专题06 等腰三角形作辅助线的五种方法-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

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三线合一法
1．（2022•东城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过A作EF∥BC，且AE＝AF．
求证：
（1）DE＝DF；
（2）BG＝CH．
证明：（1）连接AD，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠DAF＝∠ADB＝90°，
∴AD⊥EF，
∵AE＝AF，
∴AD垂直平分EF，
∴DE＝DF；
（2）∵DE＝DF，DA⊥EF，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵∠ADB＝∠ADC，
∴∠EDB＝∠FDC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDG和△CDH中，
∠B=∠CBD=CD∠BDG=∠CDH，
∴△BDG≌△CDH（ASA），
∴BG＝CH．
2．（2022•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点．且BE＝AF．
（1）求证：ED＝DF．
（2）ED＝2，求EF．
（1）证明：如图，连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC中点，
∴AD=12BC＝BD＝CD，且AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
在△BDE和△ADF中，
BD=AD∠B=∠DAF=45°BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵△BDE≌△ADF，
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
∴EF=2DE＝22．
3．（2022•朝阳区期末）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．
证明：作EF⊥AC于F，
∵EA＝EC，
∴AF＝FC=12AC，
∵AC＝2AB，
∴AF＝AB，
∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAE和△FAE中AB=AF∠BAD=∠CADAE=AE，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴∠ABE＝∠AFE＝90°．
∴EB⊥AB．
作腰的平行线
4．（2022•东城区期末）已知，△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点D，在AC延长线上取一点E，连接DE交BC于点F．若F是DE中点，求证：BD＝CE．
证明：过点D作DP∥AC交BC于P，
∴∠DPB＝∠ACB，∠DPF＝∠ECF．
∵F是DE中点，
∴DF＝EF．
在△DPF和△ECF中
∠DPF=∠ECF∠DFP=∠EFCDF=EF，
∴△DPF≌△ECF（AAS），
∴DP＝EC．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DPB＝∠ABC，
∴BD＝DP，
∴BD＝EC．
5．（2022•大兴区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D．
（1）求∠AEB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC＝36°，
∴∠AEB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠DAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠AED＝∠CEB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠AED，
∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
6．（2022•通州区期末）如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴BP＝CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB＝∠ACB＝60°，∠DPF＝∠CQD，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PFB，
∴BP＝PF，
∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，
∴△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形
∴DF＝CD=12CF，BF＝PB
∵P是AB的中点，即PB=12AB＝3，
∴BF＝3
∴CD=12CF=32；
（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段
如图，如果点P在线段AB上，
过点P作PF∥AC交BC于F，
由（1）证得△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形
∴FD=12FC，EF=12BF
∴ED＝FD+EF=12FC+12BF=12 BC＝3
∴ED为定值
同理，如图，若P在BA的延长线上，
作PM∥AC的延长线于M，
∴∠PMC＝∠ACB，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠PMC＝60°，
∴PM＝PB，且PE⊥BC
∴BE＝EM=12BM，△PBM是等边三角形
∴PM＝PB＝CQ
∵PM∥AC
∴∠PMB＝∠QCM，∠MPD＝∠CQD且PM＝CQ
∴△PMD≌△QCD（ASA），
∴CD＝DM=12CM，
∴DE＝EM﹣DM=12BM−12CM=12（BM﹣CM）=12BC＝3
综上所述，线段ED的长度保持不变．
截长补短法
7．（2022•昌平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，求∠C．
解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，如图所示，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
在△ABD和△AED中，
AD=AD∠ADB=∠ADEDB=DE，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
又AB+BD＝CD，DE＝BD，
∴AB+DE＝CD，而CD＝DE+EC，
∴AB＝EC，
∴AE＝EC，
故设∠EAC＝∠C＝x，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2x，
∴∠B＝2x，∠BAE＝180°﹣2x﹣2x＝180°﹣4x，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAE+∠EAC＝120°，即180°﹣4x+x＝120°，
解得：x＝20°，
则∠C＝20°．
8．（2022•密云区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°
求证：BD+DC＝AB．
证明：延长BD到F，使BF＝BA，连接AF，CF，
∵∠ABD＝60度，
∴△ABF为等边三角形，
∴AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，
∴∠ACF＝∠AFC，
又∵∠ACD＝60°，
∴∠AFB＝∠ACD＝60°
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DC＝DF．
∴BD+DC＝BD+DF＝BF＝AB，
即BD+DC＝AB．
9．（2022•顺义区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠ABC交AC于点E．
（1）求证：BC＝BE+AE；
（2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？说明理由．
解：（1）如图1，延长BE到F，使BF＝BC，连接FC，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝20°，
∵BF＝BC，
∴∠F＝∠BCF＝80°，
∴∠FCE＝∠ACB＝40°，
在BC上取CF′＝CF，连接EF′，
在△FCE与△F′CE中CF=CF′∠F′CE=∠FCECE=CE，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF＝EF′，∠EF′C＝∠F＝80°，
∴∠BF′E＝100°，
∴∠A＝∠BF′E，
在△ABE与△BF′E中，∠A=∠BF′E∠ABE=∠F′BEBE=BE，
∴△ABE≌△F′BE，
∴AE＝EF′，
∴AE＝EF，
∴BC＝BE+EF＝BE+AE；
（2）结论：BC＝AB+CE＝AC+CE，
如图2，在BC上取BA′＝BA，连接EA′，
∵∠A＝108°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBA＝18°，
在△ABE与△A′BE中，AB=A′B∠ABE=∠A′BEBE=BE，
∴△ABE≌△A′BE，
∴∠BA′E＝∠A＝108°，
∴∠EA′C＝72°，
∴∠A′EC＝72°，
∴∠A′EC＝∠CA′E，
∴CE＝CA′，
∴BC＝BA′+EC＝AB+EC＝AC+EC．
倍长中线法
10．（2022•房山区期末）如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．
证明：过B作BF∥AC交CE的延长线于F，
∵CE是中线，BF∥AC，
∴AE＝BE，∠A＝∠ABF，∠ACE＝∠F，
在△ACE和△BFE中，
∠A=∠ABF∠ACE=∠FAE=BE，
∴△ACE≌△BFE（AAS），
∴CE＝EF，AC＝BF，
∴CF＝2CE，
又∵∠ACB＝∠ABC，CB是△ADC的中线，
∴AC＝AB＝BD＝BF，
∵∠DBC＝∠A+∠ACB＝∠ABF+∠ABC，
∴∠DBC＝∠FBC，
在△DBC和△FBC中，
DB=FB∠DBC=∠FBCBC=BC，
∴△DBC≌△FBC（SAS），
∴DC＝CF＝2CE．
11．（2022•丰台区期末）如图．△ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD、CE交于点F，且AE＝EF，求证：AB＝CF（2种方法）．
证明：过B点作BH∥CF，交AD的延长线于H，如图2：
∵BH∥CF，
∴∠H＝∠DFC，
∵在△BDH与△CFD中，
∠H=∠DFC∠BDH=∠CDFBD=DC，
∴△BDH≌△CFD（AAS），
∴CF＝BH，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠H，
∴AB＝BH，
∴AB＝CF．
12．（2022•顺义区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，作∠EAB＝∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连接CF．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若∠ACF＝100°，求∠BAD的度数．
（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD．
又∵∠EAB＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠EAB．
在△ACF和△ABE中，
AC=AB∠CAF=∠BAEAF=AE，
∴△ACF≌△ABE（SAS）．
∴BE＝CF．
（2）解：∵△ACF≌△ABE．
∴∠ABE＝∠ACF＝100°，
∴∠ABC＝80°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝20°，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝10°．
作底的平行线
13．（2022•房山区期末）如图，等边△ABC中，D在边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G，求证：BG＝EG．
证明：过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD＝DF＝AF，
∴CD＝BF．
又∵AD＝CE，
∴FD＝CE．
又∵∠DFB＝∠DCE＝60°，
在△BFD和△DCE中，
BF=CD∠DFB=∠ECDFD=CE
∴△BFD≌△DCE（SAS），
∴DB＝DE．
又∵DG⊥BC，
∴BG＝EG．
14．（2022•石景山区期末）如图，等边△ABC的边长是3，点E在射线AB上，点D在射线CB上，且ED＝EC．
（1）当点E在线段AB上，点D在线段CB延长线上时，求证：AE＝DB；
（2）当BE=13AB时，求CD的长．
（1）证明：过E作EF∥BC交AC于F，如图所示：
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠DBE＝120°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，
∴∠A＝∠AEF＝∠AFE＝60°，
∴△AEF是等边三角形，∠EFC＝120°，
∴EF＝AE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECD，
∴∠D＝∠FEC，
在△EFC和△DBE中，
∠EFC=∠DBE=120°∠FEC=∠DEC=DE，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF＝DB，
∴AE＝DB；
（2）解：过E作EF∥BC交AC于F，如图所示：
∵等边△ABC的边长是3，
∴AB＝BC＝3，
∵BE=13AB＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝2，
由（1）知，△EFC≌△DBE，
∴DB＝AE＝2，
∵CD＝DB+BC＝2+3＝5．
15．（2022•顺义区期末）已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，延长BC至点E使CE＝AD，连接DE交AC于点F．
（1）求证：FE＝FD．
（2）若∠BDE＝90°，CF与CE相等吗？并说明理由．
（1）证明：如图1，作DG∥BC交AC于点G，则∠ECF＝∠DGF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ADG＝∠B＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ADG是等边三角形，
∴GD＝AD，
∵CE＝AD，
∴CE＝GD，
在△CEF和△GDF中，
∠EFC=∠DFG∠ECF=∠DGFCE=GD，
∴△CEF≌△GDF（AAS），
∴FE＝FD.
（2）CF与CE相等，理由如下：
如图2，∵∠BDE＝90°，∠B＝60°，
∴∠E＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACB＝∠CFE+∠E，且∠ACB＝60°，
∴∠CFE+∠E＝60°，
∴∠CFE＝60°﹣∠E＝60°﹣30°＝30°，
∴∠E＝∠CFE，
∴CF＝CE．