适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题5统计与概率第1讲统计与统计案例课件

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1.抽样方法(1)从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,则每个个体被抽到的概率都为
名师点析简单随机抽样、分层抽样都是等概率抽样,体现了抽样的公平性,但又各有其特点和适用范围.
(2)分层抽样实际上就是按比例抽样,即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量.
2.统计中的四个数据特征(1)众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据.(2)中位数:在样本数据中,将数据按大小排列,如果数据的个数是奇数,位于最中间的数据作为中位数.如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数.
探究在频率分布直方图中如何确定众数、中位数和平均数?在频率分布直方图中,众数是最高小长方形底边中点的横坐标;中位数左边和右边的小长方形的面积是相等的;平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
3.变量间的相关关系(1)一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,那么我们称这两个变量线性相关.
当r<0时,称成对样本数据负相关.当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.
名师点析根据经验回归方程进行预测,得到的仅是一个预测值,而不是真实发生的值.
4.独立性检验对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量X和Y,其样本频数列联表如下.
[例1] 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下.
规律方法用样本估计总体的解题步骤(1)用样本的频率估计总体的步骤①确定样本容量N.②确定事件发生的次数(频数).③求频率 .④估计总体.(2)用样本的数字特征估计总体的步骤①确定样本.②求样本的平均数、众数、中位数、方差(标准差).③由数字分析样本、估计总体.
对点练1(2022·新高考Ⅱ,19)在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100位这种疾病患者的年龄,得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)估计该地区一人患这种疾病,患者年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口数的16%,从该地区任选1人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(精确到0.000 1).
解 (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄为 =(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁).(2)由题图,得这100位这种疾病患者中年龄位于区间[20,70)的频率为(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,故可估计该地区一人患这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率为0.89.
(3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)},C={任选一人患这种疾病},由条件概率公式可得
[例2]党的二十大报告提出:“必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力,深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略,开辟发展新领域新赛道,不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程,决定对其核心系统DAP,采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018~2022年的研发人数作了相关统计(年份代码1~5分别对应2018~2022年)如下折线图.
2018~2022年研发人数折线图
(1)根据折线统计图中数据,计算该公司研发人数y与年份代码x的相关系数r,并由此判断其相关性的强弱;(2)试求出y关于x的经验回归方程,并预测2024年该公司的研发人数(结果取整数).
规律方法求经验回归方程的方法 (2)若所求的经验回归方程是在解答题中,则求经验回归方程的一般步骤如下:
(3)非线性回归分析问题的求解关键:①转化,通过取对数、取倒数、平方(开方)等,把非线性经验回归方程转化成线性经验回归方程;②判断,通过相关系数或决定系数的计算,判断拟合效果.
对点练2(2023·广西桂林、崇左一模)为促进新能源汽车的推广,某市逐渐加大充电基础设施的建设,该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量(单位:个),得到如下表格.
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;(2)求y关于x的经验回归方程,并预测2026年该市新能源汽车充电站的数量.
[例3]为了解空气质量指数(AQI值)与参加户外健身运动的人数之间的关系,某校环保小组在暑假期间(60天)进行了一项统计活动:每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数,并与当天AQI值(从气象部门获取)构成60组成对数据(xi,yi)(i=1,2,…,60),其中xi为当天参加户外健身运动的人数,yi为当天的AQI值,并制作了散点图:
连续60天参加健身运动人数与AQI值散点图
(1)环保小组准备作y与x的线性回归分析,算得y与x的样本相关系数为r≈-0.58,试分析y与x的线性相关关系;(2)环保小组还发现散点有分区聚集的特点,尝试作聚类分析.用直线x=100与y=100将散点图分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(如图),统计得到各区域的点数分别为5,10,10,35,试依据小概率值α=0.005的独立性检验,分析“参加户外健身运动的人数不少于100是否与AQI值不大于100之间有关联”.
解 (1)r≈-0.58,y与x的相关关系为负相关,且|r|<0.75,故线性相关性不强,所以不建议继续做线性回归分析,即使得到经验回归方程,拟合效果也会不理想.
(2)建立2×2列联表如下
零假设为H0:参加户外健身运动的人数不少于100与AQI值不大于100之间无关联.
依据小概率值α=0.005的独立性检验,推断H0不成立,即认为参加户外健身运动的人数不少于100与AQI值不大于100之间有关联.
规律方法独立性检验的一般步骤(1)提出零假设H0:X和Y相互独立.(2)根据抽样数据列出2×2列联表.(3)计算随机变量χ2的值,查表确定临界值xα.(4)当χ2≥xα时,就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;否则,就没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立.
肥胖人群有很大的健康隐患.目前,国际上常用身体质量指数(英文为Bdy Mass Index,简称BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康,其计算公式是 ,中国成人的BMI数值标准为:BMI<18.5为偏瘦,
18.5≤BMI<23.9为正常,24≤BMI<27.9为偏胖,BMI≥28为肥胖.某地区随机调查了6 000名35岁以上成人的身体健康状况,其中有1 000名高血压患者,得到被调查者的频率分布直方图如图.
(1)求被调查者中肥胖人群的BMI平均值μ(每一组用该组区间的中点值作为代表);(2)根据频率分布直方图,完成下面的2×2列联表,依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析35岁以上成人患高血压是否与肥胖有关.
解 (1)由题图可知,1 000名高血压患者的肥胖情况如下表所示.
5 000名非高血压患者的肥胖情况如下表所示.
被调查者中肥胖人群的BMI平均值