专题02 勾股定理的应用（十种考法）-【备考期末】2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

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求梯子滑落高度
1．【河南省郑州市金水区一八初级中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了 厘米．
【答案】9
【分析】根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离．
【详解】解：依题意得：，
设滑动后点A、B的对应位置是，
由勾股定理得，(厘米)，
当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)，
∴(厘米)，
∴滑块B滑动的距离为：(厘米)，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键．
2．【辽宁省大连市甘井子区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在池塘的正中央有一根芦苇，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部D恰好碰到岸边的点B，则水深和芦苇长各多少尺?若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意可列方程为 ．

【答案】
【分析】在中，用勾股定理求解即可．
【详解】解：设这根芦苇的长度为x尺，
由题意得：尺，尺，
∵水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇在水池的正中央，
∴尺，
在中，由勾股定理得：，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
3．【湖北省咸宁市咸安区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，一梯子斜靠在竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也沿水平方向向外滑动，梯子到的位置，则梯子的长度为 ．
【答案】
【分析】设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，然后由勾股定理求出的长度．
【详解】解：设，
由题意得：，，，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴ ，
即梯子的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
4．【河南省驻马店市上蔡县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上．
(1)若梯子底端距墙角，求梯子的顶端距地面多高；
(2)在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑至点，那么梯子的底端向外移至点，求的长．
【答案】(1)梯子的顶端A距地面
(2)
【分析】（1）根据勾股定理，即可求解；
（2）先求出，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
根据勾股定得，
所以．
所以梯子的顶端A距地面．
（2）解：，
在中，根据勾股定理得，
所以，
所以．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
求旗杆高度
5．【河南省开封市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x．
【详解】解：设旗杆高度为x米，则，，
在中，由勾股定理得即
解得：
∴旗杆的高度为17米．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
6．【安徽省黄山市2022—2023学年八年级下学期期末数学试题】某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
则风筝的垂直高度 米．
【答案】21.7
【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度
【详解】解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，米，
故答案为21.7
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
7．【湖北省十堰市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端离地面的距离为，秋千静止时座位离地面的距离是．当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为．试求出秋千荡出的水平距离的长．
【答案】秋千荡出的水平距离的长为
【分析】根据题意求出，，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：根据题意得：，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
答：秋千荡出的水平距离的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，数形结合求出，，
8．【黔东南州教学资源共建共享实验基地名校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，求旗杆的长．
【答案】12米
【分析】设旗杆的高为x米，在中，推出，可得，由此解决问题.
【详解】解：设米，因为，所以在中，
根据勾股定理，得：，
解之，得：，
所以，的长为12米，
答：旗杆的长为12米．
【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.
求大树折断前的高度
9．【山东省东营市广饶县实验中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺，
在中，，即．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
10．【四川省自贡市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米．
【答案】3
【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理解答．
【详解】解：在中，为斜边，
已知米，米，
则，
即，
解得：．
故大树顶端触地点距大树的距离为3米．
故答案为：3．

【点睛】此题考查了直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．
11．【辽宁省大连市庄河市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面x尺，则根据题意列方程为： ．
【答案】
【分析】设折断处离地面x尺，根据勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：如图，设折断处离地面x尺，
根据题意可得：，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．【安徽省合肥市蜀山区2022-2023学年下学期八年级期末数学试题】如图，立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶 A 垂下，绳碰到地面后还余 4米，把绳的着地端沿地面移动到离旗杆底部 B点 10米处的一点C，恰好把绳子拉直， 则旗杆AB的高度为 米.
【答案】
【分析】由题可知，旗杆、绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【详解】由题意得：，
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为，
解得．
∴旗杆的高为米，
故答案为：．
【点睛】此题考查了利用勾股定理解决实际问题的能力．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
解决水杯中筷子问题
13．【河北省邢台市威县第三中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理进行计算即可得．
【详解】解：在中，，，
根据勾股定理得，，
在中，，，
根据勾股定理得，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．
14．【山东省临沂市费县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，有一个水池，水面是一边长为6尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度．
【答案】这根芦苇的长度为5尺．
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度（尺），
答：这根芦苇的长度为5尺．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．从实际问题抽象出勾股定理是解题的关键．
15．【吉林省吉林市丰满区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题．有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P是的中点)，它高出水面1尺(尺)． 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面()． 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
【答案】水的深度PN为12尺，芦苇MN的长度为13尺
【分析】在中，根据勾股定理列出方程，求出的长，即可求解．
【详解】解：∵，点P是的中点，
∴．
∵，
∴．
在中，根据勾股定理，
．
∴．
解得，
∴．
答：水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
16．【广东省惠州市第五中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少尺？（丈、尺是长度单位，1丈尺，）．
【答案】水的深度为尺，这根芦苇的长度是尺
【分析】如图所示，根据题意可得，设，则，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：

由题意可知，
设，则，
由勾股定理可得，即，
，解得，
答：水的深度为尺，这根芦苇的长度是尺．
【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键．
解决航海问题
17．【北京市怀柔区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】D
【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理计算求解．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
又∵（海里），（海里），
在Rt中，（海里）
∴此时两舰的距离是海里．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出是解题关键．
18．【云南省昆明市嵩明县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，已知，两艘船同时从港口出发，船以40km/h的速度向东航行，船以的速度向北航行，它们离开港口后相距多远？
【答案】
【分析】由题意知：两条船的航向构成了直角．再根据路程速度时间，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，两艘船同时从港口出发，船以40km/h的速度向东航行；船以的速度向北航行，
∴，它们离开港口后，，，
∴，
故它们离开港口后相距．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角问题，得出，的长是解题关键．
19．【吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12海里/时的速度向西北方向航行．试求两船离开港口O一个半小时后的距离．
【答案】海里
【分析】先根据题意画出示意图，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，由题意得，（海里），（海里），
∴由勾股定理得：（海里），
∴两船离开港口O一个半小时后的距离为海里．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确画出示意图是解题的关键．
20．【河南省南阳市卧龙区第十二中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】轮船同时从港口出发，若轮船以8海里/时的速度向西南方向航行，轮船以10海里/时的速度向东南方向航行，求两船离开港口一个半小时后的距离（结果保留根号）．
【答案】海里
【分析】根据题意，得到海里，海里，且，利用勾股定理得到海里，即可求解该题．
【详解】解：轮船同时从港口出发，轮船以8海里/时的速度向西南方向航行，轮船以10海里/时的速度向东南方向航行，两船离开港口航行一个半小时，
海里，海里，，
在中，海里，
答：两船离开港口一个半小时后的距离海里．
【点睛】本题考查方位角的定义及勾股定理解决航海实际问题，读懂题意，弄清方位角及航行距离是解决问题的关键．
求河的宽度
21．【广东省中山市2022—2023学年八年级下学期数学期末数学试题】如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方计算判断．
【详解】解：如图，中，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理描述的三边关系是解题的关键．
22．【河北省保定市雄县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，湖的两岸有两点，在与成直角的方向上的点处测得米，米，则两点间的距离为（ ）
A．40米B．30米C．50米D．米
【答案】A
【分析】根据勾股定理直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，在中，，
米，米，
两点间的距离为（米），
故选：A．
【点睛】本题考查利用勾股定理解实际应用题，数形结合是解决问的关键．
23．【浙江省台州市黄岩区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得．求A，B两点间的距离．
【答案】A，B两点间的距离是
【分析】直接由勾股定理求出AB的长即可．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
答：A，B两点间的距离是．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长．
24．【吉林省白山市浑江区白山市浑江区四校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】有一块边长为40米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边E处有健身器材，米．由于居住在A处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．
【答案】8
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，比较即可得到结果．
【详解】解：，
米，
答：标牌的■处应填8．
【点睛】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，同时也增强了学生们要爱护草地的意识．
求最短路径问题
25．【山东省德州市夏津县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将圆柱体水晶杯侧面展开，作A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图是柱体水晶杯侧面展开图的一半，

作A关于的对称点，连接，交于点F，连接，则，．
作交的延长线于点D，则四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴即为最短距离，
∵底面周长为，
∴
∵高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与一滴蜂蜜相对的点A处，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
26．【广西壮族自治区玉林市兴业县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离（杯壁厚度不计）为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图（见解析），将杯子侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，作，交延长线于点，

则，
由两点之间线段最短可知，当点、F、B在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长度，
由题意可知，，，
则，
即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将立体图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
27．【河南省周口市郸城县第二实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，圆柱的底面半径为，圆柱高为1cm，是底面直径，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路线长 cm．
【答案】
【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】将圆柱体得侧面积展开并连接，．

∵圆柱的底面半径为，圆柱高为1cm，
∴，，
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键．
28．【山西省吕梁市中阳县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，小天根据学过的数学知识准确地判断出从点攀爬到点的最短路径为 米．
【答案】10
【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：平面展开图为：

（米），
故答案为：10．
【点睛】本题考查立体图形中两点间最短路径问题，通用办法是展开为平面图形，两点间最短路径为两点线段长度，利用水平距离和竖直距离得到直角三角形，勾股定理求出两点线段长度．熟悉立体图形中两点间最短路径问题的计算方法是解题的关键．
29．【云南省红河哈尼族彝族自治州红河县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】已知长方体的长、宽、高分别为6，3，5，一只蚂蚁从A处出发到P处寻觅到食物的最短路径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
【详解】解：长方体的展开图如下图所示：

图1：展开前面右面，
由勾股定理得；
图2：展开前面上面，
由勾股定理得；
图3：展开左面上面，
由勾股定理得；
因为，
所以一只蚂蚁从A处出发到P处寻觅到食物的最短路径为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
30．【河南省商丘市虞城县部分学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则不可以是（ ）
A．7B．15C．16D．17
【答案】D
【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，

，
如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，

在中，，，
，
此时，
的取值范围是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
31．【天津市西青区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在中，已知斜边，一条直角边，用勾股定理求得另一条直角边即可．
【详解】解：如图：

在中，，，
，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
32．【广东省深圳市龙岗区2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题】勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．mB．mC．6mD．m
【答案】A
【分析】设，则，然后根据勾股定理得到方程，解方程即得答案.
【详解】解：设，则，，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
即绳索的长是m；
故选：A.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、得出是解题的关键.
33．【河南省郑州市金水区实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过P作于G，连接，
（米），（米），
（米），
（米），
（米）
这只蚂蚁的最短行程应该是米，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
34．【四川省泸州市江阳区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．3尺B．尺C．尺D．4尺
【答案】B
【分析】竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴折断处离地面的高度为尺，
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
35．【新疆维吾尔自治区喀什地区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，矩形中，，，动点E在矩形的边上运动，连接，作点A关于的对称点P，连接，则的最小值为 ．
【答案】1
【分析】点P在以D为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，则即为最小值，利用勾股定理求出的值即可．
【详解】解：点A关于的对称点P，
，
点P在以D为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于，如图所示：

为最小值，且，
在中，，，，
，
，
的最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，巧妙借助辅助线，找到即为最小值是解题的关键．
36．【四川省绵阳市江油市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ．
【答案】10
【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为的长，再由勾股定理求出．
【详解】解：根据圆柱侧面展开图，
圆柱的底面半径为，高为，
底面圆的周长为，
，，
由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为的长，
，

故答案为：．
【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．
37．【重庆市南岸区重庆南开（融侨）中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为 ．
【答案】10
【分析】如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径，由题意知，，，，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径，
由题意知，，，，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理最短路径的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
38．【江苏省镇江地区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．
【答案】2.7
【分析】在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，
，
根据题意得：，
在中，米，米，
米，
在中，米，米，
米，
米，
小巷的宽度为2.7米，
故答案为：2.7．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
39．【河南省开封市通许县丽星中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的长．
(2)这辆大巴车超速了吗？
【答案】(1)
(2)超速了
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）用路程除以时间求出速度，与限速进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意知，是直角三角形，，，
，
即长为；
（2）解：大巴车的速度为：，
，
这辆大巴车超速了．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型．
40．【辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上．在小岛A处周围80海里范围内均有暗礁，小船继续向正东方向航行是否有触礁危险？请说明理由．
【答案】无触礁危险．理由见解析
【分析】过点A作垂直于的延长线于点D，由题意得到，在根据勾股定理求出的长，即可得到答案．
【详解】解：无触礁危险．过点A作垂直于的延长线于点D

结合题意可知，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
继续前行无触礁危险
【点睛】本题主要考查用勾股定理解直角三角形，掌握勾股定理是解题的关键．
41．【山东省聊城市莘县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得的长度为8米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高米；
(1)求风筝的垂直高度．
(2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)米；
(2)7米．
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：连接，由题意得，米，

，
（米），
（米），
他应该往回收线7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形．
42．【海南省海口市龙华区海口中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．
(2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
【答案】(1)见解析
(2)两点之间线段最短
(3)
【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可；
（2）根据题（1）即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解．
【详解】（1）如图所示即为所求：

（2）线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的，．
由题（1）可得：在中，
由勾股定理可得：，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．