福建省泉州市永春第一中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题

这是一份福建省泉州市永春第一中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共40分）
1．下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列5个数：、 、 、、中，无理数出现的频数是（ ）
A．2B．3C．D．
4．体现小颖同学从小学到初中身高变化情况，最适合的是（ ）
A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．以上均可
5．对于命题“若，则”，作为反例能说明该命题是假命题的a值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，根据尺规作图的痕迹，计算的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则的值为（ ）
A．3B．2C．6D．
9．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分剪成两个直角梯形后再拼成一个等腰梯形（如图②），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）

A．B．
C．D．
10．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转至，点C的对应点为点D，连接，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共24分）
11．化简： ．
12．若、满足，则代数式的值为 ．
13．等腰三角形两条边长分别为和，则该等腰三角形的周长为 ．
14．如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则 .
15．在中，，的角平分线与边所夹的锐角为，则 度．
16．如图，点在正方形外，连结、、，过点作的垂线交于点．若，，则下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）因式分解：
(1)；
(2)．
19．（8分）先化简，再求值：，其中，．
20．（本题8分）如图，，，，点在边上，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
21．（本题8分）如图，在中，.
(1)尺规作图：在上作一点D，使得.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，求的值.
22．（本题10分）菲菲每个月的零花钱主要用于乘坐公交、购买学习资料、买零食、买饮料四个项目．乘坐公交、购买学习资料是必须的，称为“必支”，零食、饮料可有可无，称为“可支”，年月份菲菲四个项目的开支如统计表和扇形统计图所示．规定：．
(1)根据表中数据和扇形统计图信息，计算年月：
①a的值；②扇形统计图中，零食开支所占圆心角的度数；
八年级下学期是初中学习关键的一学期，菲菲打算在年元月起，多购买些学习资料，加大课外阅读．经过认真盘算：每月节省下来的零食开支，刚好满足该月学习资料费用增加的一半，而且每月购买零食的总开支不会少于元，确保生活品质，学习资料费用增加的另一半可以通过多骑自行车来实现，求a的取值范围．
23．（本题10分）如图，为了节省材料，某公司利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为104米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形（四边形，四边形，四边形都是长方形）组成的长方形区域，若米．
(1)用含a的代数式表示的长；
(2)求长方形面积的最大值．
24．（本题13分）若一个正整数可以表示为，其中为大于的正整数，则称为的“十字数”，为的“十字点”．例如，则称为的“十字数”，为的“十字点”．
(1)“十字点”为的“十字数”为___________；的“十字点”为___________．
(2)若是的“十字点”，且能被整除，其中为大于的正整数，求的值；
(3)的“十字点”为，的“十字点”为，当时，求的值．
25．（本题13分）在中，，将线段绕点C旋转，得到线段，连接.
(1)如图1，将线段绕点C逆时针旋转，则________；
(2)如图2，将线段绕点C顺时针旋转时，
①求证：；
②若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连接，如图3.用等式表示线段之间的数量关系，并证明.
金额
项目
金额（单位：元）
乘坐公交
学习资料
购买零食
购买饮料
永春一中2023年秋八年级数学质量检测12月参考答案：
1．C
【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的性质和运算法则，逐一计算后，判断即可．
【详解】解：A、，选项错误；
B、不能合并，选项错误；
C、，正确；
D、，选项错误；
故选：C．
2．A
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、，故选项正确；
B、，故选项不正确；
C、，故选项不正确；
D、，故选项不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，正确计算是解题的关键．
3．A
【分析】根据无理数是无限不循环小数找出5个数中的无理数，进而可求解．
【详解】解：∵，，
∴所给5个数中，、是无理数，有2个，
∴无理数出现的频数是2，
故选：A．
【点睛】本题考查无理数的判断、频数，理解无理数和频数的概念，正确找出无理数是解答的关键．
4．B
【分析】根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断即可．
【详解】解：体现小颖同学从小学到初中身高变化情况，则最适合的统计图是折线统计图．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了统计图的选择．根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
5．A
【分析】把数值代入逐一判断即可解题．
【详解】解：A.当时，，故符合题意；
B.当时，，故不符合题意；
C.当时，，故不符合题意；
D.当时，，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查命题，说明一个命题是假命题可以举反例即可．
6．A
【分析】根据图像，明确是线段的中垂线和的角平分线相交构成的锐角即可解题．
【详解】由图可知，是线段的中垂线和的角平分线相交构成的锐角，
∵，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了尺规作图，属于简单题，熟悉尺规作图的方法是解题关键．
7．D
【分析】本题考查了三角形的全等方法，解题的关键是熟练掌握三角形的判定方法有“”．
【详解】解：在和中，
,
当时，根据，能判定，故A不符合题意；
当时，根据，能判定，故B不符合题意；
当时，根据，能判定，故C不符合题意；
当时，不能判定，故D符合题意；
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】∵
∴，
∴
，
故选C．
9．D
【分析】根据图中边的关系，可求出两图阴影的面积，而两图面积相等，从而推导出等式．
【详解】左阴影的面积，右平行四边形的面积，
两面积相等所以得到等式．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是求出两图的面积，而两图面积相等，从而推导出了平方差的公式．
10．C
【分析】延长到点E使得，则，进而得出，根据三角形外角的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点B逆时针旋转至，
∴，
延长到点E使得，则
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
∴，即
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．6
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的计算，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义“如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0”，和立方根定义，“如果一个数x的立方等于a,那么这个数x就叫做a的立方根”．
【详解】解：．
故答案为：6．
12．-6
【分析】根据方程组中x+2y和x-2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．
【详解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，
∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，
故答案为：-6．
【点睛】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．
13．/19厘米
【分析】根据等腰三角形的定义，分类讨论，当的边为腰和底时，分别计算其周长即可．
【详解】解：当的边为腰时，
∵，围不成三角形，不符合题意；
当的边为底时，该等腰三角形的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
14．45
【分析】取网格上的点C、D、E，连接．利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，再利用勾股定理及其逆定理求得，即证明为等腰直角三角形，便可解答．
【详解】解：如图，点C、D、E是网格线交点，连接，
由图可得，
∴，
∴，
∴，
∴；
设小网格的边长为a，由勾股定理可得：，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：45．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．结合图形构造直角三角形是解题关键．
15．或
【分析】根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到，当时，根据三角形外角的性质得到，即可求得，代入即可得到答案；当时，根据三角形内角和定理得到，即可求得，代入即可得到答案．
【详解】解：设的角平分线交于点，
①当时，如图1所示：

，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图2所示：

，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．
16．①②④
【分析】利用正方形和，证得，利用即可证，得到，结合三角形的外角的性质，即可证得，过点作，交的延长线于，利用勾股定理求得、，结合是等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理可求，连接，根据，即可求得面积．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，故①正确；
∴，
∵，，
∴，即，故②正确；
过点作，交的延长线于，则的长即点到直线的距离，
∵，，
∴，，
在中，，，
∴，
∵，，则，
∴，则，
在中，，
∴，故③不正确；
连接，
，
故④正确；
综上，正确结论的序号是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形．
17．
【分析】先计算立方根、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，再进行加减运算即可．
此题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解：
（1）利用提公因式法即可求解；
（2）利用公式法即可求解；
熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
【详解】（1）解：原式．
（2）原式．
19．，
【分析】本题考查整式乘除与化简求值，正确运用法则去括号展开合并是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式．
20．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．
（1）由“”可证；即可求解；
（2）由全等三角形的性质可得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：
∵，
∴；
（2）解：∵，
∵，，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用尺规作出的中垂线，中垂线与的交点，即为所求；
（2）连接，先求出，根据直角三角形的性质以及勾股定理，即可求解．
【详解】（1）如图，点D即为所求；
（2）连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴
在中，
∴
∴
【点睛】本题主要考查尺规作图以及直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，是解题的关键．
22．(1)①；②；
(2)．
【分析】（1）①由，将表中数据带入计算即可；②用乘以零食开支所占的比例即可；
（2）设每月节省零食开支为元，则学习资料增加元，乘坐公交费用为元，且即，求出，解出，代入中即可求出a的取值范围．
【详解】（1）解：①由题意可知，
；
②零食开支所占圆心角的度数为：
；
（2）解：设每月节省零食开支为元，则学习资料增加元，乘坐公交费用为元，
且，
即
，
即：，
解得：，
即，
，
解得：．
【点睛】本题考查了求扇形统计图的圆心角度数，分式方程的实际应用，解不等式组；解题的关键是理解题意，正确列式计算．
23．(1)米
(2)平方米
【分析】（1）根据三块小长方形的面积相等，即得出，进而得出，再根据总长为104米，即可求出米，从而可求出的长；
（2）由长方形的面积公式可列出等式，整理得：，再根据平方的非负性，即得出，从而得出有最大值为平方米．
【详解】（1）∵三块小长方形的面积相等，
∴，
∴．
∵总长为104米，
∴，
∴，
解得：米，
∴米；
（2），
∵，
∴当时，有最大值为平方米．
【点睛】本题考查整式混合运算的应用，平方非负性的应用．理解题意，列出算式或等式是解题关键．
24．(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据十字点的定义计算即可，根据十字点的定义得出即可求解；
（2）先根据得出，再根据a能被整除，得出的值，即可求出的值；
（3）根据已知得出（且为正整数），（且为正整数），再根据得出，从而得出 或，解之即可得出、，继而得出答案．
【详解】（1）解： “十字点”为7的“十字数”为，
∵，
∴的“十字点”为；
（2）∵是的“十字点”，
∴(且为正整数)，
∴，
∵能被整除，
∴能整除2，
∴或，
∵，
∴，
∴；
（3）∵的“十字点”为，
∴(且为正整数)，
∵n的“十字点”为q，
∴(且为正整数)，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，且、为正整数；
，；
；
，
∴ 或；
解得：(不合题意舍去)，；
∴
【点睛】本题考查因式分解的应用；能够理解题意，根据题中所给条件将数进行正确的拆解是解题的关键．
25．(1)
(2)①见解析②，证明见解析
【分析】（1）由及旋转角、等腰三角形的性质可分别求得,，则由和角关系即可求得的度数；
（2）①由及旋转角、等腰三角形的性质可分别求得,，则由差角关系即可求得的度数；
②过点C作于点C，交的延长线于点H，证明B，是等腰直角三角形，推出，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论．
【详解】（1）解：由题意得：，
，
∴，
∴
故答案为：；
（2）①由题意得：，，
∴，
∴
②．理由如下：
过点C作于点C，交的延长线于点H，如图：
∵，是的平分线，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
由①知，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和等腰直角三角形解决问题．