福建省福州第一中学2022-2023学年高二上学期第二学段模块考试（期末）数学试题及答案

福州一中2022-2023学年第一学期第二学段模块考试

高二数学试卷

(完卷：120分钟    满分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 过两直线交点，且与直线垂直的直线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为(    )

A. 3 B.  C.  D.

3. 已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知数列是等差数列，且，将去掉一项后，剩下三项依次为等比数列前三项，则(    )

A  B.  C.  D.

5. 某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面，点B到管柱所在直线的距离为，且水流落在地面上以O为圆心，以为半径的圆上，则管柱的高度为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆C上一点，则的重心与椭圆C短轴顶点距离的最大值为(    )

A. 1 B.  C.  D.

7. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴长与短半轴长平方和的算术平方根，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C的离心率为，M为其蒙日圆上一动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆C的长轴长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为(    )

A. 32 B. 33 C. 44 D. 45

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知分别是双曲线的左，右焦点，P是C上一点，且，则(    )

A. 双曲线C的离心率为 B. 双曲线C的渐近线方程为

C. 的周长为18 D. 的面积为9

10. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则(    )

A.  B.

C.  D.

11. 已知点F为椭圆C：，的左焦点，过原点O的直线l交椭圆于P，Q两点，点M是椭圆上异于P，Q的一点，直线MP，MQ的斜率分别为，，椭圆的离心率为e，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，已知正方体棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点，则(    )

A. 满足平面的点P的轨迹长度为

B. 满足的点P的轨迹长度为

C. 存在点P满足

D. 以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设等差数列的前n项和为，若对任意正整数n，都有，则整数______.

14. 已知圆，若圆C与y轴交于M，N两点，且，则__________．

15. 如图所示的木质正四棱锥模型，过点作一个平面分别交，，于点E，F，G，若，，则的值为___________.

16. 设分别是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线C的离心率为_______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知圆.

(1)设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；

(2)设P是直线上一点，过P作圆C的切线PE，PF，切点分别为E，F，求的最小值.

18. 已知数列的前n项和为，从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，解答下列问题.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，记的前n项和为，若对任意正整数n，都有，求实数的取值范围.

条件①，且；条件②为等比数列，且满足；

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19. 已知为椭圆的左焦点，过原点的动直线与交于、两点．当的坐标为时，．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)延长交椭圆于，求的面积的最大值．

20. 某林场去年底森林木材储存量为100万，若树木以每年20%的增长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐x万木材，记为第n年年底的木材储存量.

(1)写出；写出数列的递推公式；

(2)为了实现经过10年木材储存量翻两番(原来的4倍)的目标，每年砍伐的木材量x的最大值是多少?(精确到0.1万)

参考数据：.

21. 如图，在三棱锥中，，，D为棱AB上一点，，，

(1)证明：平面平面ABC；

(2)线段PD上是否存在点M，使直线AP与平面MBC所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

22. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在C上，且.

(1)求C方程；

(2)斜率为直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D.若直线的斜率存在且分别为，证明：为定值.