小学人教版4 比综合训练题

这是一份小学人教版4 比综合训练题，共38页。试卷主要包含了5×15等内容，欢迎下载使用。
《2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。
1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。
4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！
101数学工作室
2023年10月1日
2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列
第四单元比·应用提高篇【十四大考点】
专题解读
本专题是第四单元比·应用提高篇。本部分内容以按比例分配问题和不变量问题为主，考点和题型较多，难度较大，建议根据学生掌握情况，选择性讲解部分考点考题，一共划分为十四个考点，欢迎使用。
目录导航
目录TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc8246" 【考点一】按比例分配问题其一：和比问题基础型 PAGEREF _Tc8246 \h 3
\l "_Tc28285" 【考点二】按比例分配问题其二：和比问题提高型 PAGEREF _Tc28285 \h 5
\l "_Tc2629" 【考点三】按比例分配问题其三：三个数的和比问题 PAGEREF _Tc2629 \h 8
\l "_Tc15620" 【考点四】按比例分配问题其四：化连比问题 PAGEREF _Tc15620 \h 11
\l "_Tc1204" 【考点五】按比例分配问题其五：图形问题 PAGEREF _Tc1204 \h 12
\l "_Tc30544" 【考点六】按比例分配问题其六：复杂的化连比问题 PAGEREF _Tc30544 \h 18
\l "_Tc17956" 【考点七】按比例分配问题其七：相遇问题 PAGEREF _Tc17956 \h 19
\l "_Tc6815" 【考点八】按比例分配问题其八：比与分数的结合 PAGEREF _Tc6815 \h 21
\l "_Tc31610" 【考点九】按比例分配问题其九：差比问题 PAGEREF _Tc31610 \h 26
\l "_Tc6772" 【考点十】按比例分配问题其十：单量和比的问题 PAGEREF _Tc6772 \h 29
\l "_Tc9111" 【考点十一】不变量问题其一：单量不变 PAGEREF _Tc9111 \h 30
\l "_Tc5616" 【考点十二】不变量问题其二：差不变（同增同减差不变） PAGEREF _Tc5616 \h 32
\l "_Tc5582" 【考点十三】不变量问题其三：总量不变（给来给去和不变） PAGEREF _Tc5582 \h 34
\l "_Tc20712" 【考点十四】比的复杂应用 PAGEREF _Tc20712 \h 36
典型例题
【考点一】按比例分配问题其一：和比问题基础型。
【方法点拨】
1.按比例分配问题主要分为和比问题、差比问题、单一量与比的问题等三种基础题型，总体来说，三种问题解答方法大同小异，关键在于分析已知条件，判断不同题型，再根据方法解答。
2.按比例分配问题主要存在两种解答方法：
其一是平均分法，即先求出每份数（和或差÷份数和或差=每份数），再分别求出各部分数量是多少。
其二是转化法，即将比例形式转化为分数形式，再根据分数乘除法应用解题方法解答。
【典型例题】
某条公路上，停着小客车、小轿车共56辆，这两种车的辆数比为3∶4，求客车、轿车各有多少辆？（用两种方法解答）
【答案】客车：24辆；货车：32辆
【分析】由题意可知：把56辆按3∶4分配可求出客车、轿车的辆数。方法一：平均分法。把比的各项之和看作平均分的份数，先求出每份是多少，再解答。方法二：转化法。转化成分数乘法来解答。
【详解】方法一：
总份数：3＋4＝7（份）
每份数：56÷7＝8（辆）
客车的辆数：8×3＝24（辆）
货车的辆数：8×4＝32（辆）
方法二：
客车的辆数：56×
＝56×
＝24（辆）
货车的辆数：56×
＝56×
＝32（辆）
答：客车有24辆，货车有32辆。
【点睛】可以把按比分配问题转化成“平均分”问题来解答，也可以转化成分数问题来解答。
【对应练习1】
妈妈买回来一些苹果和香蕉共2.5千克。苹果和香蕉质量的比是3∶2，两种水果各有多少千克？
【答案】苹果：1.5千克，香蕉：1千克
【分析】本题可先通过它们的质量比求出它们各占总质量的几分之几，然后按求一个数的几分之几是多少的方法，用乘法求出各有多少千克。
【详解】3＋2＝5
2.5×＝1.5（千克）
2.5×＝1（千克）
答；苹果1.5千克，梨1千克。
【点睛】本题主要考查按比例分配解决问题，关键是求出每种水果占总质量的几分之几。
【对应练习2】
家里的菜地共1000平方米，准备按3∶2的面积比种黄瓜和茄子。两种蔬菜的面积分别是多少平方米？
【答案】600平方米；400平方米
【分析】根据比的应用，菜地总面积÷总份数，求出一份数，一份数分别乘黄瓜和茄子对应份数，即可求出黄瓜和茄子的面积。
【详解】1000÷（2＋3）
＝1000÷5
＝200（平方米）
200×3＝600（平方米）
200×2＝400（平方米）
答：两种蔬菜的面积分别是600平方米、400平方米。
【点睛】关键是理解比的意义，将比的前后项看成份数，同时熟练掌握比的应用公式。
【对应练习3】
王爷爷和张朋的平均年龄是40岁，王爷爷和张朋的年龄比是4∶1，张朋多少岁？
【答案】16岁
【分析】根据公式：平均数×数量＝总数，用40×2即可求出王爷爷和张朋的年龄和，再根据比的应用公式：总数÷总份数＝1份量，王爷爷的年龄是4份，张朋的年龄是1份，用80÷（4＋1）求出1份的年龄，再乘1即可求出张朋的年龄。
【详解】40×2＝80（岁）
80÷（4＋1）×1
＝80÷5×1
＝16（岁）
答：张朋16岁。
【点睛】本题主要考查平均数的公式以及比的应用公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
【考点二】按比例分配问题其二：和比问题提高型。
【方法点拨】
和比问题，前提条件是已知和与比，当题目中没有和或比的时候，要先求出和与比。
【典型例题】
红星果园共有640平方米，赵伯伯准备用种杏树，剩下的按4∶1的面积比种梨树和石榴树。三种果树的面积分别是多少平方米？
【答案】杏树：240平方米；梨树：320平方米；石榴：80平方米
【分析】把红星果园的总面积看作单位“1”，赵伯伯准备用中杏树，用640×，求出种杏树的面积；再用总面积－种杏树的面积，求出剩下的面积；再根据按比例分配的计算方法，再把剩下的面积分成（4＋1）份，用剩下的面积÷分成总的份数，求出一份的面积；进而求出种梨树的面积和种石榴的树的面积，据此解答。
【详解】杏树：640×＝240（平方米）
4＋1＝5（份）
（640－240）÷5
＝400÷5
＝80（平方米）
梨树：80×4＝320（平方米）
石榴：80×1＝80（平方米）
答：种杏树的面积是240平方米，种梨树的面积是320平方米，种石榴的面积是80平方米。
【点睛】熟练掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，按比例分配的计算方法是解答本题的关键。
【对应练习1】
学校图书室买来了480本新书，其中是连环画，其余的是科技书和文艺书，科技书和文艺书的本数比是3∶2，连环画、科技书和文艺书各买了多少本？
【答案】80本；240本；160本
【分析】将新书总本数看作单位“1”，新书总本数×连环画对应分率＝连环画本数，总本数－连环画本数＝科技书和文艺书本数，根据比的应用公式：总量÷总份数＝一份量，科技书和文艺书本数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘科技书和文艺书对应份数，即可求出科技书和文艺书本数，据此列式解答。
【详解】480×＝80（本）
480－80＝400（本）
400÷（3＋2）
＝400÷5
＝80（本）
80×3＝240（本）
80×2＝160（本）
答：连环画、科技书和文艺书各买了80本、240本、160本。
【点睛】关键是确定单位“1”，熟练掌握一个数的几分之几是多少的计算方法以及比的应用公式。
【对应练习2】
一堆货物600吨，第一天运走这堆货物的，剩下的货物用两天运完，第二天运走的数量与第三天的比是1∶4，三天各运走多少吨？
【答案】第一天：100吨；第二天：100吨；第三天：400吨
【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法计算，即一个数（单位“1”的量）×几分之几＝部分量。据此用600×求出第一天运走100吨；再用600吨减去第一天运走的100吨求出剩下500吨；再把剩下的500吨按1∶4分配，即用1＋4求出总份数是5份，第二天运走500吨的，第三天运走500吨的，用500×求出第二天运走的吨数，用500×求出第三天运走的吨数。
【详解】第一天运走的吨数：600×＝100（吨）
第二天运走的吨数：
（600－100）×
＝500×
＝100（吨）
第三天运走的吨数：
（600－100）×
＝500×
＝400（吨）
答：第一天运走100吨，第二天运走100吨，第三天运走400吨。
【点睛】此题主要考查了求一个数的几分之几的问题及按比分配问题。
【对应练习3】
工程师指挥81个机器人炼钢，其中机器人总数的加料，剩下的机器人按2∶7的比分别做检验和运材料，加料、做检验和运材料的机器人各有多少个？
【答案】加料27人；做检验12个；运材料42个
【分析】把机器人的总数看作单位“1”，已知机器人总数的加料，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出加料机器人的数量；
然后用机器人的总数减去加料机器人的数量，即是剩下的机器人数量，按2∶7的比分别做检验和运材料，即做检验、运材料的机器人分别占剩下机器人的、；把剩下的机器人数量看作单位“1”，根据分数乘法的意义，分别求出做检验、运材料机器人的数量。
【详解】加料的机器人：81×＝27（个）
剩下的机器人：81－27＝54（个）
做检验的机器人：54×＝12（个）
运材料的机器人：54×＝42（个）
答：加料的机器人有27个，做检验的机器人有12个，运材料的机器人有42个。
【点睛】本题考查按比分配问题以及分数乘法的应用，掌握按比分配问题的解题方法是解题的关键。
【考点三】按比例分配问题其三：三个数的和比问题。
【方法点拨】
三个数的按比例分配问题同两个数的按比例分配问题相同，先求出每份数，即和÷份数和=每份数，再分别求出各部分数量是多少。
【典型例题】
希望小学把栽80棵树的任务按照六年级三个班的人数分配给各班，一班有50人，二班有54人，三班有56人，三个班各应栽多少棵树？
【答案】一班：25棵；二班：27棵；三班：28棵
【分析】求出三个班人数之比，再将80棵树根据三班人数按比例分配。
【详解】50∶54∶56＝25∶27∶28
80×
＝80×
＝25（棵）
80×
＝80×
＝27（棵）
80×
＝80×
＝28（棵）
答：一班应栽25棵，二班应栽27棵，三班应栽28棵。
【点睛】本题主要考查按比例分配问题，关键是要找到比。
【对应练习1】
将一根长243厘米的铁丝截去，用剩下的部分围成一个三角形，这个三角形三条边长的比是6∶5∶7，最长的边是多少厘米？
【答案】63厘米
【分析】把铁丝的总长度看作单位“1”，截取，还剩下（1－），用铁丝的总长×（1－），求出剩下铁丝的长度，也就是三角形的周长；再根据三角形三条边长的比是6∶5∶7，即把三角形三条边分成了6＋5＋7＝18份，用剩下铁丝的总数÷总份数，求出1份，进而求出最长的边的长度。
【详解】6＋5＋7
＝11＋7
＝18（份）
243×（1－）÷18×7
＝243×÷18×7
＝162÷18×7
＝9×7
＝63（厘米）
答：最长的边是63厘米。
【点睛】熟练掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法，按比例分配的计算方法是解答本题的关键。
【对应练习2】
我国民间常用生姜、红糖和水按2∶5∶75的质量比煎熬成“姜汤”，用来防治感冒。要煮一碗246克的“姜汤”，需要准备生姜、红糖各多少克？
【答案】生姜6克；红糖15克
【分析】先用2＋5＋75求出总份数；再用246克除以总份数求出每份是多少克；再用每份的克数乘2求出生姜的克数，用每份的克数乘5求出红糖的克数。
【详解】总份数：2＋5＋75＝82（份）
每份的克数：246÷82＝3（克）
生姜的克数：3×2＝6（克）
红糖的克数：3×5＝15（克）
答：需要准备生姜6克，红糖15克。
【点睛】解按比分配问题时，一定要注意已知量所对应的份数是多少。
【对应练习3】
一种混凝土是按水泥、沙子、石子3∶4∶5的比例配成的，现要配这种混凝土240吨，应准备水泥、沙子、石子各多少吨？
【答案】水泥60吨；沙子80吨；石子100吨
【分析】由题意可知，水泥占3份，沙子占4份，石子占5份，即把混凝土平均分成了（3＋4＋5）份，用240除以总份数求出一份的数量，进而求出水泥、沙子、石子的数量，据此解答。
【详解】3＋4＋5
＝7＋5
＝12
水泥：240÷12×3
＝20×3
＝60（吨）
沙子：240÷12×4
＝20×4
＝80（吨）
石子：240÷12×5
＝20×5
＝100（吨）
答：应准备水泥60吨，沙子80吨，石子100吨。
【点睛】熟练掌握按比例分配的计算方法是解答本题的关键。
【考点四】按比例分配问题其四：化连比问题。
【方法点拨】
存在两个比的按比例分配问题，要先化连比，再根据按比例分配问题的方法解答。
【典型例题】
箱子里有大中小零件共140个，其中大零件与中零件的个数比是2∶3，中零件与小零件的个数比是4∶5。这三种零件各有多少个？
解析：
大零件∶中零件＝2∶3＝8∶12
中零件∶小零件＝4∶5＝12∶15
大零件∶中零件∶小零件＝8∶12∶15
8＋12＋15＝35
140×＝32（个）
140×＝48（个）
140×＝60（个）
答：大零件有32个，中零件有48个，小零件有60个。
【对应练习1】
光明小学六年级有学生140人，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2:3，第二小组和第三小组的人数比4:5，这三个小组各是多少人？
解析：由题意可得，第一组:第二组:第三组=8:12:15
因此，第一组：140×=32（人）
第二组：140×=48（人）
第三组：140×=60（人）
【对应练习2】
学校把414棵树苗按各班的人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗的棵数比是2:3，二班和三班分得树苗的棵数的比是5:7，求每个班各分得树苗多少棵？
解析：由题可知，一、二、三班分得树苗的棵数比是10:15:21
一班：414×=90（棵）
二班：414×=135（棵）
三班：414×=189（棵）
答：略。
【对应练习3】
艾迪、大宽、薇儿给地主做长工，已知艾迪和大宽一个月的工资之比是1:2，大宽和薇儿一个月的工资之比是3:4，地主每个月给他们一共51元钱的工资，那么艾迪的工资为多少元？
解析：由题意可得：艾迪、大宽、薇儿三个人工资之比为3:6:8
艾迪：51×=9（元）
大宽：51×=18（元）
薇儿：51×=24（元）
答：略。
【考点五】按比例分配问题其五：图形问题。
【方法点拨】
先根据周长或棱长和的公式求出对应比的和，再按照按比例分配问题的方法求出各部分数量是多少。
【典型例题1】长方形的周长。
有一块长方形的菜地，长方形的长和宽的比是，它的周长为24米，求这块长方形菜地的面积是多少？
【答案】35平方米
【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，据此求出长方形的长与宽的和，然后根据按比分配问题，求出长方形菜地的长和宽，最后根据长方形的面积公式：S＝ab，据此求出长方形菜地的面积。
【详解】
（米）
（平方米）
答：这块长方形菜地的面积是35平方米。
【点睛】本题考查按比分配问题，结合长方形的周长和面积的计算方法是解题的关键。
【对应练习1】
小明用250厘米长的铁丝做了一个长方形框架，长、宽的比是3∶2，这个长方形的面积是多少？
【答案】3750平方厘米
【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，用周长除以2求出长与宽的和，长、宽的比是3∶2，求出比中每份的量，再乘长和宽占的份数求出长和宽各是多少，最后根据“长方形的面积＝长×宽”求出这个长方形的面积，据此解答。
【详解】250÷2＝125（厘米）
125÷（3＋2）
＝125÷5
＝25（厘米）
长：25×3＝75（厘米）
宽：25×2＝50（厘米）
面积：75×50＝3750（平方厘米）
答：这个长方形的面积是3750平方厘米。
【点睛】掌握按比例分配问题的解题方法，并熟记长方形的周长和面积的计算公式是解答题目的关键。
【对应练习2】
用96厘米长的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长与宽的比是5∶3，这个长方形的面积是多少平方厘米？
【答案】540平方厘米
【分析】由题可知，围成的长方形的周长是96厘米。将周长除以2，求出长和宽之和。将和除以（5＋3），求出一份长和宽的长度，从而利用乘法分别求出长和宽。最后根据“长方形面积＝长×宽”列式求出这个长方形的面积即可。
【详解】96÷2＝48（厘米）
48÷（5＋3）
＝48÷8
＝6（厘米）
长：6×5＝30（厘米）
宽：6×3＝18（厘米）
面积：30×18＝540（平方厘米）
答：这个长方形的面积是540平方厘米。
【点睛】本题考查了按比分配问题，解题关键是求出一份长或宽的长度。
【对应练习3】
李大伯用70米长的篱笆靠墙围了一个长方形养鸡场（如图），已知长和宽的比是4∶3，求养鸡场的面积。
【答案】588平方米
【分析】根据题意，用70米长的篱笆靠墙围了一个长方形养鸡场，且一条长边靠墙；那么篱笆的长度等于长方形的1条长边与2条宽边的和；已知长和宽的比是4∶3，由此可知三条边的长度比是4∶3∶3，一共是（4＋3＋3）份；用篱笆的长度除以总份数，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽的份数，即可求出长、宽；再根据长方形的面积＝长×宽，求出养鸡场的面积。
【详解】一份数：
70÷（4＋3＋3）
＝70÷10
＝7（米）
长：7×4＝28（米）
宽：7×3＝21（米）
面积：28×21＝588（平方米）
答：养鸡场的面积是588平方米。
【点睛】本题考查比的意义、比的应用以及长方形面积公式的运用，分析出长方形三条边的比，把比看作份数，求出一份数，进而求出长、宽是解题的关键。
【典型例题2】长方体的棱长和。
一个长方体棱长总和为96厘米，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的长、宽、高各是多少？
【答案】长是12厘米，宽是8厘米，高是4厘米。
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4， 先求出长方体的长、宽、高之和；接下来利用按比分配的方法求出长方体的长、宽、高与长、宽、高和的比，结合上步所得，用乘法即可得解。
【详解】长：96÷4
＝24×
＝12（厘米）
宽：96÷4
＝24×
＝8（厘米）
高：96÷4
＝24×
＝4（厘米）
答：这个长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是4厘米。
【点睛】此题考查了按比分配应用题，解题的关键是利用按比分配的方法求出长、宽、高所占的分率。
【对应练习1】
小红用一根长144厘米的铁丝围成了一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高的比是5∶4∶3，这个长方体的长、宽、高各是多少？
【答案】15厘米；12厘米；9厘米
【分析】铁丝长度是长方体棱长总和，长方体棱长总和÷4＝长宽高的和，根据比的意义，长宽高的和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长、宽、高的对应份数，即可求出长、宽、高。
【详解】144÷4÷（5＋4＋3）
＝36÷12
＝3（厘米）
3×5＝15（厘米）
3×4＝12（厘米）
3×3＝9（厘米）
答：这个长方体的长、宽、高各是15厘米、12厘米、9厘米。
【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用长方体棱长总和公式。
【对应练习2】
小芳用216厘米长的铁丝做了一个长方体框架，长、宽、高的比是4∶3∶2，这个长方体框架的长、宽、高分别是多少厘米？体积是多少？
【答案】24厘米；18厘米；12厘米；5184立方厘米
【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，长方体棱长总和÷4＝长宽高的和，长宽高的和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长、宽、高的对应份数，即可求出长、宽、高，根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。
【详解】216÷4÷（4＋3＋2）
＝54÷9
＝6（厘米）
6×4＝24（厘米）
6×3＝18（厘米）
6×2＝12（厘米）
24×18×12＝5184（立方厘米）
答：这个长方体框架的长、宽、高分别是24厘米，18厘米，12厘米，体积是5184立方厘米。
【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用长方体棱长总和以及体积公式。
【对应练习3】
把一根360厘米长的铁丝分成段，再焊接成一个长方体框架，使长方体的长、宽、高的比为4∶3∶2，求这个长方体的体积？
【答案】24000立方厘米
【分析】根据题意，用一根铁丝焊接成一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4。
又已知长、宽、高的比为4∶3∶2，那么长、宽、高的份数和是（4＋3＋2）份；用长、宽、高之和除以它们的份数和，即可求出一份数；再用一份数分别乘长、宽、高的份数，求出长方体的长、宽、高。
最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出这个长方体的体积。
【详解】长、宽、高之和：
360÷4＝90（厘米）
一份数：
90÷（4＋3＋2）
＝90÷9
＝10（厘米）
长：10×4＝40（厘米）
宽：10×3＝30（厘米）
高：10×2＝20（厘米）
体积：
40×30×20
＝1200×20
＝24000（立方厘米）
答：这个长方体的体积是24000立方厘米。
【点睛】本题考查比的应用、长方体的棱长总和以及体积公式的运用，先根据长方体的棱长总和公式求出长、宽、高之和，然后把比看作份数，求出一份数，进而求出长方体的长、宽、高是解题的关键。
【考点六】按比例分配问题其六：复杂的化连比问题。
【方法点拨】
复杂的连比问题，即和与比都不确定，先根据化连比的方法求出比，再根据不同问题求出对应比的和，最后再按比例分配。
【典型例题】
有一个长方体，棱长和是352厘米，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2，这个长方体的体积是多少立方厘米？
解析：
长+宽+高：352÷4=88（厘米）
长:宽:高=6:3:2
长：88×=48（厘米）
宽：88×=24（厘米）
高：88×=16（厘米）
体积：48×24×16=18432（立方厘米）
答：略。
【对应练习1】
一个长方体所以棱长之和是452厘米，长、宽之比是8:5，宽、高之比是6:7，求长方体的体积。
解析：
长+宽+高：452÷4=113（厘米）
长:宽:高=48:30:35
长：113×=48（厘米）
宽：113×=30（厘米）
高：113×=35（厘米）
体积：48×30×35=50400（立方厘米）
答：略。
【对应练习2】
有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2，已知这个长方体的全部棱长之和是220厘米，求这个长方体的体积。
解析：
长+宽+高：220÷4=55（厘米）
长:宽:高=6:3:2
长：55×=30（厘米）
宽：55×=15（厘米）
高：55×=10（厘米）
体积：30×15×10=4500（立方厘米）
答：略。
【考点七】按比例分配问题其七：相遇问题。
【方法点拨】
先根据相遇问题公式求出速度和，即速度和=路程÷相遇时间，再求出每份数，即和÷份数和=每份数，最后再分别求出各部分数量是多少。
【典型例题】
甲、乙两地相距360千米，客车与货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。客车与货车的速度比是3∶2，货车的速度是多少？
【答案】48千米/时
【分析】根据路程和÷相遇时间＝速度和，用360÷3即可求出客车与货车的速度和；已知客车与货车的速度比是3∶2，把客车的速度看作3份，货车的速度看作2份，用360÷3÷（3＋2）即可求出每份是多少，进而求出2份，也就是货车的速度。
【详解】360÷3÷（3＋2）
＝360÷3÷5
＝24（千米/时）
24×2＝48（千米/时）
答：货车的速度是48千米/时。
【点睛】本题主要考查了相遇问题以及按比分配问题，要熟练掌握相应的公式。
【对应练习1】
甲乙两地间的公路长315km，客车和货车同时从两地出发相向而行，经过3.5小时后相遇。客车和货车的速度比是5∶4，客车和货车每小时各行驶多少千米？
【答案】客车：50千米/小时；火车：40千米/小时
【分析】先根据“路程÷相遇时间＝速度和”求出两车的速度和，再根据客车和货车的速度比是5∶4，对两车的速度按比例分配，即可求出答案。
【详解】客车：315÷3.5×
＝
＝50（千米/时）
货车：315÷3.5×
＝
＝40（千米/时）
答：客车每小时各行驶50千米；火车每小时行驶40千米。
【点睛】此题考查了学生对按比例分配以及分数乘法的熟练掌握程度。
【对应练习2】
甲、乙两站相距360千米，一列客车和货车分别从两站同时相对而行，3.6小时相遇，已知客车与货车的速度比是3∶2，客车行完全程要几小时？
【答案】6小时
【分析】先根据“路程÷时间＝速度和”求出客车与货车的速度和；再把速度和按3∶2分配分别求出两车的速度；最后根据“路程÷速度＝时间”求出客车行完全程的时间。
【详解】360÷3.6＝100（千米/小时）
100×
＝100×
＝60（千米/小时）
360÷60＝6（小时）
答：客车行完全程要6小时。
【点睛】明确相遇问题中的数量关系式及按比分配的方法是解决此题的关键。
【对应练习3】
A、B两城相距800千米，甲乙两车分别从两城同时出发相向而行，5小时后相遇。甲乙两车的速度比是2∶3。甲车每小时行驶了多少千米？
【答案】64千米
【分析】用A、B两城的总路程除以相遇的时间，得出甲乙两车的速度和，甲乙两车的速度比是2∶3，则甲车是甲乙两车速度和的，用乘法计算即可。
【详解】800÷5＝160（千米）
160×
＝160×
＝64（千米）
答：甲车每小时行驶了64千米。
【点睛】掌握比的应用以及相遇问题中速度和的计算方法是解答题目的关键。
【考点八】按比例分配问题其八：比与分数的结合。
【方法点拨】
比与分数的结合问题一般要先通过分率关系求出对应比，再按比例分配问题解答。
【典型例题1】
甲数的等于乙数的，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？
解析：
甲数×＝乙数×，
甲数∶乙数＝5∶4
5＋4＝9（份）
162÷9×5
＝18×5
＝90
162÷9×4
＝18×4
＝72
答：甲数是90，乙数是72。
【典型例题2】
甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？
解析；
甲数与乙数的比是5∶6
乙数与丙数的比是3∶4＝6∶8
甲数、乙数、丙数的比是5∶6∶8
5＋6＋8＝19
甲数：152÷19×5＝40
乙数：152÷19×6＝48
丙数：152÷19×8＝64
答：甲、乙、丙三个数各是40，48，64。
【对应练习1】
学校运来文艺书共99本，分给甲、乙、丙、丁四个班，已知甲班分得的是乙班的，丙班分得的是乙班的，丁班分得多少本？
解析：
由分析可知：甲班分到的本数∶乙班分到的本数＝5∶7；丙班分到的本数∶乙班分到的本数＝2∶3
甲班分到的本数∶乙班分到的本数∶丙班分到的本数＝15∶21∶14；
每份不可能是2本，则每份是1本。
甲班分到的本数：15×1＝15（本）
乙班分到的本数：21×1＝21（本）
丙班分到的本数：14×1＝14（本）
丁班分到的本数：99－15－21－14
＝84－21－14
＝63－14
＝49（本）
【对应练习2】
第一车间人数的等于第二车间人数的，第一车间比第二车间多50人。两个车间各有多少人？
解析：
解：设第二车间有x人；第一车间有（50＋x）人
（50＋x）×＝x
30＋x＝x
x＝30
x＝100
100＋50＝150（人）
答：第一车间有150人，第一车间有100人。
【对应练习3】
某小学六年级三个班共有300人，一班的人数是二班的，二班的人数是三班的，三个班各有多少人？
解析：
解：设三班人数有x人，则二班人数有x人，一班人数有（× x）人。
x＋x＋× x＝300
x＝300
x＝300÷
x＝120
二班：120×＝100（人）
一班：100×＝80（人）
答：一班有80人，二班有100人，三班有120人。
【典型例题3】
某食堂第一周用去面粉总袋数的，第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数的比是3∶10，现在还剩50袋面粉，食堂一共有多少袋面粉？
【答案】250袋
【分析】将面粉总袋数看作单位“1”，根据第二周用去的面粉袋数与面粉总袋数的比是3∶10，可以确定第二周用去面粉总袋数的，还剩面粉总袋数的（1－－），还剩下的袋数÷对应分率＝总袋数，据此列式解答。
【详解】50÷（1－－）
＝50÷
＝50×5
＝250（袋）
答：食堂一共有250袋面粉。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义。
【对应练习1】
水果超市运来橘子、苹果和梨一共380千克。橘子和苹果的质量比是5∶6，梨的质量比苹果多。水果超市运来橘子多少千克？
【答案】100千克
【分析】根据题意可知，把苹果的质量看成单位“1”，则梨的质量为（1＋），即橘子、苹果、梨的质量比是，再用380乘上橘子的质量占总质量的比值，即可算出答案。
【详解】6×（1＋）
＝6×
＝8
所以橘子、苹果、梨的质量比是5∶6∶8，即橘子的质量占总质量的比值为。
橘子的质量：380×
＝380×
＝100（千克）
答：水果超市运来橘子100千克。
【点睛】此题考查了按比例分配以及分数乘法的运算。
【对应练习2】
实验小学将六年级的140名学生分成三个小组进行植树，已知第一小组和第二小组人数的比是2∶3，第二小组的人数是第三小组的，这三个小组各有多少人？
【答案】28人；42人；70人
【分析】根据第二小组的人数是第三小组的，可以确定第二小组和第三小组的人数比是3∶5，据此可以确定三个小组的人数比是2∶3∶5，根据比的意义，总人数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘三个小组的对应份数，即可求出三个小组的人数。
【详解】三个小组的人数比：2∶3∶5
140÷（2＋3＋5）
＝140÷10
＝14（人）
14×2＝28（人）
14×3＝42（人）
14×5＝70（人）
答：这三个小组各有28人、42人、70人。
【点睛】关键是理解比和分数的意义，确定三个小组的人数比，掌握按比分配问题的解题方法。
【对应练习3】
向阳小学进行书法比赛，比赛的学生共有125人。低年级人数是中年级的，中年级与高年级人数比是2∶3，中年级参加书法比赛的有多少人？
【答案】40人
【分析】根据题意，低年级人数是中年级的，即低年级与中年级人数比是5∶8；
已知中年级与高年级人数比是2∶3，根据比的基本性质把中年级与高年级人数比的前、后项都乘4，即可得出低、中、高年级人数的连比；
根据连比求出中年级人数占比赛总人数的分率，然后根据分数乘法的意义解答。
【详解】低、中年级人数的比是＝5∶8
中、高年级人数的比是2∶3＝（2×4）∶（3×4）＝8∶12
低、中、高年级人数的比是5∶8∶12。
125×
＝125×
＝40（人）
答：中年级参加书法比赛的有40人。
【点睛】关键是写出低、中、高三个年级人数的连比，再根据按比分配的解题方法，把比转化成分数，根据分数乘法的意义解答。
【考点九】按比例分配问题其九：差比问题。
【方法点拨】
差比问题是已知对应比及对应量的差，先求每份数的方法，即相差数÷相差份数=每份数，再根据每份数求对应数量。
【典型例题】
某果园桃树和李树的棵数比是3∶8，桃树比李树少90棵，该果园共有桃树和李树多少棵？
【答案】桃树有54棵；李树有144棵
【分析】由题意可知，桃树和李树的棵数比是3∶8，即桃树占3份，李树占8份，所以桃树比李树少（8－3）份，即90棵，据此求出1份表示的棵数，进而求出桃树和李树分别有多少棵。
【详解】90÷（8－3）
＝90÷5
＝18（棵）
18×3＝54（棵）
18×8＝144（棵）
答：该果园桃树有54棵，李树有144棵。
【点睛】本题考查比的应用，求出1份表示的棵数是解题的关键。
【对应练习1】
水果店运来苹果比橙子少240千克，已知苹果与橙子的质量比是3∶5，水果店运来苹果和橙子一共多少千克？
【答案】960千克
【分析】已知苹果与橙子的质量比是3∶5，则把苹果的质量看作3份，橙子的质量看作5份，则苹果比橙子少（5－3）份，又已知运来苹果比橙子少240千克，则用240÷（5－3）即可求出每份是多少，进而求出（3＋5）份是多少，也就是水果店运来苹果和橙子一共多少千克。
【详解】240÷（5－3）×（3＋5）
＝240÷2×8
＝120×8
＝960（千克）
答：水果店运来苹果和橙子一共960千克。
【点睛】本题主要考查了比的应用，关键是求出每份的量是多少。
【对应练习2】
把一条路按2∶3∶4分给甲、乙、丙三个修路队去修，已知甲队比乙队少修16千米，这条路全长是多少千米？
【答案】144千米
【分析】由题意可知，把一条路按2∶3∶4分给甲、乙、丙三个修路队去修，则甲队比乙队少（3－2）份，即16千米，据此求出1份表示的长度，进而求出这条路的全长。
【详解】16÷（3－2）×（2＋3＋4）
＝16÷1×9
＝16×9
＝144（千米）
答：这条路全长是144千米。
【对应练习3】
六年级三个班举行“读写知识竞赛”，一班的参赛人数占总参赛人数的，二班与三班参赛人数的比是7∶9，二班的参赛人数比三班少6人。
（1）二班有多少人参加“读写知识竞赛”？
（2）六年级三个班一共有多少人参加“读写知识竞赛”？
【答案】（1）21人
（2）72人
【分析】（1）根据：二班与三班参赛人数的比是7∶9，可知二班与三班参赛人数相差（9－7）份，再用6除以2求出一份的数量，再乘二班人数的7份，即可求出二班参加人数；
（2）根据：二班的参赛人数比三班少6人，用（1）中求出的二班人数加上6求出三班的人数；根据一班的参赛人数是总参赛人数的，可知二班与三班占总参赛人数的（1－），再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用二班与三班的总人数除以（1－）即可求出三个班的总参赛人数；据此解答。
【详解】（1）6÷（9－7）×7
＝6÷2×7
＝3×7
＝21（人）
答：二班有21人参加“读写知识竞赛”。
（2）
三班人数：
21＋6＝27（人）
（27＋21）÷（1－）
＝48÷
＝48×
＝72（人）
答：六年级三个班一共有72人参加“读写知识竞赛”。
【点睛】此题考查了分数除法与比的运用，关键能够理解题目意思再解答。
【考点十】按比例分配问题其十：单量和比的问题。
【方法点拨】
单量和比的问题是已知比和其中一个量，先求出每一份量是多少，即部分数÷对应份数=每份数，再求另外一个单量。
【典型例题】
中华人民共和国的国旗的长和宽的比是，教室前面的国旗长是48厘米，宽是多少厘米？
解析：
48×＝32（厘米）
答：宽是32厘米。
【对应练习1】
配制一种盐水，盐和水的质量比是2∶9。现有80克盐需加水多少克？
解析：
80÷2×9
＝40×9
＝360（克）
答：80克盐需加水360克。
【对应练习2】
小芳家养白兔35只，白兔和黑兔只数的比是5∶2，养黑兔多少只？
解析：
35÷5×2
＝7×2
＝14（只）
答：养黑兔14只。
【对应练习3】
学校科技节举行小论文评比活动，收到四、五、六年级小论文的数量比为2∶3∶4，已知收到五年级72篇小论文，学校一共收到三个年级多少篇小论文？
解析：
72÷
＝72÷
＝216（篇）
答：学校一共收到三个年级216篇小论文。
【考点十一】不变量问题其一：单量不变。
【方法点拨】
单量不变问题：
第1步：统一不变的单量；
第2步：统一一份量；
第3步：求解一份量。
【典型例题】
厨房里原有苹果和橘子的个数之比为3:4，妈妈又买了7个苹果，此时苹果和橘子的个数之比为了4:3，那么厨房里原有苹果和橘子的个数分别是多少？
解析：
由题意可知，橘子的数量不变。
方法一:
因为橘子的数量不变，所以份数统一为4×3=12份
即原来苹果和橘子的比为9:12
现在苹果和橘子的比为16:12
苹果从9份变为16份，对应的数量为7个
每一份：7÷（16-9）=1（个）
原来苹果：1×9=9（个）
原来橘子：1×12=12（个）
方法二：
因为橘子的数量不变，因此把橘子看作单位“1”
原来苹果占橘子的，现在苹果占橘子的
根据量率对应，橘子的数量为7÷（-）=12（个）
原来苹果为12×=9（个）
答：略。
【对应练习1】
宿宿和权权两人所带的钱数之比为9:5，由于宿宿嘴馋买了一份8元的串串，他们的钱数比变为了5:3，那么原来他们各有多少钱？
解析：
由题意，权权的钱是不变量。
根据5×3=15，原来的比变为27:15,现在的比变为25:15
原来宿宿：8÷（27-25）×27=108（元）
原来权权：8÷（27-25）×15=60（元）
答：略。
【对应练习2】
学校原有足球个数和篮球个数的比是，现在又买进10个足球，这时足球个数与篮球个数的比是，学校原有篮球多少个？
解析：
由题意，篮球是不变量。
根据7×2=14份，原来足球和篮球的比变为16:14.现在的比变为21:14
原来篮球：10÷（21-16）×14=28（个）
答：略。
【对应练习3】
某厂原有男、女职工的人数比是2∶3，现新调入男职工35人后，男、女职工人数比是5∶4，现在男职工比女职工多几人？
解析：
35÷（－）
＝35÷
＝60（人）
60×－60
＝75－60
＝15（人）
答：现在男职工比女职工多15人。
【考点十二】不变量问题其二：差不变（同增同减差不变）。
【方法点拨】
差不变问题：（同增同减差不变）
第一步：统一不变的差量；
第二步：统一一份量；
第三步：得出一份量。
【典型例题1】
壮壮和苹苹存钱数的比是，如果壮壮再存入400元，就和苹苹存的钱一样多，苹苹存了多少元？
解析：
（元
答：苹苹存了1000元。
【典型例题2】
甲、乙两人原有书籍数量之比是25:13，后来两人都被借走了20本书，借完后甲、乙两人书籍数量的比是7:3，问：甲、乙两人原来共有多少本书籍？
解析：
甲乙原来份数之差为25-13=12，现在份数之差为7-3=4
12和4的1最小公倍数为12
所以，现在数量之比变为21:9
每一份：20÷（25-21）=5（本）
甲原来：5×25=125（本）
乙原来：5×13=65（本）
甲乙原来一共：125+65=190（本）
【对应练习1】
小明的课外书与小芳课外书之比为6:1，如果两人再各买2本后，小明现有的课外书与小芳的课外书之比为5:1，小明原有课外书多少本？
解析：
份数差统一为（6-1）×（5-1）=20（份）
原来小明与小芳课外书之比为24:4,现在之比为25:5
每一份：2÷（25-24）=2（本）
小明原来：2×24=48（本）
答：略。
【对应练习2】
艾迪和薇儿出去玩，艾迪和薇儿两人所带的钱数之比是2:3，两人都用去了200元钱买东西，买完后艾迪和薇儿剩下的钱数之比是4:7，问薇儿原来带了多少钱？
解析：
份数之差统一为（3-2）×（7-4）=3份
原来之比变为6:9，现在之比为4:7
每一份为：200÷（6-4）=100（元）
薇儿原来：100×9=900（元）
答：略。
【对应练习3】
已知李亮与爸爸的年龄差是26岁，今年李亮与爸爸的年龄比是9∶35，几年后,两人的年龄比是7∶20？
解析：
李亮与爸爸的年龄差是26岁，这是不变量，今年李亮与爸爸的年龄比是9∶35，相差26份，这26份即26岁,每份是1岁，所以今年李亮：1×9=9(岁)，爸爸:1×35=35(岁)，几年后两人的年龄比是7∶20，相差20-7=13(份)，这13份即26岁，每份是26÷13=2(岁)，所以李亮是2×7=14(岁)，爸爸是2×20=40(岁)，14-9=5(年),所以再过5年李亮与爸爸的年龄比是7∶20。
【考点十三】不变量问题其三：总量不变（给来给去和不变）。
【方法点拨】
总量不变问题：（给来给去和不变）
第一步：统一不变的和量；
第二步：统一一份量；
第二步：得出一份量。
【典型例题1】
六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有40人参加，这时参加的同学与未参加的人数比是，六年级一共有多少人？
解析：
40÷（－）
＝40÷（－）
＝40÷（－）
＝40÷
＝40×
＝420（人）
答：六年级一共有420人。
【典型例题2】
小红和小明一共有105元钱。小红给小明18元后，小红与小明钱数的比正好是2∶3。小红、小明原来各有多少元钱？
解析：
105÷（2＋3）
＝105÷5
＝21（元）
小红现有钱：21×2＝42（元）
小明现有钱：21×3＝63（元）
小红原来有钱数：42＋18＝60（元）
小明原来有钱数：63－18＝45（元）
答：小红原来有60元，小明原来有45元。
【对应练习1】
六年级一班和二班原有图书本数的比是5∶3，一班给二班63本后，一班图书本数就是二班的，原来二班有图书多少本？
解析：
3＋5＝8（份）
2＋3＝5（份）
63÷（－）
＝63÷
＝63×
＝280（本）
280×＝105（本）
答：原来二班有图书105本。
【对应练习2】
修一条小路，已修的和未修的米数比是1∶4，如果再修115米，已修的和未修的米数比是7∶5，这条小路全长多少米？
解析：
115÷
＝115÷
＝115÷
＝300（米）
答：这条小路全长300米。
【对应练习3】
甲筐有苹果80千克，乙筐有苹果60千克，从乙筐取出多少千克给甲筐后，可以使甲、乙两筐苹果的质量比是5∶2？
解析：
（千克）
（千克）
（千克）
答：乙筐取出20千克给甲筐。
【对应练习4】
一个车间有两个小组，第一小组与第二小组人数的比是5∶3，如果第一小组中的14人到第二小组，则第一小组与第二小组人数的比是1∶2，原来两个小组各有多少人？
解析：
14÷（－）
＝14÷（﹣）
＝14÷
＝48（人）
48×＝18（人）
48﹣18＝30（人）
答：原来第一小组有30人，第二小组有18人。
【考点十四】比的复杂应用题。
【方法点拨】
根据不同题目进行分析。
【典型例题】
从甲地到乙地的路程分为上坡，平路，下坡三段，各段路程之比是1∶2∶3，某人走这三段路所用的时间之比是4∶5∶6。已知他上坡时的速度为2.5千米/小时，路程全长为30千米，此人从甲地走到乙地需要多长时间？
解析：
30÷（1＋2＋3）÷2.5
＝30÷6÷2.5
＝2（小时）
2÷4×（4＋5＋6）
＝0.5×15
＝7.5（小时）
答：此人从甲地走到乙地需要7.5小时。
【对应练习1】
一条路全长48千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路的长度比是1︰2︰3，某人走各段路所用的时间之比是3︰4︰5。已知他走下坡的速度是每小时6千米，他走完全程用多少时间？
解析：
48×=24（千米）
24÷6=4（小时）
4÷=（小时）
【对应练习2】
甲、乙、丙三人合作加工一批零件，甲加工一个零件需要6分钟，乙加工一个零件需要5分钟，丙加工一个零件需要4.5分钟，三人完成加工任务后共得工钱1590元。按照加工零件的数量分工钱，甲、乙丙三人各分得工钱多少元？
解析：
甲乙丙的工作效率比为：15:18:20
甲：1590×=450（元）
乙：1590×=540（元）
丙：1590×=600（元）
答：略。