2022-2023学年浙江省杭州市萧山区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市萧山区九年级上学期数学期中试题及答案，共19页。试卷主要包含了认真填一填，全面答一答解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1. 在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是（ ）
A. 必然事件B. 不确定事件C. 不可能事件D. 无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，进行判断即可．
【详解】解：在一个装有黑色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是不可能的，
因而这是一个不可能事件．
故选C．
【点睛】本题主要了事件，解题的关键在于能够熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的定义．
2. 二次函数图象与y轴的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据y轴上点的坐标特征，计算自变量为0时的函数值即可得到交点坐标．
【详解】解：根据题意，
令，则，
∴二次函数图象与y轴的交点坐标是；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3. 在不透明口袋中装有个红色小球和个黑色小球（只有颜色不同），则从中摸出一个球为红色小球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】红球的个数除以球的总数即为所求的概率．
【详解】解：袋子中球的总数为，红球有个，则摸出红球的概率为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比．
4. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可．
【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式为，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键．
5. 如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（ ）（精确到0.1）
A. 0.55B. 0.4C. 0.6D. 0.5
【答案】D
【解析】
【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
【详解】解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是
，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的关系是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将横坐标代入二次函数解析式分别求解对应纵坐标即可．
【详解】∵点为二次函数的图象上一点
∴
∵点为二次函数的图象上一点
∴
∵点为二次函数的图象上一点
∴
∵
∴
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解此题可以代值求解具体比较，也可以应用二次函数的增减性比较．
7. 用一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边三角形，也可以折成面积为50cm2的长方形．设所折成的长方形的一边长为xcm，可列方程为（ ）
A. x（10﹣x）=50B. x（30﹣x）=50C. x（15﹣x）=50D. x（30﹣2x）=50
【答案】C
【解析】
【分析】先根据可以折成边长为10cm的等边三角形可知这根细铁丝长为30cm，然后根据折成的长方形的一边长为xcm，则可知长方形的另一边长为（15-x）cm，根据长方形的面积公式即可列出方程．
【详解】解：由题意可知细铁丝长为3×10=30cm，
设折成长方形的一边长为xcm，则另一边长为（15﹣x）cm，
根据题意得：x（15﹣x）=50，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．
8. 如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A. （1，1）B. （4，4）C. （2，1）D. （1，1）或（4，4）
【答案】A
【解析】
【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，
点E即为旋转中心，E（1，1），
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
9. 设一元二次方程两实数根分别为且，则满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依照题意，画出图形，利用数形结合，即可得出满足的条件．
【详解】解：一元二次方程解为，，
二次函数与轴的交点坐标为，，
依照题意，画出函数图象，如图所示：
观察图形：可知：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，二次函数图像和性质，依照题意，画出二次韩素华图像是解题的关键．
10. 已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m为常数），则对如下两个结论的判断正确的是（ ）
①不论a为何值，函数图象的顶点始终在一条直线上；
②当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a≥2．
A 两个都对B. 两个都错C. ①对②错D. ①错②对
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对2个结论作出判断即可．
【详解】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m为常数），
∴顶点为（a，a﹣1），
∴不论a为何值，函数图象的顶点始终在直线y＝x﹣1上；
②∵二次函数y＝﹣（x﹣a）2+a﹣1（m常数），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝a，
∵当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，
∴a≥2；
综上，①②都对，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，需要利用数形结合思想解决本题．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 在同一平面内，已知圆的半径为，一点到圆心的距离是，则这点在___________（填写“圆内”或“圆上”或“圆外”）．
【答案】圆外
【解析】
【分析】根据即可得到点在圆外．
【详解】解：∵，
∴点在圆外．
故答案为：圆外
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内，能熟记点和圆的位置关系的内容是解题的关键．
12. 学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：列表如下三辆车分别用1，2，3表示：
所有等可能情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
则，
故答案为：．
【点睛】此题考查了利用列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
13. 如图，是的直径，弦 垂足为若，则的半径为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，设，则，根据垂径定理，由是的直径，垂足为，得，再根据勾股定理，在中，，得，从而求得，进而解决此题．
【详解】解：如图，连接．

∵ ，
∴．
设，则．
是的直径，弦 垂足为，
∴,
在中，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴的半径为
故答案为：
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解决本题的关键．
14. 抛物线y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的对称轴是直线__
【答案】x=1．
【解析】
【详解】试题解析：y=a（x+1）（x-3）
=ax2-2ax-3a
由公式x=-得，
抛物线的对称轴为x=1．
考点：二次函数的性质．
15. 在平面直角坐标系中，以点A(﹣2，3)为圆心、r为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，那么r的值为_____．
【答案】3或
【解析】
【分析】利用点A的坐标得到点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，根据直线与圆的位置关系，当⊙A与x轴相切时，满足条件，易得此时r＝3；当⊙A经过原点时，满足条件，利用勾股定理计算出此时r的值．
【详解】解：∵点A坐标为（﹣2，3），
∴点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
当⊙A与x轴相切时，与y轴有2个交点，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r＝3；
当⊙A经过原点时，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r＝，
综上所述，r的值为3或．
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
16. 已知二次函数若，是该二次函数图象上两点，且，则实数n的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】将，代入二次函数解析式，解不等式即可．
【详解】解：∵，是二次函数图象上的两点，且，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标，将，代入二次函数解析式是解题的关键．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为(0，2)，(-1，0)，将绕点O顺时针旋转得到．
（1）画出；
（2）直接写出点和点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）(2，0)，(0，1)
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质找到顶点A和B绕点O顺时针旋转后的对应点，，再顺次连接，O，三点即可；
（2）由图即可直接得出点和点的坐标．
【小问1详解】
如图，即为所作；
【小问2详解】
由图可知(2，0)，(0，1)．
【点睛】本题考查作图—旋转变换，坐标与图形的变化—旋转变换．掌握旋转的性质，利用数形结合的思想是解题关键．
18. 在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围．
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n=1，求点P的坐标．
【答案】(1) ﹣≤y≤12;(2) P的坐标为（1，0）.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，然后利用一次函数增减性得出即可．
（2）根据题意得出n=1-m，联立方程，解方程即可求得．
【详解】解：将（1，0），（0，2）代入y=x2+bx+c得：
，
解得：，
∴这个函数的解析式为：y=x2-3x+2=（x-）2-；
把x=-2代入y=x2-3x+2得，y=12，
∴y的取值范围是-≤y≤12．
（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n=m2-3m+2，
∵m+n=1，
∴m2-2m+1=0，
解得m=1，n=0，
∴点P的坐标为（1，0）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，求得解析式上解题的关键．
19. 如图，是的直径，点是上的点，且，分别与，相交于点．
（1）求证：点为的中点；
（2）若，，求⊙O的直径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点；
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
，
，
，
即点为的中点；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
的直径为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握和运用圆周角定理及垂径定理是解决本题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，与轴交于点、（点在点左侧）．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）求，两点的坐标，并根据图像直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】（1），顶点坐标为
（2）；，
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入二次函数，求出，则可求出抛物线的解析式，由解析式可求出顶点坐标；
（2）令，求出或，则可求出，两点的坐标，由图像可求出自变量的取值范围．
【小问1详解】
解：将代入得，
，
二次函数的解析式为，
，
顶点坐标为；
【小问2详解】
解：令得，
解得，，
，，
当时，自变量的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点，解题的关键是确定函数图像与轴的交点．
21. 为满足即将到来的春节市场需求，某超市购进一种品牌的食品，每盒进价为30元，根据往年的销售经验发现：当售价定为每盒50元时，每天可卖出100盒，每降价1元，每天可多卖出10盒，超市规定售价不低于40元/盒，不高于50元/盒.
(1)求每天的销售利润W(元)与每盒降价x(元)之间的函数关系式(注明自变量的取值范围)；
(2)当每盒售价为多少元时，每天的销售利润最大？
(3)若要使每天的销售利润不低于2090元，那么每盒的售价应定在什么范围？
【答案】(1)；(2)当每盒售价为45元时，每天的销售利润最大；(3)每盒的售价不高于49元，不低于41元.
【解析】
【分析】（1）根据总利润=每件商品的利润×商品数量即可求出每天的销售利润W（元）与每盒降价x（元）之间的函数关系式；
（2）配方成顶点式，利用二次函数的性质即可解答本题；
（3）根据题意，令利润等于2090，然后解方程求出x的值，根据函数的性质，即可得出结论．
【详解】（1）依题意得：
（2）
∵，
∴当时，，
∴当每盒售价为45元时，每天的销售利润最大．
（3）依题意得：
解得：x1 = 1，x2 = 9．
根据函数图象的性质可知，当时，．
∴每盒的售价不不低于41元，高于49元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22. 已知关于的二次函数．
（1）当，时，求该函数图象的对称轴及顶点坐标；
（2）在（1）的条件下，为该函数图象上的一点，若关于原点的对称点也落在该函数图象上，求的值；
（3）当该函数图象经过点时，若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小．
【答案】（1），对称轴为直线
（2）
（3）当时，；当时，
【解析】
【分析】（1）将的值代入函数解析式即可；
（2）根据（1）中的结论，即可求得的值；
（3）根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可求得与的大小．
【小问1详解】
解：当，时，
，
该函数图象的顶点坐标是，对称轴为直线；
【小问2详解】
解：点关于原点对称的点的坐标是，
则，
解得：；
【小问3详解】
解：函数的图象经过点，
，
，
，
函数的对称轴为直线，
当时，，
，，是该函数图象上的两点，
，
当时，，
，，该函数图象上的两点，
，
综上所述：当时，；当时，．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、关于原点对称的点的坐标，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
23. 如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P．
（1）判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由；
（2）当OD=时，求CP的长；
（3）设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，的面积为S2，求S1－S2的最值．
【答案】（1）OA=OP，见解析；（2）CP=2；（3）有最大值，为4，无最小值
【解析】
【分析】（1）证明四边形MBNO为正方形，再证明△AOM≌△PON(ASA)，则OA=OP；
（2）证明△ODK是等腰直角三角形，得NC=OK=1，证明△AOD≌△COD(SAS)，利用等腰三角形“三线合一”的性质可得CP=2CN=2；
（3）设OK=，则PC=，ON=CK=，根据S△AOD=S△COD，则S1-S2=S△POC，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）OA=OP．
理由如下：如图，过点O分别作AB，BC的垂线，垂足分别为点M，N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠CBO，AB=BC，
∵OM⊥AB，ON⊥BC，
∴OM=ON，
∴四边形MBNO为正方形，
∴∠MON=90°，
∵∠AOM＋∠MOP=90°，∠MOP＋∠PON=90°，
∴∠AOM=∠PON，
在△AOM和△PON中，
，
∴△AOM≌△PON(ASA)，
∴OA=OP；
（2）如图，过点O作OK⊥CD，垂足为K，过点O作ON⊥BC，垂足为N，连接OC，
∴四边形ONCK为矩形，
∴NC=OK，
由于∠OKD=90°，
∵∠ODK=45°，
∴△ODK是等腰直角三角形，
∵OD=，
∴NC=OK=1，
∵AD=CD，∠ADO=∠CDO=45°，OD=OD，
∴△AOD≌△COD(SAS)，
∴OA=OC，
∴OA=OP=OC，
又∵ON⊥PC，
∴CN=PN，
∴CP=2CN=2；
(3)∵△AOD≌△COD，
∴S△AOD=S△COD，
∴S1-S2=S△OPC，
设OK=，则PC=，ON=CK=，
∴S△OPC=，
∴S1-S2= =-()2，
∴当时，S1-S2的最大值为4，
当和时，S1-S2有最小值是0，
∵点O在对角线DB上运动（不与点B，D重合），
∴，
∴S1-S2没有最小值．
综上，S1-S2有最大值是4，没有最小值．
【点睛】本题考查了正方形的性质、二次函数的图象和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定等等知识的综合运用，熟练掌握正方形的性质是关键．投篮次数
50
100
150
200
250
300
500
投中次数
28
60
78
104
124
153
252

1
2
3
1
2
3