2024江西省部分学校高三上学期12月月考数学试题

这是一份2024江西省部分学校高三上学期12月月考数学试题，共15页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知向量，满足，，则的最大值为，已知函数，的定义域均为，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，，则的实部为（ ）
A.B.5C.1D.
2.抛物线的准线方程为（ ）
A.B.C.D.
3.若奇函数则（ ）
A.B.102C.D.101
4.现有一个圆台形的杯子，杯口的内径为，杯底的内径与杯中盛满溶液时的液面高度均为，当杯中盛满溶液，且该溶液的密度时，杯中溶液的质量为（ ）
A.B.C.D.
5.现有6个不同的生肖吉祥物，分1个给老师，其他5个分给3位学生，每位学生至少分到1个，则这6个生肖吉祥物的分配方法共有（ ）
A.360种B.900种C.720种D.1800种
6.已知向量，满足，，则的最大值为（ ）
A.B.2C.D.4
7.已知函数，的定义域均为，则（ ）
A.当取得最大值时，取得最小值
B.当取得最大值时，
C.与的图象关于点对称
D.与的图象关于直线对称
8.已知函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.江西省2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（ ）
A.江西省2017年到2022年这6年的常住人口在2019年取得最大值
B.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的极差为148.70万
C.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为4527.98万
D.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的第80百分位数为4647.60万
10.在等差数列中，，下列结论正确的是（ ）
A.是定值B.的前9项和为54
C.的最大值为25D.若，则的最小值为
11.已知曲线，斜率为的直线经过点，下列结论正确的是（ ）
A.的周长为
B.若与恰有3个公共点，则的取值范围为
C.若与恰有2个公共点，则的取值范围为
D.若与恰有1个公共点，则的取值范围为
12.如图，在边长为4的正方形中剪掉四个阴影部分的等腰三角形，其中为正方形对角线的交点，，将其余部分折叠围成一个封闭的正四棱锥，若该正四棱锥的内切球半径为，则该正四棱锥的表面积可能为（ ）
A.12B.C.8D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若集合，，，则的最小值为__________.
14.若随机变量，且，则__________.
15.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：__________.
①；②函数在上单调递增.
16.已知双曲线的两个焦点为，，为上一点，，，则的离心率为__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）如图，在梯形中，，，.
（1）若，求的长；
（2）若，求.
18.（12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，.
（1）证明：平面平面.
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）
已知某地居民中青少年、中年人、老年人的人数比例为3：4：3，假设该地居民选择寒假旅游地相互独立，且他们寒假去江西庐山、三清山旅游的概率如下表所示：
（1）若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，求此人寒假去庐山旅游的概率；
（2）若甲，乙分别是该地居民中的一位中年人、老年人，记这两人中寒假去三清山旅游的人数为，求的分布列.
20.（12分）
已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.
（1）设，证明：是等比数列.
（2）求数列的通项公式.
21.（12分）
过点作轴的垂线，垂足为，且该垂线与抛物线交于点，，记动点的轨迹为曲线.
（1）试问为何种圆锥曲线？说明你的理由.
（2）圆是以点为圆心，为半径的圆，过点作圆的两条切线，这两条切线分别与相交于点，（异于点）.当变化时，是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（12分）
已知函数，，且.
（1）讨论的单调性；
（2）若，，求的取值范围；
（3）证明：当，且，时，恒成立.
数学试卷参考答案
1.B 【解析】本题考查复数的运算与复数的实部，考查数学运算的核心素养.
因为，所以，所以的实部为5.
2.C 【解析】本题考查抛物线的准线方程，考查数学运算的核心素养.
因为，所以，所以抛物线的准线方程为.
3.A 【解析】本题考查函数的奇偶性与函数求值，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.
4.C 【解析】本题考查圆台体积的实际应用，考查直观想象与数学运算的核心素养.
当杯中盛满溶液时，溶液的体积，
此时杯中溶液的质量.
5.B 【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识.
分三步，先分1个给老师，共有种分法，再把剩余的5个分成3组，共有种分组方法，
最后将分好组的吉祥物分给3位学生，共有种分法，
故这6个生肖吉祥物的分配方法共有种.
6.D 【解析】本题考查平面向量的数量积与模，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
因为，所以，即，
整理得.又，所以，即，
所以，即.又，
所以当与反向时，取得最大值，且最大值为.
7.D 【解析】本题考查三角恒等变换与三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
，.当取得最大值时，，则，A错误.
当取得最大值时，，则，，B错误.
因为，
所以与的图象关于直线对称，C错误，D正确.
8.B 【解析】本题考查函数的零点与导数的应用，考查直观想象与逻辑推理的核心素养以及化归与转化的数学思想.
令，得或.
设函数，则.当时，，
当时，，所以.当时，.
设函数，则.
当时，，当时，，
所以.当时，.
作出与的大致图象，如图所示.由图可知，
当时，直线与这两个函数的图象各有两个交点，
且这些交点各不相同，此时恰有4个零点.
9.ABD 【解析】本题考查统计的图表、极差、中位数、百分位数，考查数据处理能力.
由图可知，A正确.将江西省2017年到2022年这6年的常住人口（单位：万）按照从小到大的顺序排列为4517.40，4518.86，4527.98，4622.10，4647.60，4666.10，
则极差为万，中位数为万，B正确，C错误.
因为，所以第80百分位数为4647.60万，D正确.
10.ACD 【解析】本题考查等差数列的性质与基本不等式，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
因为，所以，则的前9项和为，A正确，B错误.
因为，，，所以，
当且仅当时，等号成立，C正确.
因为，，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
11.BC 【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.
由，得，
则曲线表示两个关于轴对称的半圆弧（半径为1），
且左半圆的圆心为，右半圆的圆心为，
曲线与轴的交点为，，.故曲线的周长为，A错误.
若直线与左半圆相切，则，解得，由图可知.
若直线与右半圆相切，则，解得，由图可知.
若直线经过点，则.
若直线经过点，则.
若直线经过点，则.
若与恰有1个公共点，则的取值范围为，D错误.
若与恰有2个公共点，则的取值范围为，C正确.
若与恰有3个公共点，则的取值范围为，B正确.
12.BC 【解析】本题考查立体几何中的翻折问题与四棱锥的内切球，考查空间想象能力与运算求解能力.
设翻折前，则翻折后，斜高，
该四棱锥的高，
则.
该四棱锥的表面积.
因为该正四棱锥的内切球半径为，所以，即，
则，解得或（负根舍去），
故或.
13.6 【解析】本题考查集合的交集与一元二次不等式的解法，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
因为，，所以，所以的最小值为6.
14.20 【解析】本题考查二项分布的期望与方差，考查数学运算的核心素养.
因为，所以，解得或，
因为，所以，所以.
15.（答案不唯一，形如均可） 【解析】本题以开放题的形式考查函数的解析式与性质，考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.
因为，，所以可设，则.
因为函数在上单调递增，所以，所以满足这两个条件.
16. 【解析】本题考查双曲线的离心率，考查逻辑推理与直观想象的核心素养.
如图，在线段上取一点，使得.因为，，
所以，所以，所以.
易知与相似，则.
设，，则有，则，解得（负根舍去），
所以的离心率．
17.解：（1）在中，由正弦定理得，
则.
（2）因为，所以.
由余弦定理得，则，
所以.
18.（1）证明：在正方形中，.
因为，所以.
在正方形中，.因为，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知平面，则，则.
因为，，，所以平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量为，，，
则，令，得.
因为，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.解：（1）由表可知该地居民中青少年寒假去庐山旅游的概率为，
该地居民中中年人寒假去庐山旅游的概率为，
该地居民中老年人寒假去庐山旅游的概率为，
所以根据全概率公式可得，此人寒假去庐山旅游的概率为.
（2）由表可知该地居民中中年人、老年人寒假去三清山旅游的概率分别为，，即0.3，0.4.
的可能取值为0，1，2，
，，
，
则的分布列为
【注】第（1）问中，得到所求概率为，
但最后的结果计算错误，扣1分.
20.（1）证明：当时，线段的中点为，，
则.
由得，
所以，即.
因为，所以是以2为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由（1）知，即，
则，，…，，
将以上各式相加得.
因为，所以.
当时，也符合上式，故.
21.解：（1）设，则，，
则，.
因为，所以，所以为椭圆.
（2）由题可知切线的斜率存在，设切线方程为，圆，
则，整理得.
设切线，的斜率分别为，，则，是上述方程的两根，由韦达定理得.
设，，由得.
因为，所以，.
同理可得，.因为，所以，，
所以，
所以直线的方程为，
即，整理得.
令，得，故存在定点满足题意.
22.（1）解：.
由，得，.
当时，，在上单调递减，
若，则，若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，，在上单调递增，
若，则，若，则.
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解：，，.
当时，，，所以满足题意.
当时，由（1）知当时，，即，
则，
所以，即.
令，，
则为减函数，则，这与矛盾，所以不满足题意.
综上，的取值范围是.
（3）证明：.
当时，，设.
因为，所以，所以.
令（，），得.
故，
即.青少年
中年人
老年人
只去庐山旅游
0.1
0.3
0.2
只去三清山旅游
0.2
0.2
0.3
庐山、三清山都去旅游
0.05
0.1
0.1
0
1
2
0.42
0.46
0.12