2023-2024学年重庆市松树桥中学校九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市松树桥中学校九年级上册12月月考数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．
1．点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
3．反比例函数的图像在二．四象限，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．下列事件为随机事件的是（ ）
A．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等
B．在中，，则
C．方程是关于x的一元二次方程
D．一个菱形的对角线互相垂直
5．如图，已知正方形，以点为圆心，长为半径作，点与的位置关系为（ ）
A．点在外B．点在内C．点在上D．无法确定
6．某县推行“5＋2”课后服务以后，教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，平均工作时长为48.4小时，设这两周工作时长的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
8．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（ ）
A．6米B．5米C．4米D．1米
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．3B．2C．5D．
10．已知关于的两个多项式，．其中a为常数，下列说法：
①若的值始终与无关，则；
②关于x的方程始终有两个不相等的实数根；
③若的结果不含的项，则；
④当时，若的值为整数，则x的整数值只有2个．
以上结论正确的个数有( )
A．4B．3C．2D．1
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．已知关于的方程的一个根是，则的值是 ．
12．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.2左右，则袋子中红球有 个．
13．如图①是阳泉市城区平坦垴汉代古井遗址，该井为平面九边形的木构支护结构，井壁四周由两端加工成原始榫卯结构的柏木相互搭接成闭合的正九边形后，逐层垒砌．如图②是该古井的平面示意图，则 ．
14．在平面直角坐标系内，如图，矩形的点，在轴正半轴上，是的中点，是边上一点，反比例函数经过点．若，，，则的值为 ．
15．如图，扇形纸片的半径为2，沿折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为 ．
16．下图是，二次函数的图象，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是 ．
17．若整数使得关于的不等式组有解，且使得关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
18．材料：如果一个四位自然数M各个数位上的数字都不为0，把它前两位数字组成的两位数记为x，后两位数字组成的两位数记为y，规定：，，当为整数时，称这个四位数M为“励志数”，则 ；若“励志数”，（，，，a，b，c为整数），且除以7余数为2，则 ．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分；20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（1）解方程：；
（2）计算：．
20．如图，四边形是平行四边形．
(1)用尺规完成下列基本作图：在上取点E，使，连接，作的平分线交于F；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)根据（1）中作图，求证：，补充完成下列证明过程（答案填写在答题对应标号位置）．
证明：∵平分，∴______，
∵四边形是平行四边形，∴，，
∴______，
∴，∴______，
∵，∴，
∵，∴______，
∵，∴四边形为______，∴．
21．为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，分别用、、、表示：下图是受损的调查统计图，根据图上残存信息解决以下问题：
(1)求参与问卷调查的学生人数，并将条形统计图补充完整；
(2)全校共有学生人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于小时的学生人数；
(3)某小组有名同学，等级人，等级人，从中任选人向老师汇报兴趣活动情况，请用画树状图或列表法求这人均属等级的概率．
22．如图，已知为的直径，是的切线，A为切点，C为点，连接、，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长．
23．第届冬奥会在北京正式开幕，奥运吉祥物为“冰墩墩”和“雪容融”．韶光专卖店看准商机，立即推出这两款吉祥物．每个“冰墩墩”的售价是元，每个“雪容融”的售价是元，该店在月份售出这两款吉祥物共个，销售总额为元．
(1)求1月份该店售出的“冰墩墩”和“雪容融”各多少个；
(2)该店决定从月日起推出“绿色冬奥．向未来”优惠活动．月份，每个“冰墩墩”的售价与月份相同，销量在月份基础上增加了个；每个“雪容融”的售价在月份的基础上降价元，销量比月份增加了个．据统计，该店在月份的销售总额比月份的销售总额增加元，求正实数的值．
24．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线→→运动，运动的路程为，当它到达点时停止，若点是射线上一点，且，连接，设，．
(1)直接写出，与的函数关系式，并注明的取值范围．
(2)在给定的直角坐标系中直接描点画出，的函数图像，并写出函数的一条性质．
(3)结合和的函数图像，当时，写出的取值范围．（误差不超过）
25．如图1，已知直线与x轴相交于点C，抛物线经过不同的三个点，，C（点A在点B的左边）．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当点A位于x轴的上方，过点A作交直线于点P，以为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值，并求出此时点A的坐标．
(3)如图2，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到新的抛物线，新的抛物线与原抛物线相交于点D，与y轴相交于点E，点N是平移后新抛物线对称轴上一点．点M是坐标平面内一点，当以D、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，直接写出所有点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标过程写出来．
26．在中，，过点作于点，点为线段的中点，连接．
(1)如图，，，求的长．
(2)如图，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时，连接，点为的中点，连接，求证：．
(3)如图，，，点是线段上一点，连接，将沿翻折到同一平面内得到，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：横、纵坐标均取相反数可直接得到答案．
【详解】解：点A（1，2）关于原点对称的点的坐标是（-1，-2），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
2．B
【分析】如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．依据中心对称图形的概念即可解答．
【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
3．A
【分析】本题主要考查了正比例函数的图像与所经过的象限的问题，熟练掌握正比例函数性质是解题的关键，根据正比例函数的图像经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像在二．四象限，
∴，
∴．
故选：A．
4．C
【分析】此题考查了随机事件的定义，熟练掌握定义即旋转图形的性质，直径的定义，一元二次方程的定义，三角形内角和定理是解题的关键．可能发生也可能不发生的事件是随机事件，根据定义判断．
【详解】解：A，一个图形旋转后所得的图形与原来的图形全等，是必然事件，不符合题意；
B、在中，，则，是不可能事件，不符合题意；
C、当时，方程是一元二次方程，当时，不是一元二次方程，
∴方程是一元二次方程，是随机事件，符合题意；
D、一个菱形的对角线互相垂直，是必然事件，不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】设正方形的边长为，用勾股定理求得点到的圆心之间的距离，为的半径，通过比较二者的大小，即可得到结论．
【详解】解：设正方形的边长为，
则，，
，
点在外，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点到圆心之间的距离的大小关系．
6．B
【分析】利用第三周的平均工作时长=第一周的平均工作时长×（1+这两周工作时长的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．B
【分析】根据旋转的性质，得到∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，根据平行线的性质得到∠C1AB1+AB1B＝180°，然后由等腰三角形的性质，即可得到结论.
【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，
∴∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，
∵BB1∥AC1，
∴∠C1AB1+AB1B＝180°，
∴∠AB1B＝80°，
∵AB＝AB1，
∴∠ABB1＝∠AB1B＝80°，
∴∠BAB1＝20°，
∴∠CAC1＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
8．B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解．
【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，
设抛物线解析式为，将点代入，得
解得
∴抛物线解析式为：
令，解得（负值舍去）
即，
．
故选：B．
9．C
【分析】连接．先判定，即可得到．再根据，，利用勾股定理即可得到，中，，进而得出的长．
【详解】解：如图，连接．
与关于所在的直线对称，
，．
按照顺时针方向绕点旋转得到，
，．
，
．
．
（SAS）．
．
四边形是正方形，
．
，
．
在中，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
10．B
【分析】根据，的值始终与x无关，可得；根据，利用判别式，可得关于x的方程始终有两个不相等的实数根；根据，当时，的结果不含的项；④根据，由的值为整数，可得，求出x的值．
【详解】解：①∵，，
∴，
∵的值始终与x无关，
∴，故①不符合题意；
②，
∵，
∴关于x的方程始终有两个不相等的实数根，
故②符合题意；
③，
∵的结果不含的项，
∴，
解得；故③符合题意；
④当时，，
∴，
∵的值为整数，
∴，
解得或，故④符合题意；
综上，②③④符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的加减乘除运算法则，一元二次方程判别式与根的关系是解题的关键．
11．
【分析】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．将代入中，即可求出的值．
【详解】解：将代入中
可得：
解得
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查了根据数据描述求频数，理解题意，正确列式计算是解题的关键．根据红球出现的频率和球的总数，进行计算即可得到红球的个数．
【详解】解：根据题意得：（个），
袋子中的红球有2个，
故答案为：2．
13．##度
【分析】本题考查了正多边形的内角，解题的关键在于熟练掌握正多边形的内角和公式．根据正边形的内角为可求得和，再利用四边形的内角和公式即可得解．
【详解】解：如下图，
由题意得,
∵，
∴，
故答案为．
14．
【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点，得出，进而求出的值，即可得出答案．
【详解】解：∵是矩形，
∴,
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
设，则，
∵、都在反比例函数图像上，
∴，
即，
解得：，
则，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理，求反比函数的解析式，矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
15．
【分析】根据折叠的想找得到，推出四边形是菱形，连接交于D，根据等边三角形的性质得到，求得，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：沿折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，
∴，
∵，
∴四边形是菱形，
连接交于D，则，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
16．
【分析】先利用二次函数的性质得到时，有最大值，在计算出时，，由于关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解可看作抛物线与在内有公共点，然后利用函数图像可得到的取值范围；
【详解】，
当时，有最大值，
当时，，
关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解可看作抛物线与在内有公共点，
∴的取值范围是；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．
17．36
【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，正确掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．根据不等式组有解，得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围，解分式方程得且，根据“为整数，且分式方程有正整数解”，找出符合条件的的值，相加后即可得到答案．
【详解】解：
解不等式组得，
∵该不等式组有解，
∴，
解得：，
解分式方程得，
且，
∵为整数，且分式方程有正整数解，
∴的值为：，，，
∴，
即满足条件的所有整数之和为．
故答案为．
18． 4 1229
【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，整式的加减运算，正确理解“励志数”的定义是解题的关键．根据新定义求出和，然后相减即可求得；根据新定义首先求出和，然后根据除以7余数为2，求出b，c可能的取值，再分别代入，根据为整数进行验证即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
∵，
∴，，
∴，
，
∵除以7余数为2，
∴能被7整除，
∴能被7整除，
∵，，
∴，
∴或7，
∴或或或，
当时，，
∵当时，不是整数，
∴此情况不合题意；
当时，，
∵当时，是整数，符合题意，
∴；
当时，，
∵当时，不是整数，
∴此情况不合题意；
当时，，
∵当时，不是整数，
∴此情况不合题意；
综上，，
故答案为：4,1229．
19．（1），；（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据公式法求解一元二次方程即可；
（2）先算异分母的减法，再计算除法，即可求解．
【详解】解：（1）
，
∴，
∴，
∴，；
（2）
．
20．(1)见详解
(2)，，，，平行四边形
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质以及尺规作图，
（1）以点D为圆心，长为半径画圆交交点为E，再以点C为圆心任意长为半径画弧交和，以交点为圆心大于交点为半径画弧，连接点C和交点交即为点F；
（2）根据角平分线性质得，由平行四边形性质得和，得到，有，进一步得到，即可判断四边形为平行四边形，有结论成立．
【详解】（1）解：如图，
（2）∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
21．(1)，补条形统计图见解析；
(2)人；
(3).
【分析】（1）利用抽查的学生总数等级的人数除以对应的百分比计算，求出总人数，即可求等级的人数，从而即可画出条形统计图；
（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于小时的学生所占的百分比，即可求解；
（3）设等级人分别用表示，等级人分别用表示，画出树状图，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：；
∴等级的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于小时的学生人数为
（人）；
（3）解：设等级人分别用表示，等级人分别用表示，随机选出人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：
一共有中等可能结果，其中人均属等级的有种，
∴这人均属等级的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画条形统计图以及树状图法和列表法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用等腰三角形的性质得到，，所以，然后根据切线的判定得到结论；
（2）连接，先利用等腰三角形的性质求得，再根据切线的性质求得，根据圆周角定理得到，最后根据弧长公式得到的长．
【详解】（1）证明：连接，如图，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是的切线；
（2）解：连接，如图，
是的直径，
，
∵，，
∴，
，
，
∵，
∴，
的长．
23．(1)月份该店售出的“冰墩墩”个，则售出“雪容融”个；
(2)．
【分析】本题主要考查了一元一次方程及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设月份该店售出的“冰墩墩”个，则售出“雪容融”个，根据题意列一元一次方程并求解即可；
（2）根据题意列出方程并整理、求解即可求得正实数的值．
【详解】（1）解：设月份该店售出的“冰墩墩”个，则售出“雪容融”个，
根据题意，可得，
解得，
∴，
即月份该店售出的“冰墩墩”个，则售出“雪容融”个；
（2）解：根据题意，可得，
整理，可得，
解得（舍去），
∴正实数的值为．
24．(1)，；
(2)作图见解析，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小．
(3)或．
【分析】（1）根据三角形面积公式可得；然后分当点在上，即时，当点在上，即时，两种情况利用三角形面积公式求出关于的函数关系式即可；
（2）先描点，再连线，最后根据所画函数图象写出函数的一条性质即可；
（3）根据的两个交点，利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
当点在上，即时，；
当点在上，即时，；
综上所述，；
∴，；
（2）解：如图所示， 即为所求；

当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小．
（3）解：由函数图象可知当时，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和反比例函数的图象综合，解答本题的关键利用数形结合的思想解答．．
25．(1)
(2)A
(3)或或
【分析】（1）因为点A点B的纵坐标相等，所以横坐标相加除以2就是这个抛物线的对称轴，由此可以解出b的值．再根据题意求出C的坐标代入抛物线的解析式，可求得c的值．代入解析式即可．
（2）设点A，点B，点P，矩形的周长，代入得关于m的二次函数，把它化成顶点式．当时，矩形的周长最小，把m的值代入点A即可．
（3）根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，进而求出的坐标，设，，分分别为对角线时，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
∵，当时，，
∴，
把代入抛物线解析式，得
解得：
∴抛物线；
（2）设点A，点B，则：点P，
∴，，
矩形的周长
，
∴当时，矩形的周长最小，
∴此时点；
（3）∵，
∴将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到新的抛物线的解析式为∶
，
∴对称轴为，当时， ，
∴，
联立，解得：，
∴，
设，，
当以D、E、M、N为顶点的四边形是菱形时，分三种情况进行讨论：
①当为对角线时：则：，
∴，
∴，
∴，
∴，解的：，
∴；
②当为对角线时，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，此方程没有实数根，不符合题意；
③当为对角线时，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
综上：或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的平移，矩形的性质，菱形的性质．综合性强，难度大，属于中考压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
26．(1)；
(2)见解析；
(3).
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质求出，则；
（2）过点作于点，过点作于点．连接，则，先证明，进一步证明，再证明，即可证明，得到，则，再证明，即可证明；
（3）如图3中，以为边向上作等边三角形，连接，证明，得到，则，求出，则的最小值为，此时．．共线，作于点，利用等面积法求出，则此时的面积．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴；
（2）证明：过点作于点，过点作于点．连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图3中，以为边向上作等边三角形，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，此时．．共线，
作于点，
∵，
∴，
∴此时的面积．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．