02函数的概念与基本性质、幂函数-湖南省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版）

这是一份02函数的概念与基本性质、幂函数-湖南省2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·湖南怀化·高一统考期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）若幂函数的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·湖南邵阳·高一统考期末）已知，则的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023上·湖南益阳·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．6B．3C．2D．
5．（2023上·湖南邵阳·高一统考期末）已知，则（ ）
A．B．3C．D．9
6．（2023上·湖南邵阳·高一统考期末）已知是偶函数，在上是增函数，则，，的大小关系为：（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023上·湖南娄底·高一统考期末）给定函数，用表示中的较大者，记为，例如当时，，则的最小值为（ ）
A．B．0C．1D．4
8．（2023上·湖南邵阳·高一统考期末）下列四个函数中，在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023上·湖南郴州·高一统考期末）已知函数，用表示中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
10．（2023上·湖南怀化·高一统考期末）已知不是常函数，且是定义域为的奇函数，若的最小正周期为1，则（ ）
A．B．1是的一个周期
C．D．
11．（2023上·湖南长沙·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．的最大值为，最小值为
B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，无最小值
D．的最大值为，最小值为
二、多选题
12．（2023上·湖南永州·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足，若，则（ ）
A．4为的一个周期B．的图象关于直线对称
C．D．
三、填空题
13．（2023上·湖南娄底·高一统考期末）已知函数的定义域是 .
14．（2023上·湖南益阳·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足是上的偶函数，且，则 .
15．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且，则 ．
四、解答题
16．（2023上·湖南娄底·高一校考期末）已知.
(1)求的解析式及定义域；
(2)求的值域，单调区间并判断奇偶性.（不要求写理由，只写结果）
17．（2023上·湖南益阳·高一统考期末）已知函数
(1)若对一切实数都成立，求的取值范围；
(2)已知，请根据函数单调性的定义证明在上单调递减.
18．（2023上·湖南衡阳·高一统考期末）二次函数为偶函数，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，记函数在上的最大值为，求的最小值．
19．（2023上·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数．
(1)若，求a；
(2)用定义法证明：函数在区间上单调递减．
20．（2023上·湖南郴州·高一统考期末）已知函数为奇函数.
(1)利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增；
(2)若正数满足，求的最小值；
(3)解不等式.
五、证明题
21．（2023上·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数为偶函数.
(1)求幂函数的解析式；
(2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增.
22．（2023上·湖南娄底·高一校联考期末）已知函数在轴右边的一部分图象如图所示．
(1)判断函数奇偶性并证明，作出函数在轴左边的图象．
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义加以证明．
参考答案：
1．B
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义求解.
【详解】对于A，定义域为，所以函数为非奇非偶函数，A错误；
对于B，根据幂函数的性质可知，在上为增函数，
且，所以函数为奇函数，B正确；
对于C，当时，单调递增，
，函数为偶函数，C错误；
对于D，根据双勾函数的性质，函数为奇函数，但在上为减函数，D错误，
故选:B.
2．D
【分析】根据幂函数的图象和性质依次判断选项即可.
【详解】A：函数的图象关于y轴对称，且与x轴有公共点，故A不符合题意；
B：函数的图象关于原点对称，且与x轴有公共点，故B不符合题意；
C：函数的图象关于原点对称，且与x轴无公共点，故C不符合题意；
D：函数的图象关于y轴对称，且与x轴无公共点，故D符合题意.
故选：D.
3．B
【分析】由函数有意义列出不等式组求解即可．
【详解】要使有意义，则需 ，解得且，
所以定义域为．
故选：B．
4．B
【分析】将代入分段函数，即可得到的值.
【详解】由题意，
在中，
，
故选：B.
5．B
【分析】根据分段函数的定义域，代入计算即可.
【详解】由可得.
故选：B.
6．D
【分析】根据奇偶性可得，，根据单调性即可比较大小.
【详解】因为是偶函数，所以，.
因为在上是增函数，所以，
所以.
故选;D.
7．B
【分析】将写出分段函数形式，画出图象，由图象可得最小值.
【详解】令，可得，即，解得；
令，可得，即，解得或.
所以.
作出的图象如图所示：
由图象可得的最小值为0.
故选:B.
8．B
【分析】逐项判断函数的单调性即可求解.
【详解】在上单调递减，故A错误；
在上单调递增，故B正确；
在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
在上单调递减，故D错误.
故选:B.
9．D
【分析】先把写成分段函数的形式，再求最大值即可
【详解】令，即,解得,
所以，
当时，由在定义域内单调递减可得，
当时，由二次函数的性质可得,
综上，函数的最大值为，
故选：D
10．C
【分析】根据函数的周期性和奇函数即可根据选项逐一求解.
【详解】的最小正周期为1，则，
所以是以2为周期的周期函数，因此，故B错误；
对于A，，故A错误；
对于C，由周期得，又，
因此，故C正确；
对于D，，故D错误，
故选：C.
11．C
【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值.
【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，
然后根据定义画出的图象（图中实线部分）
由图象可知，当时，取得最大值，
由得或（舍去），
此时函数有最大值，无最小值．
故选：C．
12．ABC
【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证，即可得出答案.
【详解】对于A：函数为奇函数，则，
则，
则的一个周期为4，故A正确；
对于B：，则函数关于对称，故B正确；
对于C：的一个周期为4，
，
令中的，则，
函数为定义在上奇函数，
，
，故C正确；
对于D：的一个周期为4，
，
函数为奇函数，
，
，故D错误；
故选：ABC.
13．
【分析】根据被开方数非负即可求解.
【详解】函数的定义域应满足，解得.
故函数的定义域为.
故答案为:.
14．/0.5
【分析】通过讨论函数的奇偶性、对称性和周期性，即可计算出所求的式子的值.
【详解】由题意，，
在中，是奇函数，是偶函数，
∴，，，
∴，
∴，则，
∴，即，
∴函数是以4为周期的周期函数，，
∴，，，
∴.
故答案为：.
15．2023
【分析】由已知条件结合函数的奇偶性的性质可求得函数的周期为4，再根据，得，再结合周期即可求得结果．
【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，得①．
因为为奇函数，所以，得②．
由①，②得，所以．
由，得，得，
故
．
故答案为：2023．
【点睛】根据抽象函数的性质进行相应的代换，解题的关键是推出函数的周期．
16．(1)，定义域为；
(2)详见解析.
【分析】（1）利用配凑法求的解析式，根据解析式求定义域；
（2）由定义法求函数单调区间，得函数值域；由定义法判断函数奇偶性.
【详解】（1）因为，
所以.
函数有意义，则，
所以的定义域为.
（2）因为，任取，
所以，
由，可得，，
当时，；当时，，
所以当时，，，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，；
同理，在上单调递增，在上单调递减，；
所以值域为；
又，即，
，即，
所以为非奇非偶函数；
所以函数的值域为；单调增区间为，，单调减区间为，；为非奇非偶函数.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据判别式小于0求解即可；
（2）利用定义法证明函数的单调即可.
【详解】（1），有，即恒成立，
解得，所以的取值范围是
（2）由已知有，任取，设，
，
所以，即，
在上单调递减.
18．(1)；
(2).
【分析】(1) 设，由，恒成立，列出不等式组，求解即可；
(2)分，，和，求出的解析式，即可得的最小值.
【详解】（1）解：依题设，
由，得，
，得恒成立，
∴，
得，
所以，又，
所以，
∴；
（2）解：由题意可得：，，
若，则，则在[0,1]上单调递增，
所以；
若，当，即时，在[0,1]上单调递增，
当，只须比较与的大小，
由，得：，此时，
时，，此时，
综上，，
时，，
时，，
时，，
综上可知：的最小值为．
19．(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）直接解方程可得；
（2）根据定取值、作差、定号、下结论的步骤证明即可.
【详解】（1）由，得
故，解得或
（2）证：任取
则
∵，∴，
故，即
故在区间上单调递减
20．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用函数的奇偶性得出，然后利用函数单调性的定义证明即可；
（2）由已知条件求得，即，利用“1”的妙用和基本不等式求解即可；
（3）令，易知是奇函数，且在上单调递增，又，不等式，从而，求解即可．
【详解】（1）函数的定义域是，由题意得，解得：，则，
，为奇函数，故，
任取，且，
则，
因为，且，所以，
所以，故，
所以函数在上单调递增；
（2）因为为奇函数，
所以，又函数在上单调递增，
所以正实数满足，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
（3）令，
因为和都是奇函数，且在上单调递增，所以是奇函数，且在上单调递增.
又，不等式.
从而，解得或.
故不等式的解集为.
21．(1)；
(2)见解析.
【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合函数的奇偶性即可求解；
（2）由（1）得，设,作差即可证明.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以,解得或.
当时，为偶函数，满足题意；
当时，为奇函数，不满足题意.
故.
（2）由（1）得，故.
设,
则，
因为，所以，，所以,
所以，即，
故在区间上单调递增.
22．(1)答案见解析
(2) 在 上单调递增，证明见解析
【分析】(1)根据奇偶函数的定义可得函数为奇函数，利用对称性即可作出函数在轴左侧的图象；
(2)根据函数的图象，即可判断函数在上的单调性，然后利用函数单调性的定义证明即可.
【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，
又 ，
所以函数是奇函数，故的图象关于原点对称，
由此作出函数 在轴左边的图象，如图所示．
（2）函数 在上单调递增．
证明：任取 ， 设，
因为，所以，
因为 ，所以，则，
所以，即，
所以在上单调递增.