河北省廊坊市永清县第五中学2023-2024学年八年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份河北省廊坊市永清县第五中学2023-2024学年八年级上册月考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．若，则“□”内应填的运算符号是（ ）
A．B．C．D．
3．若等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，若，，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．下列多边形的内角和比其外角和大的是（ ）
A．B．C．D．
6．嘉嘉家和琪琪家到学校的直线距离分别是和．他们两家的直线距离可能是（ ）
A．B．C．D．
7．若三角形的面积为，底边上的高为，则三角形的底边长为（ ）
A．B．C．D．
8．下列条件不能判定是等边三角形的是（ ）
A．B．
C．，D．
9．如图，在中，，为中线，，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
12．如图是嘉淇关于的计算过程，则开始出现错误的是（ ）
A．步骤①B．步骤②C．步骤③D．步骤④
13．在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点P在图1中的小路上，且到河岸，的距离相等．依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点P（如图2所示），则能找到宝藏的是（ ）
A．只有甲B．只有乙C．只有丙D．甲和乙
14．如图，在中，，分别平分，，，分别平分，，若，则（ ）
A．B．C．D．
15．如图，在和中，，，添加下列条件后，能使这两个三角形全等的有（ ）
①和上的高相等；②角平分线和角平分线相等；③和上的中线相等
A．0个B．1个C．2个D．3个
16．规定一种新运算：．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉：；
淇淇：若的结果与x无关，则m的值为2
A．嘉嘉对，淇淇错B．嘉嘉错，淇淇对C．两人都对D．两人都错
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17．将等边三角板与直尺按如图所示的方式放置，若，则 度．
18．已知，．
（1）n的值为 ；
（2）计算 ．
19．如图，在中，，，，P是边上的动点，连接．
（1）的最小值为 ；
（2）当 度时，是等腰三角形．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．计算下列各小题．
(1)；
(2)；
(3)．
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)请画出与关于轴对称的，并写出点的坐标；
(2)在y轴上找一点M，使点到点，的距离和最小，在图中画出点M的位置，并写出点M的坐标．
22．如图，是等边三角形，点D在上，，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
23．按要求完成下列各小题：
(1)先化简，再求值：，其中；
(2)已知，，m，n均为正整数，求及(用含a，b的式子表示)．
24．如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F．
(1)若，，求及的度数；
(2)连接，判断是否平分？并说明理由．
25．在学习整式乘法时，往往借助几何图形的直观性来解决数学问题．

【发现】（1）观察图1中阴影部分的面积填空：______，
（2）观察图2中阴影部分的面积，其表示的乘法公式是______；
【探究】如图3，用4个完全一样的长为a，宽为b的长方形摆成一个正方形，通过观察阴影部分的面积，写出与，之间的等量关系；
【运用】已知，，求及的值．
26．如图1，在中，是角平分线，，．将角尺的直角顶点放在点D处，直角边分别交边，于点E，F．
(1)求证：；
(2)与全等吗？为什么？
(3)若，求；
(4)如图2，调整角尺的位置，使角尺的直角（）顶点在线段上，直角边分别交边，于点E，F，分别作，，垂足为H，G．直接写出，与之间的数量关系．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴条数，先判定是等边三角形，后确定对称轴条数即可．
【详解】根据题意，得对称轴的条数为3条，
故选C．
2．D
【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】∵，
故选D．
3．B
【分析】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为
∴这个等腰三角形的底角为
故选B．
4．A
【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴,
故选A．
5．C
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键．根据n边形的内角和为，外角和等于列出方程求解即可．
【详解】根据题意得：
，
解得．
故选C．
6．B
【分析】分嘉嘉家、琪琪家以及学校这三点不共线和共线两种情况讨论，根据三角形的三边关系分析即可．
【详解】解：当嘉嘉家、琪琪家以及学校这三点不共线时，以小明家、小红家以及学校这三点来构造三角形，设小明家与小红家的直线距离为a，根据题意得：
，
解得：，
当小明家、小红家以及学校这三点共线时，
或者，
综上a的取值范围为：，
观察四个选项可知小明家、小红家的距离可能是．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，两点间的距离，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：三角形的底边长为，
故选C．
8．D
【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．根据等边三角形的定义和判定定理判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴是等边三角形，故A选项不符合题意；
B．∵，
∴是等边三角形，故B选项不符合题意；
C．∵，，
∴是等边三角形，故A选项不符合题意；
D．∵∠A+∠B=2∠C，，
∴，不能判断是等边三角形，故D选项符合题意，
故选：D．
9．A
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，首先根等边对等角得到，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可．解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【详解】∵在中，，
∴，
∵为中线，
∴，
∴
∴．
故选：A．
10．C
【分析】本题考查平方差公式，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【详解】A. 中不存在互为相同和互为相反的项，不能运用平方差公式计算；
B. 中不存在互为相同的项，不能运用平方差公式计算；
C. 中符合完全平方公式，能运用平方差公式计算；
D. 中不存在互为相同的项，不能运用平方差公式计算；
故选C．
11．D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算，正确理解线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】∵是的垂直平分线，，
∴，
∵的周长为
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：D．
12．B
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】
……①
……②
故选B．
13．B
【分析】本题考查了垂线，角的平分线，线段的垂直平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键．
【详解】根据题意，甲作的是的垂线，乙作的是的平分线，丙作的是线段的垂直平分线，
而点P一定是在的角平分线与的交点处，
故选B．
14．A
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线得到，再根据三角形的内角和定理解题即可．
【详解】∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
又∵，分别平分，，
∴，
∴，
∴，
故选A
15．B
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】当和上的高相等，无法补充和全等所需要的条件，
故①错误；
②当角平分线和角平分线相等时，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
故②正确；
当和上的中线相等时，无法补充和全等所需要的条件，
故③错误；
故选B．
16．A
【分析】本题考查了整式的混合运算，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键．
【详解】解：，故嘉嘉的计算正确；
，
∵结果与x无关，
∴，
解得：，
故淇淇说法错误，
故选A．
17．
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，先利用等边三角形得到，再根据平行得到是解题的关键．
【详解】解：如图，∵将等边三角板与直尺按如图所示的方式放置，
∴，
又∵，直尺的对边平行，
∴，
故答案为：．
18． 5 100000#
【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方运算，理解运算法则即可解题．
【详解】解：（1） ，
，解得．
，
，
，
，
故答案为：；
（2）已知，
，
故答案为：100000．
19． 或或
【分析】本题考查垂线段最短和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据垂线段最短得到当于点P时，最小，利用的直角边等于斜边的一半解题即可；
（2）分，和三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可．
【详解】解：（1）当于点P时，最小，
∵，，
∴，
故答案为：6；
（2）当时，，
则；
当时，，
则；
当时，，则；
故答案为：或或．
20．(1)1
(2)0
(3)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方，整式的乘除，熟练掌握公式是解题的关键．
(1)根据同底数幂的乘法，除法公式计算即可．
(2)根据幂的乘方，积的乘方公式计算即可．
(3)根据整式的乘除计算即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
21．(1)见解析，
(2)见解析，
【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，即可画出；
（2）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于M，从而解决问题．
【详解】（1）如图，即为所作，点的坐标为；
（2）解：如图，点M即为所作，点的坐标为．
22．(1)见解析
(2)等边三角形，见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．
(1)根据是等边三角形得到，证明即可．
(2)根据得到，判定即可．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴．
（2）是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴是等边三角形．
23．(1)，
(2)；
【分析】本题考查整式乘法的化简求值和同底数幂的乘法及幂的乘方逆运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
（1）先按照单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则展开，然后合并，最后代入数值计算解题；
（2）按照同底数幂的乘法逆运算和幂的乘方逆运算计算解题．
【详解】（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：；
．
24．(1)，
(2)平分，理由见解析
【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形的外角可以得到和的度数，然后根据角平分线的定义得到，然后计算解题；
（2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，再根据角平分线的判定即可得到结论．
【详解】（1）∵，，
∴，.
∵平分，平分，
∴，，
∴；
（2）平分；
理由：如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴.
∵平分，，，
∴，
∴，
∴平分.
25．【发现】（1） （2） 【探究】 【运用】，
【分析】本题主要考查乘法公式的应用，掌握乘法公式是解题的关键．【发现】（1）根据题目中长方形的边长，由面积计算公式可得出乘法；（2）根据正方形的边长和分割成的四块的面积和可得公式；【探究】根据拼图法阴影部分的面积等于大正方形面积减去4个长方形的面积，可得出结论；【运用】根据探究中结论可直接计算得出答案．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）表示的乘法公式是；
故答案为：；
【探究】解：通过观察阴影部分的面积，等量关系为；
【运用】解：，
．
26．(1)见解析
(2)与全等,理由见解析
(3)
(4)，理由见解析
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）利用等腰直角三角形的判定和性质解题即可；
（2）由（）可知，，然后根据同角的余角相等得到，然后根据证明；
（3）首先根据三线合一得到，求出，然后根据可以推出解题即可；
（4）过点作，利用证明，进而得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴.
∵是角平分线，
∴，
∴，
∴；
（2）与全等；
由（）可知，.
∵，是角平分线，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
在和中，
,
∴；
（3）∵，是角平分线，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（4）与之间的数量关系为，理由如下：
如图，过点作，
与（）中同理可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴,
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
……①
……②
……③
……④