2022-2023学年北京市海淀区清华附中七年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市海淀区清华附中七年级（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了若，则下列不等式正确的是，若，则代数式的值为，已知有理数，，满足，，则，使有意义的的取值范围是　　，已知，则　　等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）2022年12月底，某市统计局发布本年度经济运行情况．根据地区生产总值统一核算结果，今年本市实现地区生产总值约2931亿元．数据2931亿用科学记数法表示为
A．B．C．D．
2．（2分）若，则下列不等式正确的是
A．B．C．D．
3．（2分）若，则代数式的值为
A．1B．2C．D．
4．（2分）已知有理数，，满足，，则
A．B．C．D．
5．（2分）某同学去蛋糕店买面包，面包有、两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：若某同学正好买了40个面包，则他最少需要花 元．
A．50B．49C．52D．51
6．（2分）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是
A．B．或C．或D．
7．（2分）已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是
A．B．C．D．
8．（2分）关于的不等式组有解且至多有5个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是
A．2B．0
C．D．不存在符合条件的
二.填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）使有意义的的取值范围是 ．
10．（2分）已知，则 ．
11．（2分）设，满足，，则 ．
12．（2分）已知、是有理数，且、满足，则 ．
13．（2分）已知关于的方程的解大于1，则实数的取值范围是 ．
14．（2分）已知，，则 ．
15．（2分）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1，则 ．
16．（2分）为促进春节消费，某黄金首饰店决定在假期开展一次“力度空前”的促销活动．活动方案如下：在收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次抽奖机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金100元、60元、30元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为4180元，第三时段返现金额比第一时段多600元，则第二时段返现金额为 元．
三、解答题（本题共88分，第17题4分，18题5分，第19-20题每问4分，第21-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（4分）有理数，，在数轴上表示的点如图所示，化简：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（16分）解下列方程或不等式（组
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．（16分）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21．（5分）已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根．
22．（5分）列分式方程解应用题：
为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用3150元购买甲种跳绳与用3900元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
23．（5分）当为何值时，多项式可以分解为两个关于，的一次三项式的乘积？
24．（6分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牛风记》需110元；购买8本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1930元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
25．（6分）已知关于的分式方程．
（1）若这个方程的解是负数，求取值范围；
（2）若这个方程无解，则 （直接写出答案）
26．（6分）我们把形如，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，，．
再如为十字分式方程，可化为，，．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则 ， ；
（2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
27．（7分）为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名为正整数且，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）若这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有 人；
（2）是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员的年人均投入不超过；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
请说明理由．
28．（7分）有若干个正数的和为1275，其中每个正数都不大于50．小明将这些正数按下列要求进行分组：
①每组中所有数的和不大于150；
②从这些数中选择一些数构成第1组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其它选择相比是最小的，将称为第1组的余差；
③在去掉已选入第1组的数后，对余下的数按第1组的选择方式构成第2组，这时的余差为；
④如此继续构成第3组（余差为、第4组（余差为、，第组（余差为，直到把这些数全部分完为止．
（1）除第组外的每组至少含有 个正数；
（2）小明发现，按照要求进行分组后，得到的余差满足，并且当构成第组后，如果从余下的数中任意选出一个数，与的大小关系是一定的，请你直接写出结论： （填“”或“” ，并证明；
（3）无论满足条件的正数有多少个，按照分组要求，它们最多可以分成 组（直接写出答案）．
2022-2023学年北京市海淀区清华附中七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）2022年12月底，某市统计局发布本年度经济运行情况．根据地区生产总值统一核算结果，今年本市实现地区生产总值约2931亿元．数据2931亿用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【解答】解：2931亿．
故选：．
2．（2分）若，则下列不等式正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：、当时，原变形错误，故该选项不符合题意；
、当时，原变形错误，故该选项不符合题意；
、当时，原变形错误，故该选项不符合题意；
、由，可得，即，原变形正确，故该选项符合题意；
故选：．
3．（2分）若，则代数式的值为
A．1B．2C．D．
【解答】解：原式
，
当时，
原式，
故选：．
4．（2分）已知有理数，，满足，，则
A．B．C．D．
【解答】解法一：解：根据题意，可令，，，明显符合条件要求，
则．
故选：．
解法二：解：，
，
，
，即，
，
，
，
，，，
，，，
，
，
，，
原式．
故答案为：．
5．（2分）某同学去蛋糕店买面包，面包有、两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：若某同学正好买了40个面包，则他最少需要花 元．
A．50B．49C．52D．51
【解答】解：设购买包装面包盒，包装面包盒，
由题意得：，
解得或或或；
当，，费用为：（元；
当，时，费用为：（元；
当，时，费用为：（元；
当，时，费用为：（元；
，
某同学正好买40个面包时，他最少需要花50元，故正确．
故选：．
6．（2分）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是
A．B．或C．或D．
【解答】解：的解集是，
，且，
，
不等式等价于或，
解得：或，
故选：．
7．（2分）已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是
A．B．C．D．
【解答】解：，
①②得，，
，
①②得，，
．
，
，
，
即，
，
，
，
，即．
故选．
8．（2分）关于的不等式组有解且至多有5个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是
A．2B．0
C．D．不存在符合条件的
【解答】解：解不等式组得：，
由题意得：，
，
解分式方程得：，且，且，
的整数解为：2或或0，
，
故选：．
二.填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）使有意义的的取值范围是 ．
【解答】解：根据题意，得
，
解得，；
故答案为：．
10．（2分）已知，则 61 ．
【解答】解：，，
，，
两边平方得：，
，即，
则原式
．
故答案为：61．
11．（2分）设，满足，，则 8 ．
【解答】解：①，
②，
由①②，得
，即，
恒成立，
，
．
，
故答案为：8．
12．（2分）已知、是有理数，且、满足，则 或 ．
【解答】解：、是有理数，且、满足，
，
，
，即，
，
或，
故答案为：或．
13．（2分）已知关于的方程的解大于1，则实数的取值范围是 且 ．
【解答】解：方程两边同乘以得：，
解这个整式方程得：，
由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
14．（2分）已知，，则 ．
【解答】解：①，
②，
①②，得，即，
①②，得，即，
．
故答案为：．
15．（2分）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1，则 1 ．
【解答】解：将代入原方程得，
，
，
．
根据题意得：，
解得：，
．
故答案为：1．
16．（2分）为促进春节消费，某黄金首饰店决定在假期开展一次“力度空前”的促销活动．活动方案如下：在收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次抽奖机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金100元、60元、30元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为4180元，第三时段返现金额比第一时段多600元，则第二时段返现金额为 2100 元．
【解答】解：设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为，，，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为，，，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为，，．由题意得：，
即，
，，均是正整数，根据可得：
或或，
当时，不符合题意；
当时，不符合题意；
当时，符合题意；
第二时段返现金额为：（元．
故答案为：2100．
三、解答题（本题共88分，第17题4分，18题5分，第19-20题每问4分，第21-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（4分）有理数，，在数轴上表示的点如图所示，化简：．
【解答】解：根据数轴可知，，且，
，，，
，，，
．
18．（5分）解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集为：．
19．（16分）解下列方程或不等式（组
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1），
，
，
当时，
；
（2），
，
当时，，
；
当时，，，
为任意实数时，恒成立；
当时，，
；
综上，当时，；当时，为任意实数；当时，．
（3），
当时，，
，
当时，，
，
原不等式的解为或；
（4）
解不等式①得，
，
解不等式②得，
原不等式组的解为．
20．（16分）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式
．
21．（5分）已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根．
【解答】解：由题意可知，
，，
解得，，
，
的平方根为．
22．（5分）列分式方程解应用题：
为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用3150元购买甲种跳绳与用3900元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
【解答】解：设甲种跳绳的单价为元，则乙种跳绳的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种跳绳的单价为42元，乙种跳绳的单价为52．
23．（5分）当为何值时，多项式可以分解为两个关于，的一次三项式的乘积？
【解答】解：利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式，
中三项应当分解为：；
现在要考虑，只须先改写作；
然后根据，这两项式，即可断定是：，
解得：，，或，．
又，
当，时，；
当，时，．
故当为或时，多项式可以分解为两个关于，的一次三项式的乘积．
24．（6分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牛风记》需110元；购买8本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1930元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【解答】解：设购买《北上》的单价为元，《牵风记》的单价为元，
由题意得：，
解得．
购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
设购买《北上》的数量为本，则购买《牵风记》的数量为本，
根据题意得，
解得：，
则可以取17、18、19、20，
当时，，共花费（元；
当时，，共花费（元；
当时，，共花费（元；
当时，，共花费（元；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
25．（6分）已知关于的分式方程．
（1）若这个方程的解是负数，求取值范围；
（2）若这个方程无解，则 3或10或 （直接写出答案）
【解答】解：（1）方程两边同乘以得：，
解得：
由题意得：，，
解得：且；
（2）由（1）得：，
由题意得：或，
解得：或或，
故答案为：3或10或．
26．（6分）我们把形如，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，，．
再如为十字分式方程，可化为，，．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则 ， ；
（2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
【解答】解：（1）方程变形得：，
则，；
故答案为：，；
（2）方程变形得：，
，，
则原式．
27．（7分）为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名为正整数且，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）若这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有 75 人；
（2）是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：
①研发人员的年人均投入不超过；
②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
请说明理由．
【解答】解：（1）解：由题意可得：
，
解得：，
又，
即调整后的技术人员最多有75人；
（2）解：由①②可得
，
解得，
又为正整数且，
当时，最大，最大为；
当时最小，最小为，
综上，存在，满足题意．
28．（7分）有若干个正数的和为1275，其中每个正数都不大于50．小明将这些正数按下列要求进行分组：
①每组中所有数的和不大于150；
②从这些数中选择一些数构成第1组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其它选择相比是最小的，将称为第1组的余差；
③在去掉已选入第1组的数后，对余下的数按第1组的选择方式构成第2组，这时的余差为；
④如此继续构成第3组（余差为、第4组（余差为、，第组（余差为，直到把这些数全部分完为止．
（1）除第组外的每组至少含有 3 个正数；
（2）小明发现，按照要求进行分组后，得到的余差满足，并且当构成第组后，如果从余下的数中任意选出一个数，与的大小关系是一定的，请你直接写出结论： （填“”或“” ，并证明；
（3）无论满足条件的正数有多少个，按照分组要求，它们最多可以分成 组（直接写出答案）．
【解答】解：（1）由题意可得，
每组中所有数的和不大于150，
，
每组至少有个数，
故答案为：3；
（2），
分完组后还有数没有分，
余下的每一个数都大于，余下的数的和一定大于，
第一组数的和为，第二组数的和为，，第组数的和为，第组数的和为，
，
，
，
，
，
，
；
（3）由（2）知，，
设最多可以分成组，则第组后还有数没有分完，
余下的每一个数都大于，且，
余下的每个数，
每一组至少含有3个数，
第组的数的和大于，
，
，
，
最多可以分11组，
故答案为：11．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/14 13:59:51；用户：18210079211；邮箱：18210079211；学号：32336482包装盒
包装盒
每盒面包个数（个
4
6
每盒价格（元
5
8
包装盒
包装盒
每盒面包个数（个
4
6
每盒价格（元
5
8