AOB∠C=∠ABOCB=AB，
∴△CBH≌△BAO(AAS)，
∴CH=BO=2，BH=AO=5，
∴OH=7，
∴点C的坐标为(−2,7)；
(3)过点D作DQ⊥x轴于Q，
∴∠DQP=90°，
同(2)可证△ADQ≌△BAO(AAS)，
∴AQ=BO=2，DQ=AO=5，
∵AE=AO，
∴DQ=AE，
∵AE⊥AO，
∴∠DQP=∠EAP=90°，
在△DQP和△EAP中，
∠DPQ=∠EPA∠DQP=∠EAPDQ=AE，
∴△DQP≌△EAP(AAS)，
∴QP=AP，
∴AP=12AQ=1．
【解析】解：(1)∵(a+5)2+|2−b|=0，
∴a+5=0，2−b=0，
∴a=−5，b=2，
∴A(−5,0)，B(0,2)；
故答案为：−5，0；0，2；
(2)见答案；
(3)见答案。
(1)由(a+5)2+|2−b|=0，得a=−5，b=2，即得A(−5,0)，B(0,2)；
(2)过点C作CH⊥y轴于H，证明△CBH≌△BAO(AAS)，可得CH=BO=2，BH=AO=5，故OH=7，从而点C的坐标为(−2,7)；
(3)过点D作DQ⊥x轴于Q，同(2)可证△ADQ≌△BAO(AAS)，得AQ=BO=2，DQ=AO=5，根据AE=AO，有DQ=AE，即可证明△DQP≌△EAP(AAS)，故QP=AP=12AQ=1．
本题考查直角坐标系中的全等三角形问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质定理．