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江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末调研数学试题（含答案详解）
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这是一份江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末调研数学试题（含答案详解），共18页。试卷主要包含了本卷共6页，包含单项选择题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第12题）､填空题（第13题~第16题）､解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的终边在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用角终边相同公式得到 SKIPIF 1 < 0 的终边与 SKIPIF 1 < 0 的终边相同，从而得到 SKIPIF 1 < 0 的终边所在象限．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的终边在第三象限．
故选：C．
2. 命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定为（ ）
A. “ SKIPIF 1 < 0 ”B. “ SKIPIF 1 < 0 ”
C. “ SKIPIF 1 < 0 ”D. “ SKIPIF 1 < 0 ”
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.
【详解】由全称命题的否定可知: SKIPIF 1 < 0 的否定为 SKIPIF 1 < 0
故选：D
3. 已知一个面积为 SKIPIF 1 < 0 的扇形所对的弧长为 SKIPIF 1 < 0 ，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 2D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.
【详解】设扇形的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.
【详解】若“ SKIPIF 1 < 0 ”，则“ SKIPIF 1 < 0 ”必成立；
但是“ SKIPIF 1 < 0 ”，未必有“ SKIPIF 1 < 0 ”，例如 SKIPIF 1 < 0 .
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的充分不必要条件.
故选：A.
5. 下列四个函数中，以 SKIPIF 1 < 0 为最小正周期，且在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，不符合题意.
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，不符合题意.
对于 SKIPIF 1 < 0 ，画出图象如下图所示，由图可知 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
且在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，B选项正确.
故选：B
6. 已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为A，集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为A，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以若 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
③当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以若 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
7. 三个数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的大小关系为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可.
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0
故选：A
8. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】画出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象，结合图象以及函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，
即 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的实数根，
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点.
画出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 .
对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，结合图象可知， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则下列对应关系中是从集合A到集合B的一个函数的有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的定义一一判断求解.
【详解】对于A，任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有唯一的 SKIPIF 1 < 0 与之对应，所以A正确；
对于B，存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误；
对于C，任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有唯一的 SKIPIF 1 < 0 与之对应，所以C正确；
对于D，任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有唯一的 SKIPIF 1 < 0 与之对应，所以D正确；
故选:ACD
10. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正切函数的性质周期,定义域,函数值和单调性等选项逐个判断即可.
【详解】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 选项正确;
SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 选项错误;
当 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增, 故 SKIPIF 1 < 0 选项正确;
因为 SKIPIF 1 < 0 的周期 SKIPIF 1 < 0 ,
所以若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 选项错误;
故选: SKIPIF 1 < 0 .
11. 若a，b均为正数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的最大值为2B. SKIPIF 1 < 0 的最小值为4
C. SKIPIF 1 < 0 的最小值是6D. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，A选项正确.
B选项， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，但由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，不满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以等号不成立，所以B选项错误.
C选项， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以C选项错误.
D选项， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，D选项正确.
故选：AD
12. 已知指数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）与对数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的解分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意可得，直线 SKIPIF 1 < 0 与两函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交点横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，结合图像即可判断各选项.
【详解】由方程 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与两函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互为反函数，则它们的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
如图所示，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 它们的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，故D错误.
故选：ABC.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 求值： SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为：1
14. 已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 满足：①是偶函数；②在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，请写出一个这样的函数 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 (答案不唯一)
【解析】
【分析】根据幂函数的性质即得.
【详解】因为幂函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，且在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 满足题意.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 ,再求 SKIPIF 1 < 0 ,进而运算求得结果.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 我们知道，设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为I，如果对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称图形．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称图形，则实数c的值为__________；若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数t的取值范围是__________．
【答案】 ①. 2 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 即可求出c的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式.
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称图形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
且 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数t的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 设集合 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）解不等式求得集合 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，分别求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角函数的定义求得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据齐次式的知识求得正确答案.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
若角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
若 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
19. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A． SKIPIF 1 < 0 ；B． SKIPIF 1 < 0 ；C． SKIPIF 1 < 0 ．
（1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
【答案】（1）模型C,理由见解析
（2）①210万元; ②不会.
【解析】
【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型；
（2）①令 SKIPIF 1 < 0 解对数不等式求解，②即 SKIPIF 1 < 0 ，结合函数图象的增长速度解释.
【小问1详解】
模型A． SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以匀速增长，
模型B． SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，先慢后快增长，
模型C． SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，先快后慢增长，
所以模型C最符合题意.
【小问2详解】
因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
①如果总奖金不少于9万元，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以至少应完成销售利润210万元.
②设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有交点 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 增长速度比 SKIPIF 1 < 0 慢，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒在 SKIPIF 1 < 0 的下方，
所以 SKIPIF 1 < 0 无解，
所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.
20. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值和最小值；
（2）记关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的解从小到大依次为 SKIPIF 1 < 0 ，试确定正整数n的值，并求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1）最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数的解析式 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可求出函数的最大值和最小值；
（2）由方程 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用余弦函数的性质，可求得n的值和 SKIPIF 1 < 0 的值.
【小问1详解】
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦函数性质可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有4个解，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
累加可得， SKIPIF 1 < 0 .
21. 已知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数．
（1）判断函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，并证明你的判断；
（2）若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有8个不同的解，求实数m的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；证明见解析.
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据奇函数的性质 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，用单调性的定义即可证明函数的单调性.
(2)将已知方程因式分解得， SKIPIF 1 < 0 ，作出 SKIPIF 1 < 0 的图像，数形结合即可得到 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
因为函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
证明如下：
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 有4个解，
要使关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有8个不同的解，则 SKIPIF 1 < 0 有4个不同的解，如图所示，
根据第一问函数单调性可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数和偶函数，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，求正实数a的值；
（3）证明：对任意实数k，曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 总存在公共点．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式.
（2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
（3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数和偶函数
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ①，
所以 SKIPIF 1 < 0 ②，
有①②可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
【小问3详解】
由（1）知，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 总存在公共点，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 有实数根，令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，易知 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的零点，
当 SKIPIF 1 < 0 时，易知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由零点存在性定理可知:
SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由零点存在性定理可知: SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立.
故对任意实数 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有零点.
即对任意实数 SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 总存在公共点.
注意事项：
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第12题）､填空题（第13题~第16题）､解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知角 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的终边在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用角终边相同公式得到 SKIPIF 1 < 0 的终边与 SKIPIF 1 < 0 的终边相同，从而得到 SKIPIF 1 < 0 的终边所在象限．
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的终边在第三象限．
故选：C．
2. 命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定为（ ）
A. “ SKIPIF 1 < 0 ”B. “ SKIPIF 1 < 0 ”
C. “ SKIPIF 1 < 0 ”D. “ SKIPIF 1 < 0 ”
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.
【详解】由全称命题的否定可知: SKIPIF 1 < 0 的否定为 SKIPIF 1 < 0
故选：D
3. 已知一个面积为 SKIPIF 1 < 0 的扇形所对的弧长为 SKIPIF 1 < 0 ，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 2D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.
【详解】设扇形的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
4. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.
【详解】若“ SKIPIF 1 < 0 ”，则“ SKIPIF 1 < 0 ”必成立；
但是“ SKIPIF 1 < 0 ”，未必有“ SKIPIF 1 < 0 ”，例如 SKIPIF 1 < 0 .
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的充分不必要条件.
故选：A.
5. 下列四个函数中，以 SKIPIF 1 < 0 为最小正周期，且在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意.
SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，不符合题意.
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，不符合题意.
对于 SKIPIF 1 < 0 ，画出图象如下图所示，由图可知 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
且在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，B选项正确.
故选：B
6. 已知 SKIPIF 1 < 0 的定义域为A，集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为A，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以若 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
③当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以若 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
7. 三个数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的大小关系为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可.
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0
故选：A
8. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】画出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象，结合图象以及函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，
即 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的实数根，
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点.
画出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 .
对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，结合图象可知， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，则下列对应关系中是从集合A到集合B的一个函数的有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的定义一一判断求解.
【详解】对于A，任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有唯一的 SKIPIF 1 < 0 与之对应，所以A正确；
对于B，存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误；
对于C，任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有唯一的 SKIPIF 1 < 0 与之对应，所以C正确；
对于D，任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有唯一的 SKIPIF 1 < 0 与之对应，所以D正确；
故选:ACD
10. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正切函数的性质周期,定义域,函数值和单调性等选项逐个判断即可.
【详解】已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,
即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 选项正确;
SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 选项错误;
当 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增, 故 SKIPIF 1 < 0 选项正确;
因为 SKIPIF 1 < 0 的周期 SKIPIF 1 < 0 ,
所以若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 选项错误;
故选: SKIPIF 1 < 0 .
11. 若a，b均为正数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的最大值为2B. SKIPIF 1 < 0 的最小值为4
C. SKIPIF 1 < 0 的最小值是6D. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，A选项正确.
B选项， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，但由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，不满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以等号不成立，所以B选项错误.
C选项， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以C选项错误.
D选项， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，D选项正确.
故选：AD
12. 已知指数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）与对数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的解分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意可得，直线 SKIPIF 1 < 0 与两函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交点横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，结合图像即可判断各选项.
【详解】由方程 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与两函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的交点横坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互为反函数，则它们的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，
如图所示，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于点 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 它们的图像关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，故D错误.
故选：ABC.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 求值： SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为：1
14. 已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 满足：①是偶函数；②在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，请写出一个这样的函数 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 (答案不唯一)
【解析】
【分析】根据幂函数的性质即得.
【详解】因为幂函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，且在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 满足题意.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 ,再求 SKIPIF 1 < 0 ,进而运算求得结果.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 我们知道，设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为I，如果对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，那么函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称图形．若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称图形，则实数c的值为__________；若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数t的取值范围是__________．
【答案】 ①. 2 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 即可求出c的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式.
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称图形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 成中心对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
且 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数t的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 设集合 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）解不等式求得集合 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，分别求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角函数的定义求得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据齐次式的知识求得正确答案.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
若角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
若 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
19. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A． SKIPIF 1 < 0 ；B． SKIPIF 1 < 0 ；C． SKIPIF 1 < 0 ．
（1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
【答案】（1）模型C,理由见解析
（2）①210万元; ②不会.
【解析】
【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型；
（2）①令 SKIPIF 1 < 0 解对数不等式求解，②即 SKIPIF 1 < 0 ，结合函数图象的增长速度解释.
【小问1详解】
模型A． SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以匀速增长，
模型B． SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，先慢后快增长，
模型C． SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，先快后慢增长，
所以模型C最符合题意.
【小问2详解】
因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
①如果总奖金不少于9万元，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以至少应完成销售利润210万元.
②设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有交点 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 增长速度比 SKIPIF 1 < 0 慢，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒在 SKIPIF 1 < 0 的下方，
所以 SKIPIF 1 < 0 无解，
所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.
20. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值和最小值；
（2）记关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的解从小到大依次为 SKIPIF 1 < 0 ，试确定正整数n的值，并求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1）最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出函数的解析式 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可求出函数的最大值和最小值；
（2）由方程 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用余弦函数的性质，可求得n的值和 SKIPIF 1 < 0 的值.
【小问1详解】
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦函数性质可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有4个解，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
累加可得， SKIPIF 1 < 0 .
21. 已知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数．
（1）判断函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，并证明你的判断；
（2）若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有8个不同的解，求实数m的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；证明见解析.
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据奇函数的性质 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，用单调性的定义即可证明函数的单调性.
(2)将已知方程因式分解得， SKIPIF 1 < 0 ，作出 SKIPIF 1 < 0 的图像，数形结合即可得到 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
因为函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
证明如下：
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 有4个解，
要使关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有8个不同的解，则 SKIPIF 1 < 0 有4个不同的解，如图所示，
根据第一问函数单调性可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，综上， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数和偶函数，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，求正实数a的值；
（3）证明：对任意实数k，曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 总存在公共点．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式.
（2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
（3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数和偶函数
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ①，
所以 SKIPIF 1 < 0 ②，
有①②可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
【小问3详解】
由（1）知，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 总存在公共点，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 有实数根，令 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，易知 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的零点，
当 SKIPIF 1 < 0 时，易知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由零点存在性定理可知:
SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由零点存在性定理可知: SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立.
故对任意实数 SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有零点.
即对任意实数 SKIPIF 1 < 0 曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 总存在公共点.
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