2020-2021年江苏省南通市启东市高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年江苏省南通市启东市高一数学下学期期中试卷及答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．＝（ ）
A．2B．2iC．﹣2D．﹣2i
2．函数f（x）＝cs2x的最小正周期为（ ）
A．2B．4C．2πD．4π
3．设向量＝（1，﹣1），＝（m，2m﹣3），若⊥（+），则m＝（ ）
A．B．1C．3D．5
4．某海域有A，B，C三座小岛，经测量，B岛在A岛的正东方向，且距离A岛10海里处，C岛在A岛的北偏西30°方向，且距离A岛20海里处，则B，C两座小岛间的距离为（ ）
A．10海里B．10海里C．10海里D．10海里
5．在△ABC中，若cs（2B+C）+csC＞0，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．以上皆有可能
6．瑞士数学家莱昂哈德•欧拉于1748年提出了著名的公式：eix＝csx+isinx，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式被称为欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，|e2i﹣1|＝（ ）
A．cs2B．sin2C．2sin1D．2cs1
7．设a＝sin250°，b＝﹣cs50°，c＝，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．a＜c＜b
8．设点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，向量绕着O点顺时针方向旋转θ后得到，则A′的坐标为（ ）
A．（acsθ﹣bsinθ，asinθ+bcsθ）
B．（acsθ+bsinθ，bcsθ﹣asinθ）
C．（asinθ+bcsθ，acsθ﹣bsinθ）
D．（bcsθ﹣asinθ，bsinθ+acsθ）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设复数z1，z2满足z2≠0，且|z1|＝2|z2|，则z1可以是（ ）
A．B．4iC．D．2﹣2i
10．已知函数f（x）＝csx﹣sinx，则（ ）
A．函数f（x）的最大值为2
B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称
C．函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
D．函数f（x）在区间（）上单调递增
11．已知P为△ABC所在平面内的点，则下列说法正确的是（ ）
A．若2＝﹣，则P为AB的中点
B．若++＝，则P为△ABC的重心
C．若＝，则P为△ABC的垂心
D．若+2+3＝，则P在△ABC的中位线上
12．由倍角公式cs2x＝2cs2x﹣1，可知cs2x可以表示为csx的二次多项式．一般地，存在一个n（n∈N*）次多项式Pn（t）＝a0tn+a1tn﹣1+a2tn﹣2+…+an（a0，a1，a2…an∈R），使得csnx＝Pn（csx），这些多项式Pn（t）称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）
A．P3（t）＝﹣4t3+3tB．P4（t）＝8t4﹣8t2+1
C．sin18D．cs18°＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝，csA＝，则sinC＝ ．
14．已知方程x2﹣4x+b＝0在复数集范围内的一个虚根为2+i，则实数b＝ ．
15．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF所在平面内的一点，若点P与点D重合，则＝ ；当点P满足 时，＝12．
（注：第二空填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
16．已知tanα，tanβ是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，有以下四个命题：
甲：b：a＝5：3；
乙：c：a＝7：3；
丙：tan（α+β）＝﹣；
丁：＝．
如果只有一个假命题，则该命题是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）若复数z＝（m2+2m﹣3）+（m2+5m+6）i是纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z满足z+（z+）i＝（1+i）（3﹣i），求复数z．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知（a+c）（a﹣c）＝b（b+c）．
（1）求角A的大小；
（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若b＝3，c＝4，点D是BC边上的一点，且_____，求线段AD的长．
①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③AD是△ABC的角平分线．
19．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥BD，△BCD是边长为3的等边三角形，点E在BD边上．设＝x+y．
（1）证明：x+y＝1；
（2）若x＝，求的值．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于点A，B．
（1）证明：cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ：
（2）设α＝，cs（α﹣β）＝，求sin2β的值．
21．已知函数f（x）＝sin2x+sinxcsx﹣．
（1）若f（）＝，且α∈（0，），求sinα的值；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（）＝﹣，求的取值范围．
22．已知sinα+sinβ+sinγ＝0，csα+csβ+csγ＝0，其中0＜α＜β＜π，π＜γ＜2π．
（1）求β﹣α的值；
（2）在平面向量中的学习中我们知道，若向量＝（x，y），则||＝．类比上述结论，在空间向量中，若向量＝（x，y，z），则||＝．若＝（csaα，csβ，csγ），求||的值．