福建省泉州市永春县福建省永春第一中学2024-2025学年八年级上学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知x＝2是关于x方程3x+a＝0的一个解，则a的值是（ ）
A. ﹣6B. ﹣3C. ﹣4D. ﹣5
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的解的定义，把方程中的未知数x换成2，再解关于a的一元一次方程即可．
【详解】解：根据题意将x=2代入得：6+a=0，
解得：a=-6．
故选A．
【点睛】本题考查了方程解的含义和解一元一次方程，方程的解，就是能使等式成立的未知数的值．
2. 第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日-8月11日在法国巴黎举行，下列四个本届运动会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．解题的关键是掌握：轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此分析即可得解．
【详解】解：A．此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．此图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的不等式的性质．根据不等式的基本性质判断即可．
【详解】解：A. 若，则，故该选项不正确，不符合题意；
B. 若，则，故该选项不正确，不符合题意；
C. 若，则，故该选项不正确，不符合题意；
D. 若，则，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可能是（ ）
A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形
【答案】C
【解析】
【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能.
【详解】解：因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
所以小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正五边形.
故选C
【点睛】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案.
5. 的算术平方根等于（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，计算，由此解答即可，正确掌握算术平方根的定义：一个正数的平方等于a，则这个数是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴的算术平方根是，
故选：．
6. 如图，的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知，，由此不难证明结论．
【详解】解：如图，

∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
7. “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有只，兔有只，则所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由设鸡有只，兔有只，则由等量关系有35个头和有94条腿列出方程组即可得到答案．
【详解】解：设鸡有只，兔有只，则由题意可得
，
故选：B．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解决古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程组是解决问题的关键．
8. 三个边长分别为a，b，c（）的正方形按如图放置，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，根据列代数，并化简即可．
本题主要考查了利用割补法列代数式求阴影部分的面积，正确的列出代数式，并且熟练掌握整式的运算是解题的关键．
【详解】解：如图，
．
故选：B
9. 若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式组的解集，再根据不等式组至少有4个整数解，求得，解方程组可得，，根据方程组的解为整数，求出所有满足条件的整数的个数即可．
【详解】
故不等式组的解集为
∵不等式组至少有4个整数解
∴
解得
①②得
解得
①②得
解得
∵方程组的解为整数
∴为整数，为整数，且
∴
∴所有满足条件的整数的个数是3
故答案为：D．
【点睛】本题考查了不等式组和方程组的整数解的问题，掌握解不等式组和方程组整数解的方法是解题的关键．
10. 如图，，，点A为上一定点，点C为上一动点，B，D为上两动点，当最小时，（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，作点A关于的对称点F，作点D关于的对称点E，连接，由轴对称的性质可得，则，故当四点共线且时，最小，即此时最小，利用三角形内角和定理求出，，进而求出，利用三角形外角的性质求出，则，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点F，作点D关于的对称点E，连接，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴当四点共线且时，最小，即此时最小，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故选B
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正确作出辅助线确定取得最小值的情形是解题的关键.
二、填空题
11. 由，可以得到用x表示y的式子是 ___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的变形，熟知等式的性质是解题关键．先移项得，系数化1即可求解．
【详解】解：，
移项得 ，
系数化1得．
故答案为：
12. 不等式解集是，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质以及解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．把不等式两边除以时不等号方向改变了，则，然后解关于的不等式即可．
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴，
解得，即的取值范围是．
故答案为：．
13. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是_______．
【答案】120厘米
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，
根据题意得：，
解得：，
则每个小长方形的周长（厘米），
故答案为：120厘米．
14. 已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】首先把关于，的方程组整理为，再根据关于，的二元一次方程组解为，得出，解出即可．
【详解】解：方程组整理为，
关于，的二元一次方程组解为，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，其中方程的转化是解题关键．
15. 如图，在中，，，点从点出发沿CA方向向点运动，过点作于点，过点作交AB于点，若为直角三角形，则的度数为_________．
【答案】或90°
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质及判定，垂线，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键．证明，得，进而得，为直角三角形时，只能或，分当时，和当时，两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形时，只能或，
当时，
∵，
∴，
当时，
∵，
∴，
故答案为：或90°．
16. 某工厂为扩大生产规模，决定分三批采购A，B，C三种型号的设备，以加大生产力度，已知B型设备的单价是A型设备单价的2倍．第一批购进A，B，C三种设备的数量分别为10台，10台，15台，第二批购进A，B，C三种设备的数量分别比第一批对应数量增加了，采购总价比第一批采购总价提高了，第三批购进三种设备的总数量是第一批的倍，其中采购C型设备的数量最多，采购A型设备的数量最少，同时第三批的采购总价是第二批采购总价的倍，则该工厂第三批采购的A型设备与C型设备数量之比是______．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查三元一次方程及不等式组的应用，设A型设备的单价为x，C型设备的单价为y，则B型设备的单价为，根据题意列出方程得出，设第三批购进a台A型设备，b台B型设备，c台C型设备，列出方程组及不等式组求解即可，理解题意，分析清楚各个变量之间的关系是解题关键．
【详解】解：设A型设备的单价为x，C型设备的单价为y，则B型设备的单价为，
根据题意得：
，
∴，
设第三批购进a台A型设备，b台B型设备，c台C型设备，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
∵a，b，c均为正整数，
∴，b，均为正整数，
∴，
∴，
∴第三批采购A型设备与C型设备数量之比是，
故答案为：．
三、解答题
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
18. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握解不等式组的步骤是解题的关键．
【详解】解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了乘方，实数的混合运算、算术平方根，立方根，先化简算术平方根、立方根、绝对值，乘方，再运算加减，即可作答．
【详解】解：
20. 如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
（1）补全；
（2）画出中线；
（3）画出边上的高线；
（4）在平移过程中，线段扫过的面积为______．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）画图见解析
（4）
【解析】
【分析】（1）根据题意，将的三个顶点向左平移4个单位，向下平移2个单位得到对应的点，然后进一步连接起来即可；
（2）连接C点与的中点即可；
（3）取格点，满足，连接交的延长线于即可；
（4）结合图形可知，线段扫过的面积为，据此进一步加以计算即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
；
【小问2详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问3详解】
解：如图，取格点，满足，连接交的延长线于，
则线段即为所求；
【小问4详解】
解：，
∴．
即线段扫过的面积为16．
【点睛】本题主要考查了画平移图形，图形的平移的性质，画三角形的高，求解网格三角形的面积，熟练画图是解题关键．
21. 阅读下面的文字：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分．
又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是．
根据以上资料，请解答下列问题：
（1）的整数部分是__________，小数部分是__________；
（2）如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值；
（3）已知：x是的整数部分，y是其小数部分，求的值．
【答案】（1）3，
（2）的值为3
（3）
【解析】
【分析】本题考查估算无理数的大小，实数的混合运算，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；
（3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出的大小，确定x、y的值，再代入计算即可．
【小问1详解】
解：，而，
的的整数部分为3，小数部分为
故答案为：3，；
【小问2详解】
，，
的整数部分为2，小数部分，的整数部分为，
，
的值为3；
【小问3详解】
，而，
，
，
的整数部分，小数部分，
．
22. 若关于二元一次方程组的解的值大于0．
（1）求的取值范围；
（2）若的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为15，求的值．
【答案】（1）；
（2）5或4
【解析】
【分析】主要考查了等腰三角形性质，方程组的解的定义和不等式组的解法．理解方程组解的意义用含a的代数式表示出x，y，找到关于x，y的不等式并用a表示出来是解题的关键．
（1）先解方程组，用含a的代数式表示x，y的值，再代入有关x，y的不等关系的式子中，得到关于a的不等式组求解即可；
（2）首先用含a的式子表示x和y，由于x、y的值是一个等腰三角形两边的长，所以x、y可能是腰也可能是底，分情况列方程即可解决，注意应根据三角形三边关系验证是否能组成三角形．
【小问1详解】
解：解，得，
∵的值大于0
∴，
解这个不等式组，得；
【小问2详解】
∵的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，这个等腰三角形的周长为15，
∴，或，
由
解得：，
∴，
∴4，4，7能组成三角形，
由，
解得：，
∴，
∴3，6，6能组成等腰三角形，
∴a的值是5或4．
23. 实践与探索
观察发现：某数学兴趣小组在学习了旋转对称图形后，自制了一个模拟钟面，如图所示，O为模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针、分别从、出发绕点O转动，转动速度为每秒，转动速度为每秒，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒，请你试着解决他们提出的下列问题：

（1）如图1，若顺时针转动，同时逆时针转动，当_______秒时，与第一次重合；
（2）如图2，若、同时顺时针转动，当_______秒时，与第一次重合；
拓展迁移：
（3）小明每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼，两人沿400米跑道跑步，小明与叔叔跑步速度之比为．一天，两人在同地同时反向而跑，小王看了一下记时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇，第二天小明打算和叔叔在同地同时同向而跑，若两人每天的跑步速度保持不变，请你帮小明预测一下，他隔多长时间与叔叔首次相遇？
【答案】（1）7.2
（2）12
（3）小明隔160秒与叔叔首次相遇
【解析】
【分析】此题主要考查了旋转相遇问题和一元一次方程的应用，解题的关键是抓住同向和相向旋转的方向以及其相差的角度列方程，求解即可．
（1）根据题意可知两针相遇，可知两针总共转出了可列方程求解；
（2）根据题意可知两针重合，可知两针走过的路程差为可列方程求解；
（3）设小明的速度为，根据相遇问题列方程求出两人的速度，然后根据追击问题计算即可．
【详解】（1）解：由题可得：，
解得，
故答案为：；
（2）解：由题可得：，
解得，
故答案为：；
（3）设小明的速度为，则叔叔的速度为，
32(，
解得，
∴小明的速度为，则叔叔的速度为，
同地同时同向而跑首次相遇时间为，
答：小明隔与叔叔首次相遇．
24. 根据以下信息，探索完成任务：
【答案】（1）8件，4件；（2）共有三种方案，①使用熟练工10人，招聘新工人3人，②使用熟练工9人，招聘新工人5人，③使用熟练工8人，招聘新工人7人；（3）3名
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的解的应用，任务一：设每名熟练工和新工人每天分别可以生产x件工艺品，y件工艺品，根据题意列出方程组即可得出答案；
任务二：设使用熟练工a人，招聘新工人b人，根据题意列出方程式，再根据a、b的范围，即可得出答案；
任务三：分别求出三种方案需要的费用，比较即可得出答案．
【详解】解：任务一：设每名熟练工和新工人每天分别可以生产x件工艺品，y件工艺品，
，
解得：，
答：每名熟练工和新工人每天分别可以生产8件工艺品，4件工艺品．
任务二：设使用熟练工a人，招聘新工人b人，
由题意得，，
即，
∵，且a、b为正整数，
∴，5，7，
∴共有三种方案，①使用熟练工10人，招聘新工人3人，②使用熟练工9人，招聘新工人5人，③使用熟练工8人，招聘新工人7人．
任务三：①（元），
②（元），
③（元），
答：为了节省成本，应该招聘新工人3名．
25. 定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形．
（1）已知四边形是对补四边形．
①若，则 ．
②如图①，的平分线分别与相交于点E、F，且，求证：；
（2）如图②，在四边形中，对角线，交于点E，且平分，，平分，与交于点F，且于点G，则四边形是对补四边形吗？请说明理由；
（3）已知四边形是对补四边形，其三个顶点A，B，D如图③所示，连接，．若平分，平分，且直线，交于点O（与点C不重合），请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）①115；②见解答；
（2）四边形是对补四边形，证明见解析；
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和与外角性质是解题的关键．
（1）①由对补四边形的定义：有一组对角互补，进行计算即可得到答案；
②由对补四边形的定义及角平分线的定义可得，由同角的余角相等可得，从而即可得证；
（2）由角平分线的性质、三角形外角的定义以及同角的余角相等可求得，从而即可得到四边形是对补四边形；
（3）根据题意画出图形，再根据对补四边形的定义、角平分线的性质、四边形的内角和为，以及三角形外角的定义，进行计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：①四边形是对补四边形，，
．
故答案：；
②证明：，
又四边形是互补四边形，
，
分别平分，
，
，
，
在中，，
，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是对补四边形
理由：是的外角，
，
又，
，
，
，
，
在中，，
，
又，
，
分别平分，
，
，
四边形是对补四边形．
【小问3详解】
解：第一种答案：
四边形是对补四边形，
，
为角平分线，
，
四边形内角和为，
在四边形中，
即，
，
，
即；
第二种答案：
四边形是对补四边形，
，
为角平分线，
，
在中，，
在中，，
，
即；
第三种答案：
四边形是对补四边形，
，
为角平分线，
，
在中，外角，
在中，，
即．
选择招聘方案？
素材1
为庆祝中华人民共和国成立75周年，某工艺品厂设计出一款国庆纪念工艺品，计划在一个月（按22个工作日计算）内生产2024件限量工艺品．由于抽调不出足够的熟练工来完成工艺品的生产，为顺利完成任务，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行生产．
素材2
调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每天共加工28件产品；3名熟练工和2名新工人每天共加工32件产品．
素材3
工厂给的每名熟练工每天发300元工资，每名新工人每天发160元工资．
问题解决
任务一
分析数量关系
（1）每名熟练工和新工人每天分别可以生产多少件工艺品？
任务二
确定可行方案
（2）如果工厂新招聘工人至少2人且不得超过抽调熟练工的人数，那么工厂有哪几种工人招聘方案，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一个月（按22个工作日计算）的生产任务．
任务三
选取最优方案
（3）在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？