2023-2024学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019选择性必修第二册，浙江专用）期末测试卷02（测试范围：第1-4章数列）（Word版附解析）

这是一份2023-2024学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019选择性必修第二册，浙江专用）期末测试卷02（测试范围：第1-4章数列）（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线在y轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将代入直线方程求y值即可.
【解析】令，则，得.
所以直线在y轴上的截距为.
故选：D
2．已知空间向量，，则（ ）
A．B．19C．17D．
【答案】D
【分析】先求出的坐标，再求出其模
【解析】因为，，
所以，故，
故选：D.
3．已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（ ）
A．54B．71C．81D．80
【答案】C
【分析】利用等差数列的前n项和公式求解.
【解析】∵是等差数列，，
∴，得，
∴.
故选：C.
4．若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（ ）
A．1B．3C．6D．1或3
【答案】B
【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.
【解析】若，则由得（舍去）；
若，则由得．
故选：B.
5．双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，它的一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到，关系，求解即可．
【解析】解：抛物线的焦点：，可得，且双曲线的焦点坐标在轴上，
因为双曲线的渐近线的倾斜角为，
所以，即，
又，所以，，
所求双曲线方程为：．
故选：C．
6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满，则动点P轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．内切D．外切
【答案】A
【分析】首先求得点的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.
【解析】由条件可知，，
化简为：，
动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
圆是以为圆心，为半径的圆，两圆圆心间的距离，
所以两圆相交.
故选：A
7．椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（ ）
A．14B．15C．18D．20
【答案】C
【分析】不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，则为平行四边形，的周长大于等于，计算得到答案.
【解析】如图所示：不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，
则为平行四边形，
的周长为，
当，为椭圆上下顶点时等号成立.
故选：C
8．已知正项数列，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．存在有理数a，对任意正整数m，都有
B．对于任意有理数a，存在正整数m，使得
C．存在无理数a与正整数m，使得
D．对于任意无理数a，存在正整数m，使得
【答案】B
【解析】根据数列的定义，以及有理数和无理数的运算分析判断．
【解析】首先若，则，否则，于是，（舍去），
（1）若是无理数，则是无理数，也是无理数，不论还是，仍然是无理数，这样数列中各项均为无理数，所以不可能有，C、D均错误．
（2）①若是正整数，则或，如果某一项大于1就减去1，得数列的下一项，经过这种操作都可以减小到1，所以存在正整数，使得，从而，
②若不是正整数，设，互质的正整数，），若，则为正整数，回到①的情形；
③若不是正整数，设，互质的正整数，），若，
若，则，若，则，不妨记，则，由得到称为一次操作，经过有限次减1操作后，一定有，在时，这样再继续刚才的操作，，…，由此可得到一列数：，首先分子逐渐减小，然后分母减小，再分子逐渐减小，再分母减小．是确定的正整数，此操作步骤一定是有限的，最后都会变成（是大于1的正整数），那么数列的下一项为，又回到①的情形，所以一定存在正整数，使得，从而．由此A错误，B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查数列的递推公式，考查实数的运算，解题方法是对正实数进行分类，无理数，有理数，有理数又分为整数和分数，分别利用递推公式得出数列的下一项，这称为一次操作，对所有的有理数经过有限次操作后都会得到1，即数列中总会出现1，而以后每一项都是1．这是一种无限与有限的结合．有理数是有无限个，但对每一个有理数又是有限的操作，从而完成证明．
二、多选题
9．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．∥
【答案】AD
【分析】根据向量的坐标模长公式、线性运算、数量积的坐标表示、共线向量定理逐项判断即可.
【解析】对A，因为，所以，故A正确；
对B，，故B不正确；
对C，，所以不垂直，故C不正确；
对D，，所以∥，故D正确.
故选：AD.
10．数列满足，，则（ ）
A．数列是递减数列B．
C．点()都在直线D．数列的前项和的最大值为32
【答案】AC
【分析】根据数列的递推关系式，可判断数列的单调性及，可判断A；又可得数列为等差数列，求得等差数列通项公式，即可判断B,C；由等差数列的前项和公式结合二次函数的性质，即可求得的最大值，可判断D.
【解析】数列满足，，即，所以数列是递减数列，故A正确；
且数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则点()都在直线上，故B不正确，C正确；
数列的前项和，
又因为，所以时，，时，，则的最大值为，故D不正确.
故选：AC.
11．过双曲线C：的左焦点作直线l与双曲线C的右支交于点A，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．点到双曲线C的渐近线的距离为4
C．直线l的斜率k取值范围是
D．若的中点在y轴上，则直线l的斜率
【答案】ACD
【分析】双曲线C的渐近线方程为，A正确，计算点到直线的距离得到B错误，根据渐近线得到斜率k取值范围是，C正确，确定的横坐标为，得到或，计算斜率得到D正确，得到答案.
【解析】对选项A：双曲线C的渐近线方程为，正确；
对选项B：，取渐近线方程为，距离为，错误；
对选项C：渐近线方程为，故斜率k取值范围是，正确；
对选项D：的中点在y轴上，则的横坐标为，，得到，故或，，斜率为，正确.
故选：ACD
12．已知正方体的棱长为2，动点F在正方形内，则（ ）
A．若平面，则点F的位置唯一
B．若平面，则不可能垂直
C．若，则三棱锥的外接球表面积为
D．若点E为BC中点，则三棱锥的体积是三棱锥体积的一半
【答案】AD
【分析】求得点F的坐标判断选项A；求得同时满足两个条件的点F的坐标判断选项B；求得三棱锥的外接球表面积判断选项C；求得三棱锥的体积和三棱锥体积判断选项D.
【解析】如图，以D为原点分别以DA、DC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系：
则，，，，，，，，
由于动点F在正方形内，可设，其中，，
选项A：若平面，则，．
由于，，，
则，解得：或（舍去），
此时，即点F的位置唯一，故选项A正确；
选项B：，，
设平面的一个法向量为．则，
令，得，，故，
而，若平面，则，
则，即，
所以，此时，
而，所以，
当时，，此时，则.故选项B不正确；
选项C：由于，则F为的中点，此时，
设三棱锥的的外接球的球心为，则，
即，解得：，
所以，则三棱锥的的外接球的半径为，
所以三棱锥的的外接球表面积为，
故选项C不正确；
选项D：点E为BC中点，由正方体可知平面，
则
则三棱锥的体积是三棱锥体积的一半. 故选项D正确.
故选：AD
三、填空题
13．抛物线的焦点坐标是 .
【答案】
【分析】根据抛物线的标准方程求出，即可求出焦点坐标.
【解析】由已知条件得，，即，故抛物线的焦点坐标为.
故答案为：.
14．圆的一条弦以点为中点，则该弦的斜率为 ．
【答案】/-0.5
【分析】配方法将圆的一般式方程化为标准方程，确定圆心和半径之后，根据中点弦所在直线与垂直可求该弦的斜率．
【解析】解：将配方得，
圆心为，，
，
弦以点为中点，该弦的斜率为．
故答案为：．
15．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为 ．
【答案】1
【分析】由抛物线的定义可得，再求出的值即可.
【解析】由抛物线可知其焦点为，
由抛物线的定义可知，
故点到点的距离与到轴的距离之和为，
即点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为1.
故答案为：.
16．四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点，且二面角的平面角大小为，则动点的轨迹的长度为 .
【答案】/.
【分析】建立空间直角坐标系，设出，由二面角的大小，列出方程，得到，设直线与轴交点分别为，得到动点的轨迹的长度为的长，由勾股定理求出答案.
【解析】因为平面，平面，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为，
所以PA，AB，AD两两垂直，
所以以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
因为是四边形内部一点，设，
其中，
平面PDA的法向量为，
设平面QPD的法向量为，则
，
令，则，
所以，
，
由于，
所以，故，
因为的平面角大小为，设为，
则，
解得：，
设直线与轴交点分别为，
故动点的轨迹的长度为的长，
令得：，故
令得：，故
由勾股定理得：，
所以动点的轨迹的长度为.
故答案为：.
四、解答题
17．设数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系求解即可；
（2）首先利用裂项求和得到，从而得到，再解不等式即可.
【解析】（1）令，则，
当时，，
当时，也符合上式，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
则，
所以
故可化为：，故，
故不等式的解集为.
18．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，写出相关点坐标及相关向量，得到，即可证明；
（2）计算平面的一个法向量，而为平面的法向量，利用面面夹角余弦值的公式求出角的余弦值，则得到面面角的正弦值.
【解析】（1）证明：取中点,连接，
为正三角形,,
正三棱柱平面平面且相交于,
又平面，平面，取中点,
则，，，
平面，，
故以为原点, 建立如图所示空间直角坐标系,
则，根据上下底面为正三角形，
易得，
，
,
,
，且平面，直线平面.
（2）设平面的一个法向量为，
，，则，
令，得，
由（1）得为平面的法向量，
设二面角的平面角为,
,
，
二面角正伭值的大小为.
19．已知抛物线C：经过点（1，-1）.
(1)求抛物线C的方程及其焦点坐标；
(2)过抛物线C上一动点P作圆M：的一条切线，切点为A，求切线长|PA|的最小值.
【答案】(1)，焦点坐标为；
(2)
【分析】（1）将点代入抛物线方程求解出的值，则抛物线方程和焦点坐标可知；
（2）设出点坐标，根据切线垂直于半径，根据点到点的距离公式表示出，然后结合二次函数的性质求解出的最小值.
【解析】（1）解：因为抛物线过点，所以，解得，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为；
（2）解：设，因为为圆的切线，所以，，
所以，
所以当时，四边形有最小值且最小值为.
20．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
【答案】（1）；（2），.
【分析】（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；
（2）[方法四]由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.
【解析】（1），轴且与椭圆相交于、两点，
则直线的方程为，
联立，解得，则，

抛物线的方程为，联立，
解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）[方法一]：椭圆的第二定义
由椭圆的第二定义知，则有，
所以，即．
又由，得．
从而，解得．
所以．
故椭圆与抛物线的标准方程分别是．
[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式
以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得．
故的标准方程为，的标准方程为．
[方法三]：参数方程
由（1）知，椭圆的方程为，
所以的参数方程为x=2c⋅csθ,y=3c⋅sinθ（为参数），
将它代入抛物线的方程并化简得，
解得或（舍去），
所以，即点M的坐标为．
又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得．
故的标准方程为，的标准方程为．
[方法四]【最优解】：利用韦达定理
由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得.
因此，曲线的标准方程为，
曲线的标准方程为.
【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.
方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.
方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.
方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.
21．已知数列中，，且，为其前项的和．
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式的最小正整数的值；
(3)设，，其中，若对任意，，总有成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)14
(3)
【分析】（1）构造等比数列的形式即可求解；
（2）数列分组求和后代入已知条件即可求解；
（3）恒成立转化为最值即可求解
【解析】（1）因为，所以，所以
而，所以是以3为首项，为公比的等比数列；
所以，则.
（2），
所以，
由得，则，所以的最小值为14.
（3）恒成立，所以，
因为，而，
所以，所以，
由得，所以，则有，
所以，解得，
因为，所以解得.
【点睛】注意构造新数列，分组求和，并将恒成立转化为最值问题.
22．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1，为双曲线上任意一点（），过点的直线与圆相切于两点
(1)求双曲线的标准方程
(2)求点所在的直线方程
(3)双曲线是否存在点，，使得的面积最大，若存在求出点的坐标，及的最大面积，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)，
(3)存在点，使得面积最大，最大面积为.
【分析】（1）求出渐近线，结合离心率及得到方程组，求出，，得到双曲线方程；
（2）由几何性质得到四点共圆，且为直径，从而求出所在圆的方程，与圆联立得到所在的直线方程；
（3）求出点到的距离，由垂径定理得，表达出的面积，由基本不等式求出面积的最大值及此时点坐标.
【解析】（1）由题意得：焦点坐标为，，渐近线方程为，
则焦点到渐近线距离为，
又，故，解得：，
所以双曲线标准方程为；
（2）由题意得：，，
设，，则，，
因为⊥，⊥，
所以四点共圆，且为直径，
故所在圆的圆心坐标为，直径为，
则所在圆的方程为，
整理得：，
圆与相交弦所在直线即为点所在的直线方程，
联立得：，
故点所在的直线方程为，；
（3）因为，，故，
点到的距离为，
由垂径定理得：，
故，
由基本不等式得：，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的面积最大值为，此时，
故点坐标为.
【点睛】过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为：.
过椭圆上一点的切线方程为，
过双曲线上一点的切线方程为