福建省福州第一中学2024届高三上学期第一学段期中考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州第一中学2024届高三上学期第一学段期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
2、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3、已知,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
4、设函数的定义域为D,,,当时,恒有,则称点为函数图象的对称中心.利用对称中心的上述定义,研究函数,可得到( )
A.0B.2023C.4046D.4047
5、设a,b,c都是正数,且,那么下列关系正确的是( )
A.B.C.D.
6、设a,b,c分别是中内角A,B,C的对边,且,则( )
A.1B.2C.3D.4
7、若,则( )
A.0B.1C.2D.3
8、函数的图象向右平移个单位长度后,所得的函数为偶函数,则的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
二、多项选择题
9、已知函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.该图象对应的函数解析式为
B.函数的图象关于点对称
C.函数图象关于直线对称
D.函数在上单调递减
10、已知函数的定义域为R,且函数是周期为2的奇函数,则( )
A.函数图像关于点中心对称
B.函数的图像关于点中心对称
C.2是函数的一个周期
D.4是函数一个周期
11、已知函数的定义域为,则( )
A.为奇函数
B.在上单调递减
C.恰有2个极值点
D.有且仅有2个极大值点
12、函数,则下列结论正确的是( )
A.若函数在上为减函数,则
B.若函数的对称中心为,则
C.当时,若有三个根,,,且
D.当时,若过点可作曲线的三条切线,则
三、填空题
13、已知角的终边经过点,则______.
14、已知正实数x,y满足,则的最小值为______.
15、已知函数(,)有且仅有两个零点,则实数的取值范围是______.
16、已知在函数与函数的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是______.
四、解答题
17、已知是数列的前n项和,.
（1）求数列的通项公式
（2）设为数列前n项的和,若对一切恒成立,求实数的最大值.
18、在图1中,,,为等边三角形,O为AC边的中点,E在BC边上,且,沿AC将进行折叠,使点D运动到点F的位置,如图2,连接FO,FB,FE,.
（1）证明:平面ABC.
（2）求二面角的余弦值.
19、已知函数.
（1）若,,求的值.
（2）A,B,C是的三个内角,;若D是AC边上的点,且,,求的值.
20、福州某公园有一个半圆形荷花池(如图所示),为了让游客深入花丛中体验荷花美景,公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台P和栈道PA,PB,PC,AB,观景台P在半圆形的中轴线OC上(如图,OC与直径AB垂直,P与O,C不重合),通过栈道把荷花池连接起来,使人行其中有置身花海之感.已知米,,栈道总长度为L.
（1）求L关于的函数关系式.
（2）若栈道的造价为每米5千元,问:栈道PC长度是多少时,栈道的建设费用最小?并求出该最小值.
21、已知内角A,B,C对边分别为a,b,c,点G是的重心,且.
（1）若,①直接写出______;
②设,求的值
（2）求的取值范围.
22、已知函数,为的导函数.
（1）当时,讨论函数的单调性
（2）已知,,若存在,使得成立,求证:.
参考答案
1、答案：C
解析：命题“,”为全称量词命题,
其否定为:,;
故选:C
2、答案：C
解析：,,
,,
故选:C.
3、答案：A
解析：令,则,所以函数在上单调递增,
所以当时,,即有成立,
所以;
令,则,
所以函数在上单调递增,
所以当时,,即有成立,
所以,因为,所以,
又,所以.
故选:A
4、答案：D
解析：定义域为R.
因为,
所以的图象关于点对称.
所以.
故选:D
5、答案：C
解析：由,得,,,
,,,则,
根据可知,.
故选:C
6、答案：B
解析：由得,所以,
由正弦定理得,
,
所以2.
故选:B.
7、答案：A
解析：记,,
因为,
所以为奇函数,
又和在R上都为增函数,所以在R上为增函数.
由得,
即,
所以,即.
故选:A
8、答案：B
解析：,其中,
函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数为偶函数,
则当时,,,
即,则,,
,
即,
因为,所以,,
所以,
当,即时,等号成立,
所以的最小值为4.
故选:B
9、答案：AD
解析：由题意,,则,
,,又,所以,
所以,A正确;
,所以是图象的对称轴,B错;
,是图象的对称中心,C错;
时,,递减,D正确.
故选:AD.
10、答案：BD
解析：因为是奇函数,所以,
则,所以的图像关于点中心对称,故B正确;
因为的周期是2,所以,
即,即4是函数的一个周期,
故D正确;
不妨令,显然符合要求,此时,
显然其周期为,且,故A,C错误.
故选:BD
11、答案：ABD
解析：函数的定义域为,
,所以函数为奇函数,故A正确;
,当时,,
所以函数在上单调递减,故B正确;
显然,当时,令,即,得,
分别作出和在的图象,
由图可知,这两个函数的图象在区间上共有4个公共点,且图象在这些公共点处都不相切,
故在区间上的极值点的个数为4,有2个极大值点,故C错误,D正确.
故选:ABD
12、答案：ACD
解析：对于A,,,函数在上为减函数,
则,对,
所以,解得,故A正确;
对于B,函数的对称中心为,则,即,解得,故B错误;
对于C,当时,,则即,
化简得,其3个根为,,,所以,故C正确;
对于D,当时,,设切点为,则,切线的斜率,
则切线方程为,
将点代入上式,整理得,
过点可作曲线的三条切线,
即方程有三个不同的解,
令,
则,可得,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
所以函数在处取得极小值,极小值为,
在处取得极大值,极大值为,
由方程有三个不同的解,
所以,故D正确.
故选:ACD.
13、答案：
解析：因为角的终边经过点,,
所以,,
所以,
所以.
故答案为:
14、答案：8
解析：因为,,所以,即,当且仅当,时,等号成立,
所以.
即的最小值为.
故答案为:
15、答案：
解析：令,得,
由题意方程在上有且仅有两个实根,
由,得,
所以,解得,
所以实数的取值范围是.
故答案为:.
16、答案：.
解析：设上一点坐标,
则其关于y轴对称的点为,
若该点在函数上,则有,
故有,
令,则,
令,,所以在上单调递减,
又时,,,即此时单调递减,
时,,,即此时单调递增,
所以,所以.
故答案为:.
17、答案：（1）
（2）16
解析：（1）因为是数列的前n项和,且,则,当时,,当时,,满足通项公式,所以的通项公式为.
（2）因为为数列前n项的和,令,
则,
,因为对一切恒成立,
则,因为,当且仅当时,等号成立.
所以,所以实数的最大值为16.
18、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由题意,
又,,,而,
所以,所以,
因为,FO,平面ABC,
所以平面ABC;
（2）分别以OB,OC,OF为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,
,,
设平面AEF的一个法向量是,
则,取,则,,即,
显然是平面的一个法向量,
,
所以二面角的余弦值为.
19、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为,
所以,
将代入得,
解得或,
又,所以,
所以.
（2）,
因为,所以,所以,即,
因为,所以,
在中,由正弦定理可得,
因为,,
所以,在中,由余弦定理有,
整理得,即,
解得,
因为,所以.
20、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为P在半圆形的中轴线OC上,,米,,
所以,,
所以,
所以栈道总长度,.
（2）由（1）得,,
所以当时,,L单调递减,当时,,L单调递增,
所以当,即时,栈道的建设费用最小,
建设费用最小值为千元.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）①设AB的中点为D,则D,G,C三点共线且,
因为,所以,所以,
因为,所以,
所以在中,由余弦定理得,
所以.
故答案为:.
②以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图平面直角坐标系,设,则
,,,
,,故,
所以,
所以.
（2）设,,则,,
,故,即
所以,,
所以,
因为,所以,所以,
所以,
即.
22、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）当时,,,
,
当时,在区间上恒大于0,此时函数的单调递增区间是;
当时,设,其中,
当,,函数单调递增,
当,,函数单调递减,
当时,,
当时,,此时恒成立,函数的单调递增区间是,
当时,,
当且,
所以在区间上恒大于0,即函数的单调递增区间是,
综上可知,时,函数的单调递增区间是,
当时,函数的单调递减区间是,函数的单调递减区间是;
（2）不妨设,因为,
则,
即,
得,
由,
则,
所以,
,
设,构造函数,
,
所以在上为增函数,
所以,即,
又,,,
所以.