人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第15课 寒假复习阶段测试三（2份打包，原卷版+教师版）

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
如果向量a＝(1,2)，b＝(4,3)，那么a﹣2b＝( )
A.(9,8) B.(﹣7，﹣4) C.(7,4) D.(﹣9，﹣8)
已知tan α＝eq \f(m,3)，tan(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(2,m)，则m＝( )
A.﹣6或1 B.﹣1或6 C.6 D.1
已知sin α﹣cs α＝eq \r(2)，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )
A.﹣1 B.﹣eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),2) D.1
在△ABC中，M为AC的中点，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(MD,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＋y＝( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(3,2)
已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a﹣b|＝1，则|a|等于( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \r(2) D.2
已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2eq \r(3)，a与b的夹角的余弦值为sin eq \f(17π,3)，则b·(2a﹣b)等于( )
A.2 B.﹣1 C.﹣6 D.﹣18
如图所示，一座建筑物AB的高为(30﹣10eq \r(3))m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为( )
A.30 m B.60 m C.30eq \r(3) m D.40eq \r(3) m
在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，若2sinC＝sinA＋sinB，csC＝eq \f(3,5)且S△ABC＝4，则c＝( )
A.eq \f(4\r(6),3) B.4 C.eq \f(2\r(6),3) D.5
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(c,b)＜csA，则△ABC为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C＝( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,4) C.1 D.eq \f(5,16)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(2\r(3),3)，A＝eq \f(π,3)，b＝1，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
设sin α＝2cs α，则tan 2α的值为________.
已知向量eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))和eq \(AB,\s\up6(→))在正方形网格中的位置如图所示，若eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λμ＝ .
如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为______海里/小时.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AB的中点，且2acs A＝bcs C＋ccs B，CD＝CB＝eq \r(7)，则A＝________，△ABC的面积为________.
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
已知cs(eq \f(π,6)＋α)·cs(eq \f(π,3)﹣α)＝﹣ eq \f(1,4)，α∈(eq \f(π,3)，eq \f(π,2)).
求：(1)sin 2α； (2)tan α﹣ eq \f(1,tan α).
已知|a|＝4，|b|＝3，(2a﹣3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积.
平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(﹣1,2)，c＝(4,1).
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b﹣a)，求实数k.
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csC(acsC＋ccsA)＋b＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝2，c＝2eq \r(3)，求△ABC的面积.
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且asinA＋csinC﹣bsinB＝eq \r(2)asinC.
(1)求角B的大小；
(2)设向量m＝(csA，cs2A)，n＝(12，﹣5)，边长a＝4，当m·n取最大值时，求b的值.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：(b2＋c2﹣a2)sinC＝c2sinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝1，求b＋c的最大值．
如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为eq \f(π,3)的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式.
(2)求S的最大值及相应的θ角.