广东省惠州市惠城区光正实验学校2020-2021学年九年级上学期期中数学试题答案

这是一份广东省惠州市惠城区光正实验学校2020-2021学年九年级上学期期中数学试题答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：120分）
一、选择题（共十题：共30分）
1. 手机已成为人们生活的必备工具，下列常用手机的图标中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不轴对称图形，是中心对称图形，故A选项合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
2. 将抛物线，向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数平移的基本规律和基本要求平移求解即可．
【详解】∵抛物线，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟记平移规律是解题的关键．
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【详解】解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△==，
解得m≥1，
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．
5. 如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（ ）
A. 64°B. 52°C. 62°D. 56°
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB＝∠C'CA＝62°，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解．
【详解】解：∵CC'∥AB，
∴∠CAB＝∠C'CA＝62°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'，
∴∠AC'C＝∠ACC'＝62°，
∴∠CAC'＝180°-2×62°=56°＝∠BAB'，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和，求得的度数是解题的关键．
6. 如图，中，，．则的度数为（ ）

A. 100°B. 90°C. 80°D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据弧、弦、圆心角的关系得到AB=AC，再根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°-70°×2=40°，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴∠BOC=2∠A=40°×2=80°，
故选C．
【点睛】此题主要考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，由圆周角定理得出结果是解决问题的关键．
7. 如图，是的切线，点为切点，交于点，，点在上，连接，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质得出，进而得出，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到′′，边′′与交于点（′不在上），则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转的性质可得′，′，结合三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到′′，
′，′，
′′′．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形外角的性质，熟练掌握旋转和三角形外角的性质进行角度的转化是解题的关键．
9. 如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，
∴∠AOB=∠A=45°，
如图，记交点分别为C，D，
∵CD⊥OB，
∴，
∴∠OCD=∠A，
∴∠AOD=∠OCD=45°，
∴OD=CD=t，
∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．
故S与t之间的函数关系的图象应为开口向上的二次函数图象；
故选D．
【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．
10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y2 .正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数图像与b2－4ac的关系、对称轴公式、点的坐标及增减性逐一判断即可.
【详解】解：①由图可知，将抛物线补全，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点
∴b2－4ac＞0
∴4ac－b2＜0，故①正确；
②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1
∴
解得：
∴2a－b＝0，故②正确；
③∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，
∴此抛物线与x轴的另一个交点在(0，0)和(1，0)之间
∵在对称轴的右侧，函数y随x增大而减小
∴当x=1时，y＜0，
∴将x=1代入解析式中，得：y＝a＋b＋c＜0
故③正确；
④若点(x1，y1)，(x2，y2)在对称轴右侧时，
函数y随x增大而减小
即若x1＜x2，则y1＞y2
故④错误；
故选C.
【点睛】此题考查的是二次函数图像及性质，掌握二次函数图像及性质和各系数之间的关系是解决此题的关键.
二、填空题（共七题：共28分）
11. 一元二次方程的解是_____．
【答案】x1=3，x2=﹣1
【解析】
【详解】解：原方程可化为：（x﹣3）（x+1）=0，
∴x1=3，x2=﹣1
故答案为：x1=3，x2=﹣1
12. 点P（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为____．
【答案】（1，-2）
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横坐标、纵坐标都互为相反数，进而得出答案．
【详解】解：点P（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，-2）．
故答案为：（1，-2）．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
13. 已知二次函的图象上有两点，，，，则与的大小关系是___________．(填“”、“”或“”)
【答案】
【解析】
【分析】直接根据二次函数的图象和性质作答即可．
【详解】解：由
可知：，对称轴为直线，
∴在对称轴右侧，随增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
14. 将二次函数化成的形式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：为常数)；
(2)顶点式：；
(3)交点式(与轴)：．
15. 如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝26°，则∠D＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，就可以求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵的直径AB过弦CD的中点E，
∴，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，解题的关键是掌握这两个性质定理求出角度．
16. 若二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，则方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝_____．
【答案】-1
【解析】
【分析】利用抛物线与x轴的交点问题，利用关于x的一元二次方程x2-2x+k=0的解一个为x1=3得到二次函数y=x2-2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），然后利用抛物线的对称性得到二次函数y=x2-2x+k与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），从而得到方程x2-2x+k=0另一个解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，
∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝﹣1．
故答案﹣1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
17. 如图，在中，，，，则内切圆半径______．
【答案】
【解析】
【分析】在中，，，，根据勾股定理可得，设的内切圆与三条边的切点分别为、、，连接、、，可得，，，可得矩形，再根据切线长定理可得，所以矩形是正方形，可得，所以，，进而可得的内切圆半径的值．
【详解】解：在中，，，，
根据勾股定理，得，
如下图，设的内切圆与三条边的切点分别为、、，连接、、，
∴，，，
可得四边形为矩形，
根据切线长定理，得，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
则的内切圆半径．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线长定理以及勾股定理等知识，解决本题的关键是理解并掌握三角形的内切圆与内心、切线长定理以及勾股定理．
三、解答题（共八题：共62分）
18. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，求BE．
【答案】4-．
【解析】
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB-OE，即可求出BE的长度．
【详解】如图，连接OC．

∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=ED=CD=3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE=，
∴BE=OB-OE=4-．
【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，解题关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．
19. 如图，△ABC 中，∠B＝10°，∠ACB＝20°，AB＝4cm，三角形 ABC 按逆时针方向旋转一定角度后与三角形 ADE 重合，且点 C 恰好成为 AD 的中点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数；
(2)求出∠BAE 的度数和 AE 的长．
【答案】（1）旋转中心是点A，旋转的度数是150°；（2）60°，2．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可知对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，所以可求出：∠CAE=BAD=180°－∠B－∠ACB=150°，从而确定旋转中心和旋转角度；
（2）利用周角的定义可求出∠BAE=360°－150°×2=60°，全等的性质可知AE=AB=2cm．
【详解】证明：（1）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，
∴旋转中心是点A；
根据旋转的性质可知：∠CAE=∠BAD=180°－∠B－∠ACB=150°，
∴旋转角度是150°；
（2）由（1）可知：∠BAE=360°－150°×2=60°，
由旋转可知：△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，又C为AD中点，
∴AC=AE=AB=×4=2cm．
【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，要注意旋转的三要素：①定点一旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为、，且，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用根的判别式证明，得到结论；
（2）利用根与系数的关系式，得到，列式算出的值．
【详解】解：（1）∵，
∴无论取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵，，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根于系数的关系式，解题的关键是熟练掌握这些知识点去求解．
21. 请回答下列各题：
（1）如图1，有一个残缺圆，请作出残缺圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）﹒

（2）如图2，设是该残缺圆的直径，是圆上一点，的角平分线交于点，过作的切线交的延长线于点．求证：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）在残圆上分别取、、三点，连接、，再分别作与的垂直平分线，两直线的交点即为所求的圆心；
（2）根据已知求得，即可证明．
【详解】（1）解：如图，在残圆上分别取、、三点，连接、，
再分别作与的垂直平分线，两直线的交点即为所求的圆心；

（2）证明：连接，
是圆的切线，
∴，
，
∴，
平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的切线性质，矩形的判定及性质是解题的关键．
22. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．
（1）求证：AE＝CD；
（2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；
（2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，
∴BD＝BE，∠EBD＝120°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°，
∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE
＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．
23. 某商店购进批成本为每件元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量(件)与销售单价(元)之间的关系如表：
（1）小明通过研究发现销售量与销售单价之间存在一次函数关系， 请求出与的函数关系式
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）单价为时，有最大利润元
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意可得，利用二次函数求最值即可解答．
【详解】解：（1）设，
，
解得，
（2）设利润为元，则
，
当时，，
答：单价为时，有最大利润元．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的应用，根据已知求出一次函数与二次函数的解析式是解题的关键．
24. 如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
(2)如果∠BED=60°，PD=，求PA的长；
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．
【详解】解：（1）直线PD为⊙O的切线，
理由如下：
如图1，连接OD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，
∴∠BDO=∠PBD，
∵∠PDA=∠PBD，
∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线PD为⊙O的切线；
（2）∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBA=90°，
∵∠BED=60°，
∴∠P=30°，
∵PD为⊙O的切线，
∴∠PDO=90°，
在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=，
∴，
解得OD=1，
∴=2，
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；
（3）如图2，
依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，
∵四边形AFBD内接于⊙O，
∴∠DAF+∠DBF=180°，
即90°+x+2x=180°，解得x=30°，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，
∵BE、ED是⊙O的切线，
∴DE=BE，∠EBA=90°，
∴∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD=DE=BE，
又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BD=DF=BF，
∴DE=BE=DF=BF，
∴四边形DFBE为菱形．
【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．
25. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
销售单价/元
20
25
30
35
每天的销售量/件
200
150
100
50