安徽省合肥市第六中学2022届高三上学期一模理科数学试题

这是一份安徽省合肥市第六中学2022届高三上学期一模理科数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共12小题）
1. 复数等于
A．B．C．D．
2. 已知集合，则
A．B．C．D．
3. 函数的图象是
A．B．
C．D．
4. 已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为
A．B．C．D．
5. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为
A．B．
C．D．
6. 在长方体中，与所成的角为30°，则
A．B．3C．D．
7. 学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级．老师们目送着大家远去，渐行渐远…….执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为
A．2B．3C．4D．5
8. 从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是( )
A．B．C．D．
9. 的展开式中项的系数是（ ）
A．420B．-420C．1680D．-1680
10. 将函数，的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
11. 已知函数，（，为实数），若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12. 设F，B分别为椭圆的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题）
13. 曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为 ．
14. 若变量，满足约束条件，则的取值范围是 ．
15. 在中，角所对的边分别为，若.当时，的面积是 .
16. 四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 .
三、解答题（本大题共7小题）
17. 已知数列满足.
(1)若，证明是等差数列；
(2)设，数列的前项和为，若，求.
18. 某汽车公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表；
(1)可用线性回归模型拟合与之间的关系吗?如果能,请求出关于的线性回归方程,如果不能,请说明理由;
(2)公司决定再采购两款车扩大市场, 两款车各100辆的资料如表：
平均每辆车每年可为公司带来收入元,不考虑采购成本之外的其他成本,假设每辆车的使用寿命部是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率,以每辆车产生利润的平均数作为决策依据,应选择采购哪款车型?
参考数据: ，，，.
参考公式:相关系数；
回归直线方程为,其中，.
19. 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点．
（1）证明：；
（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
20. 已知的直角顶点在轴上，点为斜边的中点，且平行于轴.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为.以为直径的圆交轴于即此圆的圆心为,求的最大值.
21. 已知函数
（1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；
（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围.
22.
在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点．若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．
23. 已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.
参考答案
1.【答案】A
【详解】
由复数的运算法则：.
本题选择A选项.
2.【答案】C
【分析】
首先求得集合A，然后进行交集运算即可.
【详解】
求解函数的定义域可得：，
结合交集的定义有：.
本题选择C选项.
3.【答案】A
【详解】
试题分析：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.
考点：函数的图象与性质．
4.【答案】D
【分析】
由题意首先求得的值，然后求解向量在向量方向上的投影即可.
【详解】
由题意可知：，
则，
，
据此可得向量在向量方向上的投影为.
本题选择D选项.
5.【答案】D
【分析】
由题意得到关于m的方程，解方程求得m的值即可确定双曲线方程.
【详解】
由题意可得：，
则实轴长为：，虚轴长为，
由题意有：，解得：，
代入可得双曲线方程为.
本题选择D选项.
6.【答案】D
【详解】
分析：连接，由可得是异面直线与所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出.
详解：如图所示，连接，
，
是异面直线与所成的角，即，
在中，，
在中，有，即.
故选D.
点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．
7.【答案】C
【分析】
由题意结合流程图运行程序确定输出的值即可.
【详解】
结合流程图可知程序运行过程如下：首先初始化数据：，，
此时满足，执行；
此时满足，执行；
此时满足，执行；
此时不满足，输出的值为.
本题选择C选项.
8.【答案】C
【详解】
分析：根据古典概型计算恰好是2个白球1个红球的概率.
详解：由题得恰好是2个白球1个红球的概率为.
故答案为C.
点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.
9.【答案】A
【详解】
表示的是8个相乘，要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取，其余4个因式都取1，然后算出即可.
【详解】
表示的是8个相乘，
要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取
其余4个因式都取1
所以展开式中 项的系数是.
故选：A
10.【答案】B
【分析】
先把函数化为的形式，利用图象变换规律，得到g(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性,得出结论.
【详解】
向左平移个单位，得到函数的图像，
由在上为增函数，则，所以，
故的最大值为2.
故选：B
11.【答案】A
【详解】
当时，利用导数可得时，有最大值，由最大值恒成立可得，然后利用导数求出右边的最小值即可
【详解】
，则，
若，可得，函数为增函数，
当时，，不满足对任意恒成立；
若，可得，得，则，
∴当时，当时
，
若对任意恒成立，则（）恒成立，
若存在实数，使得成立，
则，∴（），
令，
.
∴当时，，当时，，
则.
∴.则实数的取值范围是.
故选：A
12.【答案】A
【分析】
根据向量的加法法则及共线向量的性质由已知，得与交点为的中点，从而有，然后把四边形的面积用两种不同方法表示后可得的关系式，从而得离心率．
【详解】
根据，由平面向量加法法则，则与交点为的中点，故 ，由得 ，
，则

可得

故选A．
13.【答案】.
【分析】
先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程.
【详解】
因为y′＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.
故答案为y＝－5x＋3.
14.【答案】.
【分析】
首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义求解取值范围即可.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图所示，
结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值，
在点处取得最小值，
综上可得，目标函数的取值范围是.
15.【答案】或
【分析】
根据题设中的正切值可求或，求出的正弦后利用面积公式可求三角形的面积.
【详解】
因为，故，
故即，
故即，
所以，而，故或，
若，则，
故三角外接圆的直径，
由为三角形内角可得，，
故，
故三角形的面积为.
若，则，
由为三角形内角可得，
故，
故三角形的面积为.
故答案为：或
16.【答案】.
【详解】
四棱锥中，可得： 平面平面平面，过作于，则平面，设，故，
所以，，
在中， ，则有， ,所以的外接圆半径，将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱，得外接球的半径，所以．
故答案为
点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．
17.【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）由题设中的递推关系可得均为等差数列，求出它们的通项后再利用等差数列的定义可证明是等差数列；
（2）利用分组求和和裂项相消法可求.
(1)
因为，所以，
故均为等差数列，公差均为3，
故，
且，
故，所以，所以是等差数列.
(2)
由（1）可得，，
当时，，
当时，，
而
18.【答案】（1）；（2）应选择款车型.
【详解】
分析：（1）先算相关系数.，所以两变量之间具有较强的线性相关关系．再根据公式分别求得，，，．（2）由表可知，款车有10辆利润为-500,有30辆利润为0，有40辆利润为500,有20辆利润为1000，B款车有15辆利润为-300有40辆利润为200,有35辆利润为700,有10辆利润为1200,分别算出两款车型的平均利润，选择平均利润高的．
详解：(1) ，，，
.
所以两变量之间具有较强的线性相关关系,
故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.
又，.
，
回归直线方程为.
(2)用频率估计概率, 款车有10辆利润为-500,有30辆利润为0，有40辆利润为500,有20辆利润为1000，所以平均利润为:
(元).
款车有15辆利润为-300，有40辆利润为200,有35辆利润为700,有10辆利润为1200所以平均利润为:
(元).
以每辆车产生平均利润为决策依据,故应选择款车型.
点睛：本题考查学生的利用相关系数r判定两个变量是否线性相关，并求线性回归方程，同时考查对平均数的理解与运算及应用．
19.【答案】(1)证明见解析.
(2) .
【详解】
分析：以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系，（1）求出向量，由空间向量垂直的坐标表示可得结论；(2)先确定点的位置，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，取平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.
详解：依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，
可得
由为棱的中点，得
（1）向量
故
（2）
由点在棱上，设
故
由，得
因此，
即
设为平面的法向量，则，即
不妨令，可得为平面的一个法向量
取平面的法向量，则
所以二面角的余弦值为
点睛：本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20.【答案】（1）（2）
【详解】
试题分析：（1）设的中点的坐标为，根据,得即；（2）（2）讨论BC的斜率，求出圆P的半径和横坐标，计算最小值，进而得到的最大值.
详解：
设点的坐标为（，则的中点的坐标为，点的坐标为，
由,得即，
经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去.
所以，轨迹的方程为.
（Ⅱ）依题意，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，点、的坐标分别为（，圆心的坐标为.
由可得
圆的半径
.
过圆心作于点,则.
在中，即垂直于轴时，取得最小值为，取得最大值为，
所以，的最大值为
点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21.【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）求导得到，讨论和两种情况，计算函数的单调性，得到，再讨论，，三种情况，计算得到答案.
（2）计算得到，讨论，两种情况，分别计算单调性得到函数最值，得到答案.
【详解】
（1），
①当时恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；
②当时，令，
函数在上单调递减，在上单调递增，函数。
（i）当即,所以符合题意，
（ii）当即 时，
因为，
故存在,所以 不符题意
（iii）当 时，
因为，
设，
所以,单调递增，即，
故存在，使得，不符题意；
综上，的取值范围为。
（2）。
①当时，恒成立，所以 单调递增，所以，
即符合题意；
②当 时，恒成立，所以单调递增，
又因为，
所以存在，使得，且当时，。
即在上单调递减，所以，不符题意。
综上，的取值范围为.
22.【答案】(1)见解析;(2)8.
【分析】
（1）参数方程化为普通方程可得直线的普通方程为；极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；
（2）由题意可得直线的参数方程为．联立直线的参数方程与抛物线的直角坐标方程，结合参数的几何意义可得．
【详解】
（1）由参数方程可得，消去参数可得直线的普通方程为：，即；
即，
转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；
（2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为．
∴，直线的倾斜角．
∴直线的参数方程为．
代入，得．
设，两点对应的参数为，，则，
∴．
23.【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用分类讨论法可求不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可求的最小值，从而可求实数的取值范围.
(1)
即为，
故或或，
故或或，
故的解集为，
(2)
即为，
而，当且仅当时等号成立，
故的最小值为1，而有解，
故.月份代码
1
2
3
4
5
6
市场占有率
11
13
16
15
20
21
车型
报废年限（年）
合计
成本
1
2
3
4
10
30
40
20
100
1000元/辆
15
40
35
10
100
800元/辆