04函数的应用-江苏省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（苏教版）

这是一份04函数的应用-江苏省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（苏教版），共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·江苏苏州·高三统考期末）已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为的函数，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）已知定义在R上的偶函数满足下列两个条件：①当时，；②当时，．若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
3．（2022上·江苏扬州·高三邵伯高级中学校考期末）已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，恒成立，则（ ）
A．在上单调递增B．的图象与轴有个交点
C．D．不等式的解集为
4．（2022上·江苏镇江·高三校考期末）在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度.当时，千米/秒.在保持不变的情况下，若吨，假设要使超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则至少约为（ ）（结果精确到1，参考数据：）
A．135吨B．160吨C．185吨D．210吨
5．（2022上·江苏南京·高三期末）若函数 的定义域为，且 ， ，则曲线与的交点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（2022上·江苏徐州·高三期末）设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021上·江苏徐州·高三徐州市第一中学校考期末）化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态．根据计算系统的吉布斯自由能变化的热力学公式Gibbs-Helmhltz方程和Van’tHff方程，可以得到温度与可逆反应的平衡常数的关系式：式中为焓变（在一定温度变化范围内视为定值），为熵变，R为气体常数．利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算．已知当温度为时，可逆反应的平衡常数为；当温度为时，可逆反应的平衡常数为．则（ ）
A．B．C．D．
8．（2021上·江苏南通·高三统考期末）新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（ ）（参考数据：，）
A．0.369B．0.415C．0.585D．0.631
二、多选题
9．（2023下·江苏南京·高三校联考期末）已知函数，则（ ）
A．点是曲线的对称中心
B．当时，函数有两个极值点
C．当时，函数有三个零点
D．过原点可作曲线的切线有且仅有两条
10．（2023上·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若f(1－x)，g(x＋2)均为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
B．g(2023)＝2
C．
D．若函数g(x)在[1，2]上单调递减，则g(x)在区间[0，2024]上有1012个零点
11．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）已知函数(ω>0)，下列说法中正确的有（ ）
A．若ω=1，则f(x)在上是单调增函数
B．若，则正整数ω的最小值为2
C．若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度，所得到的图象关于原点对称
D．若f(x)在上有且仅有3个零点，则
12．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知函数f(x)＝ekx，g(x)＝，其中k≠0，则（ ）
A．若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点Q(b，a)在g(x)的图象上
B．当k＝e时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则|AB|的最小值为
C．当k＝1时，函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于
D．当k＝－2e时，函数G(x)＝f(x)－g(x)有3个零点
13．（2022上·江苏常州·高三统考期末）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数是周期函数B．函数有唯一零点
C．函数有无数个极值点D．函数在上不是单调函数
14．（2020上·江苏连云港·高三江苏省板浦高级中学校考期末）已知集合，若对于任意，存在，使得，则称集合是“垂直对点集”.则下列四个集合是“垂直对点集”的为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
15．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是 .
16．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）已知关于，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 .
17．（2022上·江苏南通·高三统考期末）函数有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1x2x3的取值范围是 .
18．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知函数若，则的最大值为 ．
19．（2021上·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考期末）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正、余弦函数．若一个声音的数学模型是函数，则下列结论正确的是 ．(填序号)
①是偶函数，且周期是；
②在上有4个零点；
③的值域为；
④在上是减函数．
20．（2021上·江苏徐州·高三徐州市第一中学校考期末）函数满足以下条件：①的定义域是，且其图像是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③在不是单调函数；④恰有2个零点．请写出函数的一个解析式 ．
四、解答题
21．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”.
(1)若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”并说明理由；
(2)若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；
(3)已知函数的定义域为，若恰好存在个不同的实数，，…，，使得（其中），则称函数为“级阶局部奇函数”，若函数是定义在R上的“4级1阶局部奇函数”，求实数的取值范围
22．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数的最小正周期为，且直线是其图像的一条对称轴.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与的值.
23．（2021上·江苏徐州·高三徐州市第一中学校考期末）已知函数，其中．
(1)讨论的极值点的个数；
(2)当时，证明：．
参考答案：
1．C
【分析】取线段的中点，连接、，证明出平面，分析可知平面与平面平行或重合，分、、三种情况讨论，计算出的面积，利用三角形相似可得出的表达式，即可得出合适的选项.
【详解】取线段的中点，连接、，
因为、为等边三角形，为的中点，则，，
，、平面，平面，
因为平面，所以，平面与平面平行或重合，
且，
取的中点，连接，则，
且，故.
①当时，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下图所示：
则，则；
②当时，；
③当时，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下图所示：
则，则.
综上所述，，故函数的图象如C选项中的图象.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的识别，解题的关键对分类讨论，求出函数的解析式，进而辨别出函数的图象.
2．A
【分析】根据题意，分别求出函数在，，上的解析式，并作出函数在上图象，利用函数为偶函数，作出对应区间上的图象，结合图象即可求解.
【详解】因为时，；
又当时，，则
所以当时，；
当时，；
当时，；
作出函数在上图象，利用函数为偶函数，作出对应区间上的图象，如下所示：
要使函数有且仅有2个零点，也即函数与有两个不同的交点，结合图象可知：或，
所以实数的取值范围是，
故选：.
3．C
【分析】利用函数单调性的定义可判断A选项；利用函数的奇偶性以及单调性，结合可判断B选项；利用函数在上的单调性得出，利用不等式的基本性质以及奇函数的性质可判断C选项；解不等式，可判断D选项.
【详解】当时，由可得，
不等式两边同时除以可得，
所以，，即，
所以，函数在上为减函数，A错；
函数的定义域为，
，所以，函数为奇函数，
因为，则，
因为函数在上为减函数，则该函数在上为减函数，
所以，函数在和上各有个零点，
因此，的图象与轴有个交点，B错；
因为函数在上为减函数，由得，
所以，C对；
当时，函数在上为减函数，由可得，
当时，函数在上为减函数，由可得，
因此，不等式的解集为，D错.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形得到，则得到的单调性，再利用其单调性研究零点和解不等式.
4．B
【分析】先求得的值，由此列方程来求得的值.
【详解】由题意知，当时，千米/秒，
故可以得到，解得，故，
由题意知，当吨，千米/秒时，可以得到，
解得吨.
故选：B
5．B
【分析】利用赋值法求出当，且x依次取时的一些函数值，从而找到函数值变化的规律，同理找到当，且x依次取时，函数值变化的规律，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意函数 的定义域为，且，
，
令，则，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
依次类推，可发现此时当，且x依次取时，
函数的值依次为 ，即每四个值为一循环，
此时曲线与的交点为；
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
依次类推，可发现此时当，且x依次取时，
函数的值依次为 ，即每四个值为一循环，
此时曲线与的交点为；
故综合上述,曲线与的交点个数为3，
故选：B
【点睛】难点点睛：确定曲线与的交点个数，要明确函数的性质，因此要通过赋值求得的一些函数值，从中寻找规律，即找到函数的函数值循环的规律特点，这是解答本题的难点所在.
6．C
【分析】构造函数与，先利用导数研究得的性质，再利用二次函数的性质研究得的性质，从而作出的图像，由此得到，分类讨论与时的零点情况，据此得解.
【详解】令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
又因为对于任意，在总存在，使得，
在上由于的增长速率比的增长速率要快得多，所以总存在，使得，
所以在与上都趋于无穷大；
令，则开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递增，故，
.
因为函数有且只有三个零点，
而已经有唯一零点，所以必须有两个零点，则，即，解得或，
当时，，则，
即在处取不到零点，故至多只有两个零点，不满足题意，
当时，，则，所以在处取得零点，
结合图像又知与必有两个交点，故在与必有两个零点，
所以有且只有三个零点，满足题意；
综上：，即.
故选：C.
7．A
【解析】根据题中所给关系式，结合题中条件，得到，两式作差化简整理，即可得出结果.
【详解】当温度为时，可逆反应的平衡常数为；当温度为时，可逆反应的平衡常数为；
则，所以，
则，整理得.
故选：A.
8．C
【解析】由，得，由题意可得，从而可求出的值
【详解】解：因为，
所以，
由题意得时，，代入上式得
，所以，
，
，
故选：C
9．AB
【分析】应用判断A,对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断B，
要使有且仅有3个零点，由单调性可得只需，求解判断C，
过点可以作曲线切线条数可转化为根的个数可判断D.
【详解】选项A：因为,所以点是曲线的对称中心,故A正确；
选项B：因为,所以
令解得或，令解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故B正确；
选项C：在处取得极大值，在处取得极小值，
,解得时, 函数有三个零点, ，故C错误；
选项D：，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得， ，
即过点可以作曲线的1条切线，故D错误；
故选：AB
10．ACD
【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性的性质、函数的单调性逐一判断即可.
【详解】因为f(1－x)是偶函数，
所以，所以函数函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，因此选项A正确；
因为g(x＋2)为偶函数，所以有，
因此函数关于直线对称，
由，
因此函数关于点对称，由
，所以函数的周期为4，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，故选项B不正确；
由，令，得，因此选项C正确；
因为函数关于点对称，且在[1，2]上单调递减，
所以函数在也单调递减，而函数关于直线对称，
所以函数在上单调递增，且，
所以当时，函数有两个零点，
当时，由函数的周期为4，
可知函数的零点的个数为，所以选项D说法正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：根据函数的对称性判断函数的周期是解题的关键.
11．BD
【分析】化简函数f(x)的表达式，再逐一分析各个选项中的条件，计算判断作答.
【详解】依题意，，
对于A，，，当时，有，因在上不单调，
所以在上不单调，A不正确；
对于B，因，则是函数图象的一条对称轴，，
整理得，而，即有，，B正确；
对于C，，，依题意，函数，
这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，C不正确；
对于D，当时，，依题意，，解得，D正确.
故选：BD
12．ACD
【分析】利用反函数的性质判断A；
结合反函数性质，求出的与直线相切的切线的切点坐标，由切点到直线的距离可得与图象上两点间的最短距离，从而判断B；
利用导数求得的最小值判断C；
根据函数与的单调性及反函数的性质，确定它们的交点个数，判断D．
【详解】由得，，所以是的反函数，它们的图象关于直线对称，A正确；
时，，，由得，，
所以函数的与直线平行的切线的切点是，到直线的距离是，所以，B错；
时，，则，是增函数，
，，所以在，即在上存在唯一零点，
，时，，时，，即在上递减，在上递增，所以，
，，所以，
由对勾函数知在上是减函数，，
所以，C正确；
时，是减函数，也是减函数，它们互为反函数，作出它们的图象，如图，易知它们有一个交点在直线上，在右侧，的图象在轴上方，而的图象在处穿过轴过渡到轴下方，之间它们有一个交点，根据对称性，在左上方，靠近处也有一个交点，因此函数与的图象有3个交点，所以有3个零点，D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查反函数的性质，导数与最值，导数的几何意义，函数的零点等知识．考查综合应用的能力．对于互为反函数的两个函数和的图象上两点间的距离的最小值问题转化为一个函数图象上的点到直线的距离的最小值，从而转化为求出与直线平行的切线的切点坐标即可得．函数的零点个数问题转化为两个函数的图象的交点个数，从而可利用反函数的函数图象的性质，结合图象的变化趋势得出结论．本题属于较难题．
13．CD
【分析】根据不是周期函数，从而可判断选项A错误；
令，，，
作出与的图象，由图象可判断选项B；
作出与的图象，由图可判断选项C；
通过图象可判断在不单调，从而可判断选项D.
【详解】，
因为不是周期函数，则不是周期函数，A错；
令，，，
令，则，
作出与的图象，由图可知，与的图象至少有两个交点，
至少有两个零点，至少有两个零点，B错误；
作出与的图象，由图可知，有无数个零点
有无数个极值点，即有无数个极值点，C正确；
因为在有零点，所以在不单调，
在不单调，D正确；
故选：CD.
14．AC
【分析】利用数学结合判断A；利用方程无解判断B；利用数形结合判断C；利用特殊点判断D.
【详解】对于A，表示的几何意义是，即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，如图所示，当点运动时，直线与曲线均有交点，故A正确；
对于B,若满足，则，在实数范围内无解，故B不正确；
对于C，，画出的图象，如图所示，直角始终存在，即对于任意，存在，使得成立，故C正确；
对于D，，取点，若存在使得成立，则，则一定有，不满足函数的定义域，故不能满足题意中的任意一点这一条件，故D不正确.
故选：AC.
【点睛】思路点睛：本题主要考查向量垂直的坐标表示、新定义问题及数形结合思想的应用，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
15．
【分析】先分类讨论，时，函数没有三个零点，时，得出函数有一个零点，在时，由导数求得极大值，由得，然后利用零点存在定理说明函数有两个零点即得．
【详解】时，在上是减函数，且，此时没有零点或至多一个零点（时），而时，是增函数，只有一个零点，因此不合题意，
故，
时，在上递减，在上递增，又，因此在上无零点，在上有一个零点，
从而时，有两个零点，
此时，，时，，递增，时，，递减，
又时，，因此，，即，此时在上有一个零点，
又时，，因此在上也有一个零点，
综上，有三个零点时，．
故答案为：．
16．
【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为的零点，可得方程，运算整理结合基本不等式求值.
【详解】时，关于的不等式恒成立，
，由，则；由，则，即为的零点，
∴，.
∴，当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
17．
【分析】设，将问题转化为的图像与直线有三个交点，作出的图像，得出的范围，根据题意可得，设,求出其导函数，利用函数的单调性可得出答案.
【详解】设
函数有三个零点x1，x2，x3，
即的图像与直线有三个交点.作出函数的图像，如图.
根据图像可得
则是的两个实数根，则
满足，即
所以
设，则
由，则
所以在上单调递增，
所以
故答案为：
18．
【分析】令，作出函数以及的图象，不妨设，则，，由表示，再利用二次函数的性质计算的最大值即可求解.
【详解】令，
作出的图象和的图象如图所示：
由图知：，不妨设，若求最大值，则，，
所以，，
所以，
当即时，取得最大值为，即的最大值为，
故答案为：.
19．①③
【分析】利用奇偶性、周期性的定义判定①正确；利用二倍角公式得到，再通过解方程结合余弦函数的值域判定②错误；利用二次函数的值域、余弦函数的最值判定③正确；利用二次函数的单调性、余弦函数的单调性及值域判定④错误.
【详解】对于①：因为
，即是偶函数，
又对于，
，
且
即的周期是，
即①正确；
对于②：因为
，
令，即，
解得或（舍），
则在上有2个零点，
即②错误；
对于③：因为，
所以当时，；
当时，；
即的值域为，
即③正确；
对于④：令，则，
且在单调递减，且，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在上不是单调递减，即④错误.
故答案为：①③.
20．（答案不唯一）
【解析】根据常见函数性质写出满足条件的函数即可.
【详解】例如函数：下面是证明过程：
函数的定义域是，有，则是偶函数；
当时，的图象对称轴为，其图象是开口向下的抛物线，故在 单调增，在单调减，图象如下所示：
由图得恰有2个零点；
故答案为：（答案不唯一）
21．(1)是，理由见解析.
(2)
(3)
【分析】(1)当时，解方程，即可得出结论；
(2)由可得出在上有解，再结合对数的整数恒为正数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
(3)由将问题等价转化为方程恰好有4个解，令，进而转化为方程在上有两个不等式的实根，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）由题意可得：，即，也即，
因为，所以且，可得：，
因为，所以.
所以 是上的“二阶局部奇函数”.
（2）由可得，
所以，可得在上有解，
当时， ，即，
对，由可得：；
对，由可得：；
所以，解得：，
综上所述，实数的取值范围为.
（3）由可得：，
由题意可知：关于的方程恰好有4个解，
令，因为当时，，
所以方程在上有两个不等式的实根，
令，则有，
解得：，
所以实数的取值范围为.
22．(1)
(2)，.
【分析】(1)由最小正周期得,由是其图像的一条对称轴得,进而得答案；
（2）根据题意得，进而整理得，令，得，
根据判别式得关于的二次方程必有两不等实根且异号，再分当且时,当
得，当时，则，此时,当有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，四种情况讨论求解.
【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，
，
令，得，
由于直线为函数的一条对称轴，
所以，得，
由于，，则，
因此，.
（2）将函数的图像向右平移个单位，得到函数，
再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数为.
.
令，可得，
令，得，，
则关于t的二次方程必有两不等实根､，则，，异号.
当且时，
则方程和在区间均有偶数个根，
从而方程在也有偶数个根，不合题意
当，则，此时，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上只有一个根，
在区间上无实解，
方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，
因此，关于x的方程在区间上有2020个根，
在区间上有2022个根，不合题意
当时，则，此时，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于x的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，
方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，
因此，关于x的方程在区间上有2021个根，满足题意.
若有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，有偶数个根，不合题意
综上所述：，.
23．（1）函数在上有且仅有一个极值点；（2）证明见解析.
【解析】(1)求导，然后结合导函数的解析式，可确定的单调性，再结合零点存在性定对分，，讨论，即可确定函数的极值点的个数；
(2) 由（1）知，当时，函数在上有且仅有一个极值点，也是最小值点，故，只需判断即可，由可得，，然后代入可化简关于的解析式，再设，则，可构造函数，利用判别式确定关于的二次函数的符号，从而可得.
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，，
设，，显然函数在上单调递增，与同号，
①当时，，，
所以函数在内有一个零点，所以函数在上有且仅有一个极值点；
②当时，，，
所以函数有且仅有一个零点，所以函数在上有且仅有一个极值点；
③当时，，，因为，
所以，，又，
所以函数在内有一个零点，所以函数在上有且仅有一个极值点；
综上所述，函数在上有且仅有一个极值点．
（2）由（1）知，当时，函数在上有且仅有一个极值点，也是最小值点，
设，，则函数的最小值为，
由可得，即，所以，
即，所以，
所以，
设，则，，
对于函数，，
设，，则恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以．
【点睛】关键点点睛：本题用导数证明不等式的关键是根据(1)确定函数的最小值及通过得到，后化简，进而通过换元构造函数，确定.