2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何01真题赏析类型一直线与圆

这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何01真题赏析类型一直线与圆，共3页。试卷主要包含了已知直线x－my＋1＝0与⊙C等内容，欢迎下载使用。
A．1 B．eq \f(\r(15),4) C．eq \f(\r(10),4) D．eq \f(\r(6),4)
解析：圆x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，则圆心C(2，0)，半径为r＝eq \r(5)；
设P(0，－2)，切线为PA、PB，则PC＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，
△PAC中，sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(5),2\r(2))，所以cs eq \f(α,2)＝eq \r(1－\f(5,8))＝eq \f(\r(3),2\r(2))，
所以sin α＝2sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝2×eq \f(\r(5),2\r(2))×eq \f(\r(3),2\r(2))＝eq \f(\r(15),4).
故选B.
答案：B
2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq \f(8,5)”的m的一个值________．
解析：由圆C：(x－1)2＋y2＝4，可得圆心坐标为C(1，0)，半径为r＝2，
因为△ABC的面积为eq \f(8,5)，可得S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2×sin ∠ACB＝eq \f(8,5)，
解得sin ∠ACB＝eq \f(4,5)，设eq \f(1,2)∠ACB＝θ，所以2sin θcs θ＝eq \f(4,5)，
可得eq \f(2sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(4,5)，所以eq \f(2tan θ,tan2θ＋1)＝eq \f(4,5)，所以tan θ＝eq \f(1,2)或tan θ＝2，
所以cs θ＝eq \f(2,\r(5))或cs θ＝eq \f(1,\r(5))，
所以圆心到直线x－my＋1＝0的距离d＝eq \f(4,\r(5))或eq \f(2,\r(5))，
所以eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(4,\r(5))或eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(2,\r(5))，
解得m＝±eq \f(1,2)或m＝±2.
答案：2(或－2或eq \f(1,2)或－eq \f(1,2))
3．(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝eq \r(2)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最大值为( )
A.eq \f(1＋\r(2),2) B.eq \f(1＋2\r(2),2)
C．1＋eq \r(2) D．2＋eq \r(2)
解析：如图，设∠OPC＝α，
则－eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,4)，
根据题意可得：∠APO＝45°，
因为eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝|eq \(PA,\s\up6(→))|·|eq \(PD,\s\up6(→))|·cs (α＋eq \f(π,4))
＝1×eq \r(2)cs αcs(α＋eq \f(π,4))
＝cs2α－sin αcs α
＝eq \f(1＋cs 2α－sin 2α,2)
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)cs (2α＋eq \f(π,4))，又－eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,4)，
所以当2α＋eq \f(π,4)＝0，α＝－eq \f(π,8)，cs (2α＋eq \f(π,4))＝1时，
eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))取得最大值eq \f(1＋\r(2),2).
故选A.
答案：A
4．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
解析：圆x2＋y2＝1的圆心坐标为O(0，0)，半径r1＝1，
圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心坐标为C(3，4)，半径r2＝4，
如图，
因为|OC|＝r1＋r2，所以两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
因为kOC＝eq \f(4,3)，所以l1的斜率为－eq \f(3,4)，设直线l1：y＝－eq \f(3,4)x＋b，即3x＋4y－4b＝0，
由eq \f(|－4b|,5)＝1，解得b＝eq \f(5,4)(负值舍去)，
则l1：3x＋4y－5＝0；
由图可知，l2：x＝－1；l2与l3关于直线y＝eq \f(4,3)x对称，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝\f(4,3)x，))解得l2与l3的一个交点为(－1，－eq \f(4,3))，在l2上取一点(－1，0)，
该点关于y＝eq \f(4,3)x的对称点为(x0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y0,2)＝\f(4,3)·\f(x0－1,2)，,\f(y0,x0＋1)＝－\f(3,4)))，解得对称点为(eq \f(7,25)，－eq \f(24,25))．
所以kl3＝eq \f(－\f(24,25)＋\f(4,3),\f(7,25)＋1)＝eq \f(7,24)，则l3：y＝eq \f(7,24)(x＋1)－eq \f(4,3)，
即7x－24y－25＝0.
所以与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程为x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正确)．
答案：x＝－1(填3x＋4y－5＝0，7x－24y－25＝0都正确)．
5．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
解析：点A(－2，3)，B(0，a)，kAB＝eq \f(a－3,2)，所以直线AB关于y＝a对称的直线的斜率为：eq \f(3－a,2)，所以对称直线方程为y－a＝eq \f(3－a,2)·x，即：(3－a)x－2y＋2a＝0，
(x＋3)2＋(y＋2)2＝1的圆心(－3，－2)，半径为1，
所以eq \f(|3（a－3）＋4＋2a|,\r(4＋（3－a）2))≤1，得12a2－22a＋6≤0，
解得a∈[eq \f(1,3)，eq \f(3,2)]．
答案：[eq \f(1,3)，eq \f(3,2)]