考点11 动力学中的临界和极值问题（解析版）—高中物理

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1．常见的临界条件
(1)两物体脱离的临界条件：FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂或松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0.
2．解题基本思路
(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；
(2)寻找过程中变化的物理量；
(3)探索物理量的变化规律；
(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．
3．解题方法
1.连接体恰好脱离满足两个条件
(1)物体间的弹力FN＝0；
(2)脱离瞬间系统、单个物体的加速度仍相等．
2.分析两物体叠加问题的基本思路
典例1(接触与脱离的临界问题)如图所示，质量m＝2 kg的小球用细绳拴在倾角θ＝37°的光滑斜面上，此时，细绳平行于斜面．取g＝10 m/s2(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)．下列说法更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 正确的是( )
A．当斜面体以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为20 N
B．当斜面体以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为30 N
C．当斜面体以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为40 N
D．当斜面体以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力大小为60 N
答案 A
解析 小球刚好离开斜面时的临界条件是斜面对小球的弹力恰好为零，斜面对小球的弹力恰好为零时，设绳子的拉力为F，斜面体的加速度为a0，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有Fcs θ＝ma0，Fsin θ－mg＝0，代入数据解得a0≈13.3 m/s2.
①由于a1＝5 m/s2②由于a2＝20 m/s2>a0，可见小球离开了斜面，此时小球的受力情况如图乙所示，设绳子与水平方向的夹角为α，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F2cs α＝ma2，F2sin α－mg＝0，代入数据解得F2＝20eq \r(5) N，选项C、D错误．

典例2(相对静止(或滑动)的临界问题)(多选)如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上．A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为eq \f(1,2)μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.现对A施加一水平拉力F，则( )
A．当F<2μmg时，A、B都相对地面静止
B．当F＝eq \f(5,2)μmg时，A的加速度为eq \f(1,3)μg
C．当F>3μmg时，A相对B滑动
D．无论F为何值，B的加速度不会超过eq \f(1,2)μg
答案 BCD
解析 当03μmg时，A相对B向右做加速运动，B相对地面也向右加速，选项A错误，选项C正确．当F＝eq \f(5,2)μmg时，A、B相对静止，A与B共同的加速度a＝eq \f(F－\f(3,2)μmg,3m)＝eq \f(1,3)μg，选项B正确．A对B的最大摩擦力为2μmg，无论F为何值，物块B的加速度最大为a2＝eq \f(2μmg－\f(3,2)μmg,m)＝eq \f(1,2)μg，选项D正确．
典例3(动力学中的极值问题)如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑．如图乙，若让该小物块从木板的底端每次均以大小相同的初速度v0＝10 m/s沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度g取10 m/s2.
(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值．
答案 (1)eq \f(\r(3),3) (2)θ＝60° eq \f(5\r(3),2) m
解析 (1)当θ＝30°时，小物块恰好能沿着木板匀速下滑，则mgsin θ＝Ff，Ff＝μmgcs θ
联立解得：μ＝eq \f(\r(3),3).
(2)当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，物块的加速度为a，则－mgsin θ－μmgcs θ＝ma，
由0－v02＝2ax得x＝eq \f(v02,2gsin θ＋μcs θ)，
令cs α＝eq \f(1,\r(1＋μ2))，sin α＝eq \f(μ,\r(1＋μ2))，
即tan α＝μ＝eq \f(\r(3),3)，
故α＝30°，
又因x＝eq \f(v02,2g\r(1＋μ2)sin θ＋α)
当α＋θ＝90°时x最小，即θ＝60°，
所以x最小值为xmin＝eq \f(v02,2gsin 60°＋μcs 60°)
＝eq \f(\r(3)v02,4g)＝eq \f(5\r(3),2) m.
1.(多选)一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，小球通过细绳与车顶相连，小球某时刻正处于如图所示状态，设斜面对小球的支持力为FN，细绳对小球的拉力为FT，若某时刻FT为零，则此时小车可能的运动情况是( )
A．小车向右做加速运动
B．小车向右做减速运动
C．小车向左做加速运动
D．小车向左做减速运动
答案 BC
解析 小球和小车具有相同的加速度，所以小球的加速度只能沿水平方向，根据牛顿第二定律知，小球受到的合力方向水平；小球受到重力和斜面对其向左偏上的支持力作用，二力的合力只能水平向左，所以小车应向左做加速运动或向右做减速运动，选项B、C正确．
2.质量为0.1 kg的小球，用细线吊在倾角α＝37°的斜面上，如图所示，系统静止时细线与斜面平行，不计一切摩擦．当斜面体水平向右匀加速运动时，小球与斜面刚好不分离，则斜面体的加速度为(重力加速度为g)( )
A．gsin α B．gcs α
C．gtan α D.eq \f(g,tan α)
答案 D
解析 因小球与斜面刚好不分离，所以小球受力如图所示，由图知tan α＝eq \f(mg,ma)，则a＝eq \f(g,tan α)，D正确．
3.(多选)如图所示，已知物块A、B的质量分别为m1＝4 kg、m2＝1 kg，A、B间的动摩擦因数为μ1＝0.5，A与水平地面之间的动摩擦因数为μ2＝0.5，设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，g取10 m/s2，在水平力F的推动下，要使A、B一起运动且B不下滑，则力F的大小可能是( )
A．50 N B．100 N C．125 N D．150 N
答案 CD
解析 若B不下滑，对B有μ1FN≥m2g，由牛顿第二定律得FN＝m2a；对整体有F－μ2(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a，得F≥(m1＋m2)g＝125 N，选项C、D正确．
4.如图所示，A、B两个物体叠放在一起，静止在粗糙水平地面上，B与水平地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，A与B间的动摩擦因数μ2＝0.2.已知A的质量m＝2 kg，B的质量M＝3 kg，重力加速度g取10 m/s2.现对物体B施加一个水平向右的恒力F，为使A与B保持相对静止，则恒力F的最大值是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
A．20 N B．15 N C．10 N D．5 N
答案 B
解析 恒力最大时，对A有μ2mg＝ma；对A、B整体有Fmax－μ1(m＋M)g＝(m＋M)a，联立解得Fmax＝15 N，选项B正确．
5.(2022·百色市高一期末)如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为mA＝6 kg、mB＝2 kg，A、B之间的动摩擦因数μ＝0.2，水平向右的拉力F作用在物体A上，开始时F＝10 N，此后逐渐增加，在增大的过程中(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，则( )
A．当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态
B．两物体始终没有相对滑动
C．两物体从受力开始就有相对滑动
D．要让两物体发生相对滑动需要F大于48 N
答案 D
解析 由于水平面光滑，当拉力F<12 N时，合外力不为零，所以A、B两物体均不能保持静止状态，A错误；当A、B间的静摩擦力达到最大，即要发生相对滑动时，Ffm＝μmAg＝12 N，此时物体B的加速度为am＝eq \f(Ffm,mB)＝6 m/s2，对AB整体来说F＝(mA＋mB)am＝48 N，故当F从10 N逐渐增到48 N的过程中，两物体不产生相对滑动，大于48 N则两物体会发生相对滑动，D正确，B、C错误．
6.如图所示，两个质量均为m的物块叠放压在一个竖直轻弹簧上面，处于静止状态，弹簧的劲度系数为k，t＝0时刻，物块受到一个竖直向上的作用力F，使得物块以0.5g(g为重力加速度的大小)的加速度匀加速上升，则A、B分离时B的速度为( )
A.eq \f(g,2)eq \r(\f(m,k)) B．geq \r(\f(m,2k)) C．geq \r(\f(2m,k)) D．2geq \r(\f(m,k))
答案 B
解析 静止时弹簧压缩量x1＝eq \f(2mg,k)，分离时A、B之间的压力恰好为零，设此时弹簧的压缩量为x2，对B：kx2－mg＝ma，得x2＝eq \f(3mg,2k)，物块B的位移x＝x1－x2＝eq \f(mg,2k)，由v2＝2ax得：v＝geq \r(\f(m,2k))，B正确．
7.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为( )
A．μmg B．2μmg
C．3μmg D．4μmg
答案 C
解析 当A、B之间恰好不发生相对滑动时力F最大，此时，A物体所受的合力为μmg，由牛顿第二定律知aA＝eq \f(μmg,m)＝μg，对于A、B整体，加速度a＝aA＝μg.由牛顿第二定律得F＝3ma＝3μmg.
8.如图所示，两细绳与水平车顶夹角分别为60°和30°，物体质量为m，当小车以大小为2g的加速度向右做匀加速直线运动时，求绳1和绳2的拉力大小．(g为重力加速度)
答案 eq \r(5)mg 0
解析 绳1和绳2的拉力与小车的加速度大小有关．当小车的加速度大到一定值时物体会“飘”起来，导致绳2松弛，没有拉力，假设绳2的拉力恰为0，即FT2为0，则有FT1cs 30°＝ma′，FT1sin 30°＝mg，解得a′＝eq \r(3)g，因为小车的加速度大于eq \r(3)g，所以物体已“飘”起来，绳2的拉力FT2′＝0，绳1的拉力FT1′＝eq \r(ma2＋mg2)＝eq \r(5)mg.
9.一个质量为m的小球B，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A、C两点，如图所示，已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.重力加速度为g，试求：
(1)当车以加速度a1＝eq \f(1,2)g向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小；
(2)当车以加速度a2＝2g向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小．
答案 (1)eq \f(\r(5),2)mg 0 (2)eq \f(3\r(2),2)mg eq \f(\r(2),2)mg
解析 设当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度向左，大小为a0，由牛顿第二定律得，F1cs 45°＝mg，F1sin 45°＝ma0，可得：a0＝g.
(1)因a1＝eq \f(1,2)g(2)因a2＝2g>a0，故细绳1、2均张紧，设拉力分别为F12、F22，由牛顿第二定律得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F12cs 45°＝F22cs 45°＋mg,F12sin 45°＋F22sin 45°＝ma2))
解得F12＝eq \f(3\r(2),2)mg，F22＝eq \f(\r(2),2)mg.
10.如图所示，一块质量m＝2 kg的木块放置在质量M＝6 kg、倾角θ＝37°的粗糙斜面体上，木块与斜面体间的动摩擦因数μ＝0.8，二者静止在光滑水平面上．现对斜面体施加一个水平向左的作用力F，若要保证木块和斜面体不发生相对滑动，求F的大小范围．(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)
答案 0≤F≤310 N
解析 由于μ>tan θ，故当F＝0时，木块静止在斜面上，即F的最小值为0.
根据题意可知，当木块相对斜面恰不向上滑动时，F有最大值Fm.
设此时两物体运动的加速度为a，两物体之间的摩擦力大小为Ff，斜面体对木块的支持力为FN.
对整体和木块分别进行受力分析，如图甲、乙：
对整体受力分析：Fm＝(m＋M)a，
对木块受力分析：Ff＝μFN，Ffcs θ＋FNsin θ＝ma，FNcs θ＝mg＋Ffsin θ，联立以上各式，代入数据解得Fm＝310 N，故F的大小范围为0≤F≤310 N.
11.(2023·攀枝花·期末)如图所示，光滑水平面上放有光滑直角斜面体，倾角θ＝30°，质量M＝2.5 kg.平行于斜面的轻质弹簧上端固定，下端与质量m＝1.5 kg的铁球相连，静止时弹簧的伸长量Δl0＝2 cm.重力加速度g取10 m/s2.现用向左的水平力F拉着斜面体向左运动，铁球与斜面体保持相对静止，当铁球对斜面体的压力为0时，求：
(1)水平力F的大小；
(2)弹簧的伸长量Δl.
答案 (1)40eq \r(3) N (2)8 cm
解析 (1)当铁球与斜面体一起向左加速运动，对斜面体压力为0时，设弹簧拉力为FT，铁球受力如图甲，由平衡条件、牛顿第二定律得：
FTsin θ＝mg
FTcs θ＝ma
对铁球与斜面体整体，由牛顿第二定律得：F＝(M＋m)a
联立以上三式并代入数据得：FT＝30 N，F＝40eq \r(3) N
(2)铁球静止时，设弹簧拉力为FT0，铁球受力如图乙，由平衡条件得：
FT0＝mgsin θ
由胡克定律得：FT0＝kΔl0
FT＝kΔl
联立以上三式并代入数据得：Δl＝8 cm.
12.如图所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的足够长的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝6 kg的物体P，Q为一质量为m2＝10 kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止状态．现给物体Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：
(1)系统处于静止状态时，弹簧的压缩量x0；
(2)物体Q从静止开始沿斜面向上做匀加速运动的加速度大小a；
(3)力F的最大值与最小值．
答案 (1)0.16 m (2)eq \f(10,3) m/s2 (3)eq \f(280,3) N eq \f(160,3) N
解析 (1)设开始时弹簧的压缩量为x0，
对P、Q整体受力分析，平行斜面方向有
(m1＋m2)gsin θ＝kx0
解得x0＝0.16 m.
(2)前0.2 s时间内F为变力，之后为恒力，则0.2 s时刻两物体分离，此时P、Q之间的弹力为零且加速度大小相等，设此时弹簧的压缩量为x1，
对物体P，由牛顿第二定律得：
kx1－m1gsin θ＝m1a
前0.2 s时间内两物体的位移：
x0－x1＝eq \f(1,2)at2
联立解得a＝eq \f(10,3) m/s2.
(3)对两物体受力分析知，开始运动时F最小，分离时F最大，则Fmin＝(m1＋m2)a＝eq \f(160,3) N
对Q应用牛顿第二定律得
Fmax－m2gsin θ＝m2a
解得Fmax＝eq \f(280,3) N.极限法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法
临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法
将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件