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06利用导数研究函数的极值和最值-江苏省2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版
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这是一份06利用导数研究函数的极值和最值-江苏省2023-2024学年高三上学期数学期末复习专题练习（苏教版，共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）设，函数满足，则α落于区间（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设,,,则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2023下·江苏南京·高三校联考期末）已知函数，则（ ）
A．点是曲线的对称中心
B．当时，函数有两个极值点
C．当时，函数有三个零点
D．过原点可作曲线的切线有且仅有两条
4．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．在上存在唯一的极值点
5．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）在边长为6的正三角形ABC中M，N分别为边AB，AC上的点，且满足，把△AMN沿着MN翻折至A′MN位置，则下列说法中正确的有（ ）
A．在翻折过程中，在边A′N上存在点P，满足CP∥平面A′BM
B．若，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A′BC⊥平面BCNM
C．若且二面角A′－MN－B的大小为120°，则四棱锥A′－BCNM的外接球的表面积为61π
D．在翻折过程中，四棱锥A′－BCNM体积的最大值为
6．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知函数f(x)＝ekx，g(x)＝，其中k≠0，则（ ）
A．若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点Q(b，a)在g(x)的图象上
B．当k＝e时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则|AB|的最小值为
C．当k＝1时，函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于
D．当k＝－2e时，函数G(x)＝f(x)－g(x)有3个零点
7．（2022上·江苏徐州·高三期末）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有2个零点
C．不存在最小值
D．不等式对恒成立
三、填空题
8．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设过直线上一点A作曲线的切线有且只有两条，则满足题设的一个点A的纵坐标为 .
9．（2023上·江苏南通·高三统考期末）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数若一个声音的数学模型是函数，则的最小正周期是 ，的最大值是 ．
10．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．若（）有最大值，则的取值范围是 ．
11．（2020上·江苏扬州·高三统考期末）已知函数，若存在实数满足，则的取值范围为 .
12．（2019上·江苏南通·高三统考期末）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是 ．
13．（2019上·江苏南通·高三统考期末）已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是 ．
14．（2019上·江苏扬州·高三统考期末）若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为 ．
四、解答题
15．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，，证明：.
16．（2023上·江苏泰州·高三统考期末）已知函数（为非零常数），记，.
(1)当时，恒成立，求实数的最大值；
(2)当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上；
(3)若函数，，都存在极小值，求实数的取值范围.
17．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知，函数，.
(1)若，求函数的极小值；
(2)若函数存在唯一的零点，求的取值范围.
18．（2022上·江苏泰州·高三统考期末）已知函数为自然对数的底数
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，，求实数的最大值；
(3)证明：当时，在处取极小值.
19．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）已知函数，x∈[0，π]．
(1)求f(x)的最大值，并证明：；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
20．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数，．
(1)若的最值和的最值相等，求m的值；
(2)证明：若函数有两个零点，，则．
21．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.
(1)若为的角平分线，求的周长；
(2)求的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】由题意，确定函数的最大值，根据最值和极值的关系，可得方程，利用零点存在性定理，可得答案.
【详解】由题意，可知函数在上当时取得最大值，
且，
由于，则，
由，，，，
根据零点存在性定理，可知，
故选：C.
2．D
【分析】三个数中有指数和对数,用到放缩,即,则,即可得,根据,可得,取可得,选出选项即可.
【详解】解:由题知,记,,
所以,
所以,
所以,在时成立,
所以,
即,
即,
记,,
所以,
所以在上,,单调递减,
在上,,单调递增,
所以,
所以,
则,
即,
即,
,
即有,
因为,
所以,
综上: .
故选:D
3．AB
【分析】应用判断A,对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断B，
要使有且仅有3个零点，由单调性可得只需，求解判断C，
过点可以作曲线切线条数可转化为根的个数可判断D.
【详解】选项A：因为,所以点是曲线的对称中心,故A正确；
选项B：因为,所以
令解得或，令解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故B正确；
选项C：在处取得极大值，在处取得极小值，
,解得时, 函数有三个零点, ，故C错误；
选项D：，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得， ，
即过点可以作曲线的1条切线，故D错误；
故选：AB
4．BC
【分析】根据给定条件，讨论求出值，判断A，B；再探讨函数在指定区间上的单调性、极值点判断C，D作答.
【详解】函数的最小正周期为，由及得：
，则，而，
即有，解得，即或，
当时，，由得，
有，而，显然不存在整数，使得，
当时，，由得，
有，而，于是得，符合题意，
所以，A不正确，B正确；
，当时，，而函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，C正确；
当时，，而函数在上两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，
所以函数在上有两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，D不正确.
故选：BC
5．BCD
【分析】通过直线相交来判断A选项的正确性；通过面面垂直的判定定理判断B选项的正确性；通过求四棱锥外接球的表面积来判断C选项的正确性；利用导数来求得四棱锥体积的最大值.
【详解】对于选项A，过作，交于，则无论点P在A′N上什么位置，都存在CP与BQ相交，折叠后为梯形BCQP，
则CP不与平面A′BM平行，故选项A错误；
对于选项B，设分别是的中点，
若，则AE＞DE，所以存在某一位置使得A′D⊥DE，
又因为MN⊥A′E，MN⊥DE，且A′E∩DE＝E，所以MN⊥平面A′DE，所以MN⊥A′D，
，所以A′D⊥平面BCNM，所以A′BC⊥平面BCNM，故选项B正确；
对于选项C，设分别是的中点，
若且二面角A′－MN－B的大小为120°，则△AMN为正三角形，
∠BMN＝120°，∠C＝60°，则BCNM四点共圆，圆心可设为点G，其半径设为r，
DB＝DC＝DM＝DN＝3，所以点G即为点D，所以r＝3，
二面角A′－MN－B的平面角即为∠A′ED＝120°，过点A′作A′H⊥DE，垂足为点H，
EH＝，DH＝，A′H＝，，
设外接球球心为，由，解得R2＝，
所以外接球的表面积为S＝4πR2＝61π，故选项C正确；
对于选项D，设分别是的中点，设是四棱锥的高.
S△AMN＝6λ6λ＝9λ2，
S△ABC＝66＝9，
所以S四边形BCNM＝9（1－λ2），则VA′－BCNM＝9（1－λ2）h≤3（1－λ2）A′E
＝3（1－λ2）3λ＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），
可设f（λ）＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），
则＝27（－3λ2＋1），令＝0，
解得λ＝，则函数f（λ）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，
所以f（λ）max＝f（）＝6，
则四棱锥A′－BCN体积的最大值为，故选项D正确.
故选：BCD
6．ACD
【分析】利用反函数的性质判断A；
结合反函数性质，求出的与直线相切的切线的切点坐标，由切点到直线的距离可得与图象上两点间的最短距离，从而判断B；
利用导数求得的最小值判断C；
根据函数与的单调性及反函数的性质，确定它们的交点个数，判断D．
【详解】由得，，所以是的反函数，它们的图象关于直线对称，A正确；
时，，，由得，，
所以函数的与直线平行的切线的切点是，到直线的距离是，所以，B错；
时，，则，是增函数，
，，所以在，即在上存在唯一零点，
，时，，时，，即在上递减，在上递增，所以，
，，所以，
由对勾函数知在上是减函数，，
所以，C正确；
时，是减函数，也是减函数，它们互为反函数，作出它们的图象，如图，易知它们有一个交点在直线上，在右侧，的图象在轴上方，而的图象在处穿过轴过渡到轴下方，之间它们有一个交点，根据对称性，在左上方，靠近处也有一个交点，因此函数与的图象有3个交点，所以有3个零点，D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查反函数的性质，导数与最值，导数的几何意义，函数的零点等知识．考查综合应用的能力．对于互为反函数的两个函数和的图象上两点间的距离的最小值问题转化为一个函数图象上的点到直线的距离的最小值，从而转化为求出与直线平行的切线的切点坐标即可得．函数的零点个数问题转化为两个函数的图象的交点个数，从而可利用反函数的函数图象的性质，结合图象的变化趋势得出结论．本题属于较难题．
7．ABD
【分析】对A，由导数法可得有两个极值点；
对B，由导数法可得的单调性，以及即可判断；
对C，由的单调性及极小值可判断最小值；
对D，原命题等价于对恒成立，令 ，由导数法得最小值，即可判断.
【详解】，由得，
故当，，在单调递增；当，，单调递减.
对A，由得，故有两个极值点，A对；
对B，，又当，，结合单调性可知，有2个零点，B对；
对C，由的单调性得，在取得极小值，又当，，故在取得最小值，C错；
对D，当，，即，即，即，故原命题等价于不等式对恒成立，
令 ，则，故在单调递减，故，故D对.
故选：ABD
8．2或
【分析】设切点，根据导数的几何意义可得切线方程，进而可得有且只有两个解，然后构造函数，利用导数研究函数的性质即得.
【详解】设切点，则，切线斜率为，
所以切线，
设，则，
∴，
令，则方程有且只有两个解，
所以，由，可得或2，
当变化时，的变化如下，
所以函数的极小值为，极大值为，
∴或，方程有且只有两个解，
即A的纵坐标为2或.
故答案为；2或.
9．
【分析】空一：利用三角函数的周期求解即可；空二：利用二倍角公式化简以后再求导，在一个周期内研究函数单调性即可求解．
【详解】空一：的周期为，的周期为，
的周期为
空二：由函数，
得，
令，解得或，
在函数的一个周期内，
当时，，此时，单调递增
当时，，此时，单调递减
当时，，此时，单调递增，
所以当或时，取到最大值，
则．
10．
【分析】方法一：由已知结正弦定理可得，从而可得＝2m[csC＋（－）sinC]，构造函数f（C）＝csC＋（－）sinC，利用导数求其最大值，从而结合三角函数的性质可得结果，
方法二：由已知结正弦定理可得，从而可得mb＋nc＝2m[csC＋（－）sinC]，构造函数f（C）＝csC＋（－）sinC，然后利用辅助角公式结合三角函数的性质可求得
【详解】法一：由题意可知，在中，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，
所以，
又B＋C＝，
则mb＋nc＝m2sinB＋n2sinC＝2m[sin（－C）＋sinC]
＝2m[csC－sinC＋sinC]
＝2m[csC＋（）sinC]，
设f（C）＝csC＋（）sinC，则f′（C）＝－sinC＋（）csC，
令f′（C）＝0，则－sinC＋（）csC＝0，
即tanC＝∈（0，），
所以∈，则∈（，2）．
法二：由题意可知，在中，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，
所以，
又B＋C＝，
则mb＋nc＝m2sinB＋n2sinC＝2m[sin（－C）＋sinC]
＝2m[csC－sinC＋sinC]
＝2m[csC＋（）sinC]，
设f（C）＝2m[csC＋（）sinC]＝sin（C＋），其中tan＝，
则当C＋＝，即C＝－时取到最大值，
则此时tanC＝tan（－）＝＝＝∈（0，），
所以∈，则∈（，2）．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查导数的应用，解题的关键是由正弦定理和三角函数恒等变换公式得到mb＋nc＝2m[csC＋（）sinC]，然后构造函数f（C）＝csC＋（）sinC，利用导数或三角函数的性质求出其最值，从而可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
11．
【解析】作出函数图像，求出m，n的范围，由题意得，即，将表示为关于n的函数，利用导数分析函数的单调性，求出函数在区间上的值域即可得解.
【详解】作出函数的图像如下图所示：
若存在实数满足，
根据图像可得，
所以，即，则，
令，
当时，，在区间上单调递增，
，，
所以，即.
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题.
12．6
【分析】先根据正余弦定理对原式进行化简得，再利用正弦平方差定理化简可得，然后，表示出，构造函数求最值即可得出答案.
【详解】根据题意，已知，由余弦定理得
，化简得
由正弦定理：
即 （正弦平方差）
整理可得：
即
设
因为为锐角三角形，所以
此时 即
所以=
令
当，f(x)递增；当，f(x)递减；
所以
故的最小值是6
故答案为6
【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及与导函数的应用的综合题目，易错点在于前面的化简会用到正弦差定理，属于难题.
13．
【分析】先根据题意，求出的解得或，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情况讨论求出的取值范围.
【详解】解：令t=f（x），函数有3个不同的零点，
即+m=0有两个不同的解，解之得
即或
因为的导函数
，令，解得x>e，，解得0可得f（x）在（0，e）递增，在递减；
f(x)的最大值为 ，且
且f(1)=0；
要使函数有3个不同的零点，
（1）有两个不同的解，此时有一个解；
（2）有两个不同的解，此时有一个解
当有两个不同的解，此时有一个解，
此时 ，不符合题意；
或是不符合题意；
所以只能是 解得
，
此时=-m，
此时
有两个不同的解，此时有一个解
此时 ，不符合题意；
或是不符合题意；
所以只能是解得
，
此时=，
综上：的取值范围是
故答案为
【点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.
14．
【分析】由⇒，又lnln（）＝lnlneln，令，则lnelnet﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，利用函数求导求最值．
【详解】∵正实数x，y，z满足3y2+3z2≤10yz，
∴⇒，
∵，∴lne，
lnln（）＝lnlneln，
令，
则lnelnet﹣lnt，t，
f（t）＝et﹣lnt，
f′（t）＝e0，则t，
可得f（t）在（）递减，在（）递增，
∴f（t）min＝f（）＝1﹣（﹣1）＝2，
即（ln）min＝2，
∴的最小值为e2，
故答案为e2．
【点睛】本题考查了利用函数的思想求范围问题，关键是将所求转化为已知自变量范围的函数解析式，利用求导得到最值，属于难题．
15．(1)，无极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，令得，列表判断两边的导函数符号，进而可得答案；
（2）当时，设函数的两个极值点为，，可得，是方程的两根，则，，令，构造函数，，利用导数求解即可.
【详解】（1）当时，，
则
令，得，
列表：
所以，无极小值.
（2）
，
当时，设函数的两个极值点为，所以，是方程的两根，
则，，
不妨设，则
要证：，只要证：
只要证： 只要证： 只要证：
只要证： 令，，，即证：，
因为，所以在上单调递增，
所以，所以，得证.
【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.
16．(1)
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）转化为时求，令，利用导数求出可得答案；
（2）求出，，可得，
时，，当时，，利用导数求出
时，取得最小值，且，可得答案；
（3）求出，，均存在极小值，，分、讨论得到在处取得极小值，再由导数判断出在上有唯一的零点，
且当时，存在极小值，当时，考察极值情形，，令，利用导数得到在上有唯一的零点，可得在处取得极小值.
【详解】（1）由，，
令，，
时，，时，
∴在上单调递减，上单调递增，
∴，
∴，
即的最大值为；
（2），∴，，
，，
时，，
当时，，
，令，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴时，取得最小值，
且，
∴为在定直线上运动；
（3），，均存在极小值，
，当时，，单调递增，不存在极小值，舍去，
当时，令，且在上单调递减；上单调递增，
∴在处取得极小值，
，，，
要使存在极小值，则，
此时，∴在上有唯一的零点，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴存在极小值，
当时，考察极值情形，
，
令，则，
当或时，；当时，，
∴在上单调递增；上单调递减；上单调递增，
因为，所以，，，
∴在上有唯一的零点，
且当时，，，单调递减；
当时，单调递增，
∴在处取得极小值，符合条件，
综上：实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于求参数的取值范围的问题，可以转化为求函数最值的问题，本题考查了利用导数解决求参数、函数的最值、函数零点的问题，考查了学生分析问题、解决问题以及运算的能力，属于难题.
17．(1)2
(2)
【分析】（1）由可求出，则，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值；
（2）令（），则，令，利用导数可求出其单调区间和最小值，然后分和讨论函数的零点即可.
【详解】（1）由，
所以，，令，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的极小值为；
（2），令（），
存在唯—的零点，，
令，，
令，
当时，；
当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
①若，即，
令，
所以，所以，所以，
即时，，所以在上递增，
注意到，所以存在唯一的零点，符合题意
②当时，，，
，
令，，
则，
因为，所以，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以
所以即在和上各有一个零点，，
在上递增，上递减，上递增，
而，所以，
，
当时，；
当时，，
而，，
所以在，和上各有一个零点，共3个零点了，舍去.
综上，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数解决函数零点问题，第（2）问解题的关键是对求导后，构造函数，利用导数求出其最小值后再讨论可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，，即可求得切线方程.
（2）成立，等价于，构造函数，利用导数求得最小值即可得出结果.
（3）令，可得当，单调递增，讨论当时，当时，函数的单调性进而可得的单调性，从而证得结果.
【详解】（1）
，且，则所以在处的切线方程为
（2）当时，，即当时，，当时，，即，令，
则，
因为，所以
当时，，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以，所以
所以实数的最大值为.
（3）令，
若，当，和都单调递增，所以单调递增，
①当，即时，则，则在上单调递增，而，所以当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以在处取极小值；
②当，即时，且，
单调递增，所以存在，使得，且时，，则在上单调递增，而，
所以当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以在处取极小值.
综上，当时，在处取极小值.
【点睛】关键点睛：本题考查用导数求函数的极值，考查零点存在定理，解题关键是需要导函数进一步求导，以便确定导函数的单调性与零点的存在性，从而得出函数的性质.本题属于较难题.
19．(1)；证明见解析
(2)[，＋）
【分析】（1）构造新函数去证明一个较为复杂的不等式是一个快捷方法；
（2）构造新函数去证明不等式，并不重不漏地进行分类讨论是本小题亮点.
【详解】（1）∵，x∈[0，π]，
∴，∴f(x)在[0，π]上单调递减，
∴．
要证，只要证，即证＞f(x)，
令g(x)＝，x∈[0，π]，则g′(x)＝，
故g(x)在（0，2）上单调递减；g(x)在（2，π）上单调递增，所以g(x)≥g(2)＝-，
又 f(x)≤-，且等号不同时取到，所以
（2）f(x)＋2ax3＋≥0，等价于xcsx－sinx＋2ax3≥0，
令h(x)＝xcsx－sinx＋2ax3，x∈[0，π]，则h′(x)＝－xsinx＋6ax2＝x（6ax－sinx），
令，则，
①当a≤－时，，∴在[0，π]上递减，∴，
∴h′(x)≤0，∴h(x)在[0，π]上递减，∴h(x)≤h（0）＝0，∴不合题意．
②当a≥时，，∴在[0，π]上递增，∴
∴h′(x)≥0，∴h(x)在[0，π]上递增，∴h(x)≥h（0）＝0，∴符合题意．
③当－＜a＜时，因为，，且在[0，π]上递增，
∴∈[0，π]，使得，
∴当x∈（0，x0）时，，此时在（0，x0）上递减，∴，
∴h′(x)＜0，∴h(x)在（0，x0）上递减，∴h(x)＜h（0）＝0，∴不合题意．
综上得：a∈[，＋）．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)分别对函数求导，利用导数求出函数的最值，结合最值相等即可求解；
(2) 设，，根据有两个零点，，可得：函数是增函数，则，进而将要证明的不等式转化为证，只需证，构造函数，利用导数取出函数的单调性即可证明结论.
【详解】（1）对函数求导可得：，令，可得：，
所以函数在上递增，在上递减，
则，又，所以，，
令，可得：，所以函数在单调递减，在单调递增，
则，
由题意可知：，，
所以m的值为．
（2）若有两个零点，，不妨设，
，设，，
由，得，
因为函数是增函数，所以，
则，设，则，，
欲证，即证，即证，
只需证（*）
设，，
，在上，，单调递减，
所以，所以，
令即得（*）成立，
从而，命题得证．
【点睛】思路点睛：根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由和，根据为的角平分线，得到，再与求解.
(2)由和，得到，再结合，得到求解.
【详解】（1）在中，，①
在中，，②
因为为的角平分线，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，
所以，，
所以的周长为.
（2）在中，，
在中，，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以
所以所以，
令，则，
则，，
，
当时， ，当 时， ，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，所以的取值范围为.
0
2
负
0
正
0
负
减函数
极小值
增函数
极大值2
减函数
+
0
↑
极大值
↓
一、单选题
1．（2023上·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）设，函数满足，则α落于区间（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设,,,则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2023下·江苏南京·高三校联考期末）已知函数，则（ ）
A．点是曲线的对称中心
B．当时，函数有两个极值点
C．当时，函数有三个零点
D．过原点可作曲线的切线有且仅有两条
4．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）
A．B．
C．在上单调递增D．在上存在唯一的极值点
5．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）在边长为6的正三角形ABC中M，N分别为边AB，AC上的点，且满足，把△AMN沿着MN翻折至A′MN位置，则下列说法中正确的有（ ）
A．在翻折过程中，在边A′N上存在点P，满足CP∥平面A′BM
B．若，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A′BC⊥平面BCNM
C．若且二面角A′－MN－B的大小为120°，则四棱锥A′－BCNM的外接球的表面积为61π
D．在翻折过程中，四棱锥A′－BCNM体积的最大值为
6．（2022上·江苏南通·高三统考期末）已知函数f(x)＝ekx，g(x)＝，其中k≠0，则（ ）
A．若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点Q(b，a)在g(x)的图象上
B．当k＝e时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则|AB|的最小值为
C．当k＝1时，函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于
D．当k＝－2e时，函数G(x)＝f(x)－g(x)有3个零点
7．（2022上·江苏徐州·高三期末）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有2个零点
C．不存在最小值
D．不等式对恒成立
三、填空题
8．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设过直线上一点A作曲线的切线有且只有两条，则满足题设的一个点A的纵坐标为 .
9．（2023上·江苏南通·高三统考期末）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数若一个声音的数学模型是函数，则的最小正周期是 ，的最大值是 ．
10．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．若（）有最大值，则的取值范围是 ．
11．（2020上·江苏扬州·高三统考期末）已知函数，若存在实数满足，则的取值范围为 .
12．（2019上·江苏南通·高三统考期末）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是 ．
13．（2019上·江苏南通·高三统考期末）已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是 ．
14．（2019上·江苏扬州·高三统考期末）若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为 ．
四、解答题
15．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知函数，.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，，证明：.
16．（2023上·江苏泰州·高三统考期末）已知函数（为非零常数），记，.
(1)当时，恒成立，求实数的最大值；
(2)当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上；
(3)若函数，，都存在极小值，求实数的取值范围.
17．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知，函数，.
(1)若，求函数的极小值；
(2)若函数存在唯一的零点，求的取值范围.
18．（2022上·江苏泰州·高三统考期末）已知函数为自然对数的底数
(1)求在处的切线方程；
(2)当时，，求实数的最大值；
(3)证明：当时，在处取极小值.
19．（2022上·江苏扬州·高三统考期末）已知函数，x∈[0，π]．
(1)求f(x)的最大值，并证明：；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
20．（2023上·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数，．
(1)若的最值和的最值相等，求m的值；
(2)证明：若函数有两个零点，，则．
21．（2023上·江苏南通·高三统考期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.
(1)若为的角平分线，求的周长；
(2)求的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】由题意，确定函数的最大值，根据最值和极值的关系，可得方程，利用零点存在性定理，可得答案.
【详解】由题意，可知函数在上当时取得最大值，
且，
由于，则，
由，，，，
根据零点存在性定理，可知，
故选：C.
2．D
【分析】三个数中有指数和对数,用到放缩,即,则,即可得,根据,可得,取可得,选出选项即可.
【详解】解:由题知,记,,
所以,
所以,
所以,在时成立,
所以,
即,
即,
记,,
所以,
所以在上,,单调递减,
在上,,单调递增,
所以,
所以,
则,
即,
即,
,
即有,
因为,
所以,
综上: .
故选:D
3．AB
【分析】应用判断A,对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断B，
要使有且仅有3个零点，由单调性可得只需，求解判断C，
过点可以作曲线切线条数可转化为根的个数可判断D.
【详解】选项A：因为,所以点是曲线的对称中心,故A正确；
选项B：因为,所以
令解得或，令解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故B正确；
选项C：在处取得极大值，在处取得极小值，
,解得时, 函数有三个零点, ，故C错误；
选项D：，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得， ，
即过点可以作曲线的1条切线，故D错误；
故选：AB
4．BC
【分析】根据给定条件，讨论求出值，判断A，B；再探讨函数在指定区间上的单调性、极值点判断C，D作答.
【详解】函数的最小正周期为，由及得：
，则，而，
即有，解得，即或，
当时，，由得，
有，而，显然不存在整数，使得，
当时，，由得，
有，而，于是得，符合题意，
所以，A不正确，B正确；
，当时，，而函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，C正确；
当时，，而函数在上两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，
所以函数在上有两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，D不正确.
故选：BC
5．BCD
【分析】通过直线相交来判断A选项的正确性；通过面面垂直的判定定理判断B选项的正确性；通过求四棱锥外接球的表面积来判断C选项的正确性；利用导数来求得四棱锥体积的最大值.
【详解】对于选项A，过作，交于，则无论点P在A′N上什么位置，都存在CP与BQ相交，折叠后为梯形BCQP，
则CP不与平面A′BM平行，故选项A错误；
对于选项B，设分别是的中点，
若，则AE＞DE，所以存在某一位置使得A′D⊥DE，
又因为MN⊥A′E，MN⊥DE，且A′E∩DE＝E，所以MN⊥平面A′DE，所以MN⊥A′D，
，所以A′D⊥平面BCNM，所以A′BC⊥平面BCNM，故选项B正确；
对于选项C，设分别是的中点，
若且二面角A′－MN－B的大小为120°，则△AMN为正三角形，
∠BMN＝120°，∠C＝60°，则BCNM四点共圆，圆心可设为点G，其半径设为r，
DB＝DC＝DM＝DN＝3，所以点G即为点D，所以r＝3，
二面角A′－MN－B的平面角即为∠A′ED＝120°，过点A′作A′H⊥DE，垂足为点H，
EH＝，DH＝，A′H＝，，
设外接球球心为，由，解得R2＝，
所以外接球的表面积为S＝4πR2＝61π，故选项C正确；
对于选项D，设分别是的中点，设是四棱锥的高.
S△AMN＝6λ6λ＝9λ2，
S△ABC＝66＝9，
所以S四边形BCNM＝9（1－λ2），则VA′－BCNM＝9（1－λ2）h≤3（1－λ2）A′E
＝3（1－λ2）3λ＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），
可设f（λ）＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），
则＝27（－3λ2＋1），令＝0，
解得λ＝，则函数f（λ）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，
所以f（λ）max＝f（）＝6，
则四棱锥A′－BCN体积的最大值为，故选项D正确.
故选：BCD
6．ACD
【分析】利用反函数的性质判断A；
结合反函数性质，求出的与直线相切的切线的切点坐标，由切点到直线的距离可得与图象上两点间的最短距离，从而判断B；
利用导数求得的最小值判断C；
根据函数与的单调性及反函数的性质，确定它们的交点个数，判断D．
【详解】由得，，所以是的反函数，它们的图象关于直线对称，A正确；
时，，，由得，，
所以函数的与直线平行的切线的切点是，到直线的距离是，所以，B错；
时，，则，是增函数，
，，所以在，即在上存在唯一零点，
，时，，时，，即在上递减，在上递增，所以，
，，所以，
由对勾函数知在上是减函数，，
所以，C正确；
时，是减函数，也是减函数，它们互为反函数，作出它们的图象，如图，易知它们有一个交点在直线上，在右侧，的图象在轴上方，而的图象在处穿过轴过渡到轴下方，之间它们有一个交点，根据对称性，在左上方，靠近处也有一个交点，因此函数与的图象有3个交点，所以有3个零点，D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查反函数的性质，导数与最值，导数的几何意义，函数的零点等知识．考查综合应用的能力．对于互为反函数的两个函数和的图象上两点间的距离的最小值问题转化为一个函数图象上的点到直线的距离的最小值，从而转化为求出与直线平行的切线的切点坐标即可得．函数的零点个数问题转化为两个函数的图象的交点个数，从而可利用反函数的函数图象的性质，结合图象的变化趋势得出结论．本题属于较难题．
7．ABD
【分析】对A，由导数法可得有两个极值点；
对B，由导数法可得的单调性，以及即可判断；
对C，由的单调性及极小值可判断最小值；
对D，原命题等价于对恒成立，令 ，由导数法得最小值，即可判断.
【详解】，由得，
故当，，在单调递增；当，，单调递减.
对A，由得，故有两个极值点，A对；
对B，，又当，，结合单调性可知，有2个零点，B对；
对C，由的单调性得，在取得极小值，又当，，故在取得最小值，C错；
对D，当，，即，即，即，故原命题等价于不等式对恒成立，
令 ，则，故在单调递减，故，故D对.
故选：ABD
8．2或
【分析】设切点，根据导数的几何意义可得切线方程，进而可得有且只有两个解，然后构造函数，利用导数研究函数的性质即得.
【详解】设切点，则，切线斜率为，
所以切线，
设，则，
∴，
令，则方程有且只有两个解，
所以，由，可得或2，
当变化时，的变化如下，
所以函数的极小值为，极大值为，
∴或，方程有且只有两个解，
即A的纵坐标为2或.
故答案为；2或.
9．
【分析】空一：利用三角函数的周期求解即可；空二：利用二倍角公式化简以后再求导，在一个周期内研究函数单调性即可求解．
【详解】空一：的周期为，的周期为，
的周期为
空二：由函数，
得，
令，解得或，
在函数的一个周期内，
当时，，此时，单调递增
当时，，此时，单调递减
当时，，此时，单调递增，
所以当或时，取到最大值，
则．
10．
【分析】方法一：由已知结正弦定理可得，从而可得＝2m[csC＋（－）sinC]，构造函数f（C）＝csC＋（－）sinC，利用导数求其最大值，从而结合三角函数的性质可得结果，
方法二：由已知结正弦定理可得，从而可得mb＋nc＝2m[csC＋（－）sinC]，构造函数f（C）＝csC＋（－）sinC，然后利用辅助角公式结合三角函数的性质可求得
【详解】法一：由题意可知，在中，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，
所以，
又B＋C＝，
则mb＋nc＝m2sinB＋n2sinC＝2m[sin（－C）＋sinC]
＝2m[csC－sinC＋sinC]
＝2m[csC＋（）sinC]，
设f（C）＝csC＋（）sinC，则f′（C）＝－sinC＋（）csC，
令f′（C）＝0，则－sinC＋（）csC＝0，
即tanC＝∈（0，），
所以∈，则∈（，2）．
法二：由题意可知，在中，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，
所以，
又B＋C＝，
则mb＋nc＝m2sinB＋n2sinC＝2m[sin（－C）＋sinC]
＝2m[csC－sinC＋sinC]
＝2m[csC＋（）sinC]，
设f（C）＝2m[csC＋（）sinC]＝sin（C＋），其中tan＝，
则当C＋＝，即C＝－时取到最大值，
则此时tanC＝tan（－）＝＝＝∈（0，），
所以∈，则∈（，2）．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查导数的应用，解题的关键是由正弦定理和三角函数恒等变换公式得到mb＋nc＝2m[csC＋（）sinC]，然后构造函数f（C）＝csC＋（）sinC，利用导数或三角函数的性质求出其最值，从而可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
11．
【解析】作出函数图像，求出m，n的范围，由题意得，即，将表示为关于n的函数，利用导数分析函数的单调性，求出函数在区间上的值域即可得解.
【详解】作出函数的图像如下图所示：
若存在实数满足，
根据图像可得，
所以，即，则，
令，
当时，，在区间上单调递增，
，，
所以，即.
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题.
12．6
【分析】先根据正余弦定理对原式进行化简得，再利用正弦平方差定理化简可得，然后，表示出，构造函数求最值即可得出答案.
【详解】根据题意，已知，由余弦定理得
，化简得
由正弦定理：
即 （正弦平方差）
整理可得：
即
设
因为为锐角三角形，所以
此时 即
所以=
令
当，f(x)递增；当，f(x)递减；
所以
故的最小值是6
故答案为6
【点睛】本题主要考查了正余弦定理以及与导函数的应用的综合题目，易错点在于前面的化简会用到正弦差定理，属于难题.
13．
【分析】先根据题意，求出的解得或，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情况讨论求出的取值范围.
【详解】解：令t=f（x），函数有3个不同的零点，
即+m=0有两个不同的解，解之得
即或
因为的导函数
，令，解得x>e，，解得0
f(x)的最大值为 ，且
且f(1)=0；
要使函数有3个不同的零点，
（1）有两个不同的解，此时有一个解；
（2）有两个不同的解，此时有一个解
当有两个不同的解，此时有一个解，
此时 ，不符合题意；
或是不符合题意；
所以只能是 解得
，
此时=-m，
此时
有两个不同的解，此时有一个解
此时 ，不符合题意；
或是不符合题意；
所以只能是解得
，
此时=，
综上：的取值范围是
故答案为
【点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.
14．
【分析】由⇒，又lnln（）＝lnlneln，令，则lnelnet﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，利用函数求导求最值．
【详解】∵正实数x，y，z满足3y2+3z2≤10yz，
∴⇒，
∵，∴lne，
lnln（）＝lnlneln，
令，
则lnelnet﹣lnt，t，
f（t）＝et﹣lnt，
f′（t）＝e0，则t，
可得f（t）在（）递减，在（）递增，
∴f（t）min＝f（）＝1﹣（﹣1）＝2，
即（ln）min＝2，
∴的最小值为e2，
故答案为e2．
【点睛】本题考查了利用函数的思想求范围问题，关键是将所求转化为已知自变量范围的函数解析式，利用求导得到最值，属于难题．
15．(1)，无极小值
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，令得，列表判断两边的导函数符号，进而可得答案；
（2）当时，设函数的两个极值点为，，可得，是方程的两根，则，，令，构造函数，，利用导数求解即可.
【详解】（1）当时，，
则
令，得，
列表：
所以，无极小值.
（2）
，
当时，设函数的两个极值点为，所以，是方程的两根，
则，，
不妨设，则
要证：，只要证：
只要证： 只要证： 只要证：
只要证： 令，，，即证：，
因为，所以在上单调递增，
所以，所以，得证.
【点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.
16．(1)
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）转化为时求，令，利用导数求出可得答案；
（2）求出，，可得，
时，，当时，，利用导数求出
时，取得最小值，且，可得答案；
（3）求出，，均存在极小值，，分、讨论得到在处取得极小值，再由导数判断出在上有唯一的零点，
且当时，存在极小值，当时，考察极值情形，，令，利用导数得到在上有唯一的零点，可得在处取得极小值.
【详解】（1）由，，
令，，
时，，时，
∴在上单调递减，上单调递增，
∴，
∴，
即的最大值为；
（2），∴，，
，，
时，，
当时，，
，令，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴时，取得最小值，
且，
∴为在定直线上运动；
（3），，均存在极小值，
，当时，，单调递增，不存在极小值，舍去，
当时，令，且在上单调递减；上单调递增，
∴在处取得极小值，
，，，
要使存在极小值，则，
此时，∴在上有唯一的零点，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴存在极小值，
当时，考察极值情形，
，
令，则，
当或时，；当时，，
∴在上单调递增；上单调递减；上单调递增，
因为，所以，，，
∴在上有唯一的零点，
且当时，，，单调递减；
当时，单调递增，
∴在处取得极小值，符合条件，
综上：实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于求参数的取值范围的问题，可以转化为求函数最值的问题，本题考查了利用导数解决求参数、函数的最值、函数零点的问题，考查了学生分析问题、解决问题以及运算的能力，属于难题.
17．(1)2
(2)
【分析】（1）由可求出，则，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值；
（2）令（），则，令，利用导数可求出其单调区间和最小值，然后分和讨论函数的零点即可.
【详解】（1）由，
所以，，令，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的极小值为；
（2），令（），
存在唯—的零点，，
令，，
令，
当时，；
当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
①若，即，
令，
所以，所以，所以，
即时，，所以在上递增，
注意到，所以存在唯一的零点，符合题意
②当时，，，
，
令，，
则，
因为，所以，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以
所以即在和上各有一个零点，，
在上递增，上递减，上递增，
而，所以，
，
当时，；
当时，，
而，，
所以在，和上各有一个零点，共3个零点了，舍去.
综上，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，考查利用导数解决函数零点问题，第（2）问解题的关键是对求导后，构造函数，利用导数求出其最小值后再讨论可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，，即可求得切线方程.
（2）成立，等价于，构造函数，利用导数求得最小值即可得出结果.
（3）令，可得当，单调递增，讨论当时，当时，函数的单调性进而可得的单调性，从而证得结果.
【详解】（1）
，且，则所以在处的切线方程为
（2）当时，，即当时，，当时，，即，令，
则，
因为，所以
当时，，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以，所以
所以实数的最大值为.
（3）令，
若，当，和都单调递增，所以单调递增，
①当，即时，则，则在上单调递增，而，所以当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以在处取极小值；
②当，即时，且，
单调递增，所以存在，使得，且时，，则在上单调递增，而，
所以当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以在处取极小值.
综上，当时，在处取极小值.
【点睛】关键点睛：本题考查用导数求函数的极值，考查零点存在定理，解题关键是需要导函数进一步求导，以便确定导函数的单调性与零点的存在性，从而得出函数的性质.本题属于较难题.
19．(1)；证明见解析
(2)[，＋）
【分析】（1）构造新函数去证明一个较为复杂的不等式是一个快捷方法；
（2）构造新函数去证明不等式，并不重不漏地进行分类讨论是本小题亮点.
【详解】（1）∵，x∈[0，π]，
∴，∴f(x)在[0，π]上单调递减，
∴．
要证，只要证，即证＞f(x)，
令g(x)＝，x∈[0，π]，则g′(x)＝，
故g(x)在（0，2）上单调递减；g(x)在（2，π）上单调递增，所以g(x)≥g(2)＝-，
又 f(x)≤-，且等号不同时取到，所以
（2）f(x)＋2ax3＋≥0，等价于xcsx－sinx＋2ax3≥0，
令h(x)＝xcsx－sinx＋2ax3，x∈[0，π]，则h′(x)＝－xsinx＋6ax2＝x（6ax－sinx），
令，则，
①当a≤－时，，∴在[0，π]上递减，∴，
∴h′(x)≤0，∴h(x)在[0，π]上递减，∴h(x)≤h（0）＝0，∴不合题意．
②当a≥时，，∴在[0，π]上递增，∴
∴h′(x)≥0，∴h(x)在[0，π]上递增，∴h(x)≥h（0）＝0，∴符合题意．
③当－＜a＜时，因为，，且在[0，π]上递增，
∴∈[0，π]，使得，
∴当x∈（0，x0）时，，此时在（0，x0）上递减，∴，
∴h′(x)＜0，∴h(x)在（0，x0）上递减，∴h(x)＜h（0）＝0，∴不合题意．
综上得：a∈[，＋）．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)分别对函数求导，利用导数求出函数的最值，结合最值相等即可求解；
(2) 设，，根据有两个零点，，可得：函数是增函数，则，进而将要证明的不等式转化为证，只需证，构造函数，利用导数取出函数的单调性即可证明结论.
【详解】（1）对函数求导可得：，令，可得：，
所以函数在上递增，在上递减，
则，又，所以，，
令，可得：，所以函数在单调递减，在单调递增，
则，
由题意可知：，，
所以m的值为．
（2）若有两个零点，，不妨设，
，设，，
由，得，
因为函数是增函数，所以，
则，设，则，，
欲证，即证，即证，
只需证（*）
设，，
，在上，，单调递减，
所以，所以，
令即得（*）成立，
从而，命题得证．
【点睛】思路点睛：根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由和，根据为的角平分线，得到，再与求解.
(2)由和，得到，再结合，得到求解.
【详解】（1）在中，，①
在中，，②
因为为的角平分线，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，
所以，，
所以的周长为.
（2）在中，，
在中，，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以
所以所以，
令，则，
则，，
，
当时， ，当 时， ，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，所以的取值范围为.
0
2
负
0
正
0
负
减函数
极小值
增函数
极大值2
减函数
+
0
↑
极大值
↓
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