福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期第四学段（期末考试）数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期第四学段（期末考试）数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知,则( )
A.6B.7C.8D.9
2、的展开式中的系数为( )
A.12B.4C.D.
3、某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:万元)对年销售量y(单位:千件)的影响.现收集了近5年的年宣传费(单位:万元)和年销售量y(单位:千件)的数据,其数据如下表所示,且y关于的线性回归方程为,当此公司该种产品的年宣传费为16万元时,预测该产品的年销售量为( )
A.131千件B.134千件C.136千件D.138千件
4、的面积为S,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,则的值是( )
A.B.C.D.
5、将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列,则所组成的不同的四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为( )
A.B.C.D.
6、古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出形状相同的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有个阴眼,阴鱼的头部有个阳眼,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律,由八卦模型图可抽象得到正八边形,从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形,其中梯形的个数为( )
A.16B.20C.24D.28
7、甲､乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动,活动结束后,站成前后两排合影留念,每排3人,若每排同一个学校的两名志愿者不相邻,则不同的站法种数有( )
A.36B.72C.144D.288
8、某蓝莓基地种植蓝莓,按1个蓝莓果重量Z克分为4级:的为A级,的为B级,的为C级,的为D级,的为废果.将A级与B级果称为优等果.已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布.对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查,每次抽出1个蓝莓果,记每次抽到优等果的概率为P(精确到0.1).若为优等果,则抽查终止,否则继续抽查直到抽出优等果,但抽查次数最多不超过n次,若抽查次数X的期望值不超过3,n的最大值为( )附:
A.4B.5C.6D.7
二、多项选择题
9、某医院派出甲,乙,丙,丁4名医生到A,B,C三家企业开展“面对面”义诊活动,每名医生只能到一家企业工作,每家企业至少派1名医生,则下列结论正确的是( )
A.所有不同分派方案共种
B.所有不同分派方案共36种
C.若甲必须到A企业,则所有不同分派方案共12种
D.若甲,乙不能安排到同一家企业,则所有不同分派方案共30种
10、一个袋子有5个大小相同的球,其中有2个红球,3个黑球,试验一:从中随机地有放回摸出2个球,记取到红球的个数为,期望和方差分别为,;试验二:从中随机地无放回摸出2个球,记取到红球的个数为,期望和方差分别为,;则( )
A.B.C.D.
11、的展开式中,下列说法正确的是( )
A.所有项系数和为64B.常数项为第4项
C.整式共有3项D.项的系数
12、已知中,,,点D与点B在直线AC两侧,构成凸平面四边形ABCD,且,,如图,则CD的长度可以为( )
A.B.1C.D.3
三、填空题
13、现有两批产品,第一批产品的次品率为5%,第二批产品的次品率为15%,两批产品以3:2的比例混合在一起,从中任取1件,该产品合格的概率为__________.
14、某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于47至53之间的产品为合格品,为使这种产品的合格率达到99.74%,则需调整生产技能,使得至多为________.(参考数据:若,则)
15、2023年9月第19届亚运会将在杭州举办,在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆,游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲,乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作,每个场馆至少分配1位志愿者,且甲,乙分配到同一个场馆,则甲分配到游泳馆的概率为_________.
16、我们称元有序实数组为n维向量,为该向量的范数.已知n维向量,其中,,2,…,n,记范数为奇数的的个数为,则________;________,(用含n的式子表示,).
四、解答题
17、已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,已知,若还满足下列两个条件中的一个:①;
②.请从①②中选择一个条件,完成下列问题.我选择___________(填①或者②).
（1）求C;
（2）求对应的面积.
18、在隧道施工过程中,若隧道拱顶下沉速率过快,无法保证工程施工的安全性,则需及时调整支护参数.某施工队对正在施工的福州象山隧道工程进行下沉量监控,通过对监控结果进行回归分析,建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z(单位:毫米)与时间t(单位:天)的回归方程,通过回归方程预测是否需要调整支护参数.已知该隧道拱顶下沉的实测数据如表所示:
研究人员制作相应散点图,通过观察,拟用函数进行拟合.令,计算得:,,,,,.
（1）试建立z与t的回归方程,并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量;(精确到0.1)
（2）已知当拱顶在某个时刻下沉的瞬时速率超过27毫米/天时,支护系统将超负荷,隧道有塌方风险,施工队需要提前一天调整支护参数,试估计最迟在第几天调整支护参数?(精确到整数)
附:①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,;
②参考数据:,,,,.
19、全民健身是全体人民增强体魄,健康生活的基础和保障,为了研究福州市民健身的情况,某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研,得到如下数据:
（1）如果认为每周健身超过3次用户为“喜欢健身”,请完成列联表(见答题卡),根据小概率值的独立性检验,判断“喜欢健身”与“性别”是否有关?
（2）每周健身6次及6次以上的用户称为“健身达人”,视频率为概率,在我市所有“健身达人”中,随机抽取4名.福州某瑜伽馆计划对抽出的女“健身达人”每人奖励1000元健身卡,记奖励总金额为Y,求Y的数学期望.
附:,
20、盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子,具有随机属性某品牌推出2款盲盒套餐,A款盲盒套餐包含4款不同单品,且必包含小兔款玩偶;B款盲盒套餐包含2款不同单品,有50%的可能性出现小兔款玩偶.
（1）甲,乙,丙三人每人购买1件B款盲盒套餐,记随机变量为其中小兔款玩偶的个数,求的分布列和数学期望;
（2）某消费者在开售首日与次日分别购买了A款盲盒套餐与B款盲盒套餐各1件,并将6件单品全部打乱放在一起,从中随机抽取1件打开后发现为小兔款玩偶,求该小兔款玩偶来自于B款盲盒套餐的概率.
21、已知
（1）当时,求单调性;
（2）求证:有唯一实数解.
22、某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况,现有份血液样本(数量足够大),有以下两种检验方式:
方式一:逐份检验,需要检验n次;
方式二:混合检验,将其中k(且)份血液样本混合检验,若混合血样无抗体,说明这k份血液样本全无抗体,只需检验1次;若混合血样有抗体,为了明确具体哪份血液样本有抗体,需要对每份血液样本再分别化验一次,检验总次数为次.
假设每份样本的检验结果相互独立,每份样本有抗体的概率均为.
（1）现有7份不同的血液样本,其中只有3份血液样本有抗体,采用逐份检验方式,求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率;
（2）现取其中k(且)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为;采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为.
①若,求P关于k的函数关系式;
②已知,以检验总次数的期望为依据,讨论采用何种检验方式更好?
参考数据:,,,,.
参考答案
1、答案：C
解析：,即,故,故.
故选:C
2、答案：C
解析：的展开式的通项公式为,则
的展开式中的系数为,
故选:C
3、答案：A
解析：由题意可得:,,
则样本中心点为,可得,解得,
故,
令,则,
故当此公司该种产品的年宣传费为16万元时,预测该产品的年销售量为131千件.
故选:A.
4、答案：A
解析：因为,又,
所以,
所以,又,
所以,
所以,
又,则,
所以,所以,
则.
故选:A.
5、答案：A
解析：将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有:2203,2230,3220,3022,2023,2320,2032,2302,3202共9个,
所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的基本事件有:2023,2320,2032,2302,3202共5个,
所以所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为.
故选:A.
6、答案：C
解析：梯形的上,下底平行且不相等,如图,
若以AB为底边,则可构成2个梯形,根据对称性可知此类梯形有个,
若以AC为底边,则可构成1个梯形,此类梯形共有个,
所以梯形的个数是个.
故选:C.
7、答案：B
解析：第一排有2人来自甲校,1人来自乙校:
第一步,从甲校选出2人,有种选择方式;
第二步,2人站在两边的站法种数有;
第三步,从乙校选出1人,有种选择方式;
第四步,第二排甲校剩余的1人站中间,乙校剩余的2人站在两边的站法种数有.
根据分步乘法计数原理可知,不同的站法种数有.
同理可得,第一排有2人来自乙校,1人来自甲校,不同的站法种数有36.
根据分类加法计数原理可知,不同的站法种数有.
故选:B.
8、答案：A
解析：因为蓝莓果重量Z服从正态分布,其中,,
,
设第次抽到优等果的概率(,1,2,3,…,),
恰好抽取n次的概率,所以,
设,则,
两式相减得:,
所以,
由,即,
又
所以n的最大值为4.
故选:A.
9、答案：BCD
解析：由题意,所有不同分派方案共种,故A错误,B正确;
对于C,若甲必须到A企业,
若企业有两人,则将其余三人安排到三家企业,每家企业一人,
则不同分派方案有种,
若企业只有一人,则不同分派方案有种,
所以所有不同分派方案共种,故正确;
对于D,若甲,乙安排到同一家企业,
则将剩下的两人安排到另外两家企业,每家企业一人,
则有种不同的分派方法,
所以若甲,乙不能安排到同一家企业,则所有不同分派方案共种,故D正确.
故选:BCD.
10、答案：AC
解析：由题意可得,
则,,
由题意可取0,1,2,
则,
,
,
所以,
,
所以,.
故选:AC.
11、答案：AC
解析：令,由知,所有项系数和为64,故A正确;
二项展开式的通项公式为,令,解得,故展开式第5项为常数项,故B错误;
当,2,4时,,展开式为整式,故C正确;
当时,,,故D错误.
故选:AC
12、答案：AD
解析：设,
在中,由正弦定理得,则,
由余弦定理得,
在中,由余弦定理得
,
其中,,
所以,当时,取最小值3,CD最小值为,故A正确,BC错误;
当时,,,故D正确.
故选:AD.
13、答案：0.91或
解析：设两批产品共取n件,
所以第一批产品中的合格品有件,第二批产品中的合格品有件,
所以从中任取1件,该产品合格的概率为.
故答案为:0.91
14、答案：1
解析：依题可知,,又,
所以,要使合格率达到99.74%,则,
所以,解得:,故至多为1.
故答案为:1.
15、答案：
解析：甲,乙分配到同一个场馆有以下两种情况:
（1）场馆分组人数为1,1,3时,甲,乙必在3人组,则方法数为种;
（2）场馆分组人数为2,2,1时,其中甲,乙在一组,则方法数为种,
即甲,乙分配到同一个场馆的方法数为.
若甲分配到游泳馆,则乙必然也在游泳馆,此时的方法数为,
故所求的概率为.
故答案为:
16、答案：①.14
②.
解析：当时,范数为奇数,则的个数为偶数,即的个数为0,2,
根据乘法原理和加法原理得到.
当为偶数时,范数为奇数,则的个数为奇数,即的个数为1,3,5,…,,
根据乘法原理和加法原理得到,
,
,
两式相减得到;
当为奇数时,范数为奇数,则的个数为偶数,即的个数为0,2,4,6,…,,
根据乘法原理和加法原理得到,
,
,
两式相加得到.
综上所述:.
故答案为:14,.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）选①,因为,
由正弦定理可得,即,
则,
又,所以;
选②,因为,
所以,
即,
即,所以,
又,所以;
（2）由（1）得,
由余弦定理得,
即,解得(舍去),
所以.
18、答案：（1）毫米
（2）见解析
解析：（1）设,则.
;
;
,
,当时,.
所以预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为毫米
（2）,
下沉速率:,
所以设第n天下沉速率超过27毫米/天,
则:,,,,,
所以第10天该隧道拱顶的下沉速率超过27毫米/天,
最迟在第9天需调整支护参数,才能避免塌方.
19、答案：（1）见解析
（2）1600
解析：（1）由题意,列联表如下:
由,
所以根据小概率值的独立性检验,“喜欢健身”与“性别”无关;
（2）在我市所有“健身达人”中,任选一人,
为男“健身达人”的概率为,为女“健身达人”的概率为,
则随机变量Y可取0,1000,2000,3000,40000,
则,,
,,
,
所以元.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,
则,,
,,
所以的分布列为:
;
（2）设事件A:随机抽取1件打开后发现为小兔款玩偶,
设事件:随机抽取的1件单品来自于A款盲盒套餐,
设事件:随机抽取的1件单品来自于B款盲盒套餐,
,
故由条件概率公式可得
,
即该小兔款玩偶来自于B款盲盒套餐的概率为.
21、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）当时,,,
令,则,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以,
所以在上单调递增;
（2）令,
即,即,
令,
则,
当n为偶数时,,在上单调递减,
因为,所以有唯一解,
当n奇数时,若,则,在单调递增,
若,则,在单调递减,
所以,
所以有唯一解,
综上,有唯一实数解.
22、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A,
事件A分为两种情况,一种是前三次检验中,其中两次检验出抗体,第四次检验出抗体,二是前四次均无抗体,
所以,
所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为,
（2）①由已知得,的所有可能取值为1,,
所以,,
所以,
若,则,
所以,,
所以,得,
所以P关于k的函数关系式（且）
②由①知,,
若,则,所以,得,
所以(且)
令,则,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
因为,,
,
所以不等式的解是且,
所以且时,,采用方案二混合检验方式好,
且时,,采用方案一逐份检验方式好,
x
4
6
8
10
12
y
5
25
35
70
90
t(单位:天)
1
2
3
4
5
6
7
z(单位:毫米)
0.01
0.04
0.14
0.52
1.38
2.31
4.30
每周健身次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及6次以上
男
4
3
3
3
7
30
女
6
5
4
7
8
20
0.10
0.05
0.01
0005
0001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢健身
不喜欢健身
总计
男
40
10
50
女
35
15
50
总计
75
25
100
0
1
2
3
P