2020-2021学年江苏省南通市启东市、通州区高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南通市启东市、通州区高二（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南通市启东市、通州区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）不等式的解集为　　A．， B．， C．，， D．，，2．（5分）在等比数列中，已知，，则公比　　A． B． C． D．23．（5分）已知函数，为的导函数，则（1）的值为　　A．0 B．1 C． D．4．（5分）我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列，把数与的公共项从小到大得到数列，则下列说法正确的是　　A． B． C． D．5．（5分）已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是　　A． B． C． D．6．（5分）已知正方体，点，分别是棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为　　A． B． C． D．7．（5分）抛物线的顶点是抛物线上到点的距离最近的点，则实数的取值范围是　　A． B．， C． D．，8．（5分）数列满足，，则“”是“数列成等比数列”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部做对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9．（5分）下列命题正确　　A．若，则 B．， C． D．，10．（5分）已知数列的前项和是，则下列说法正确的有　　A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列 C．若是等差数列，则，，成等差数列 D．若是等比数列，则，，成等比数列11．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，则　　A．虚轴长是实轴长的2倍 B．离心率是或 C．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长是虚轴长的2倍 D．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长12．（5分）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②的模，，表示向量，的夹角）．在正方体中，有以下四个结论，正确的有　　A． B． C．与方向相同 D．与正方体表面积的数值相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）曲线在点处的切线方程是　　．14．（5分）已知数列的前项和是，若，，则的值为　　．15．（5分）已知正实数，，满足，则的最小值为　　；实数的取值范围为　　．16．（5分）2020年是全国决胜脱贫攻坚之年，“一帮一扶”工作组进驻某山区帮助农民脱贫，发现该山区盛产苹果、梨子、猕猴桃，工作人员艾明在线上进行直播带货活动，促销方案如下：若一次购买水果总价不低于200元，则顾客少付款元，每次订单付款成功后，农民会收到支付款的，在促销活动中，为了使得农民收入不低于总价的，则的最大值为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合，集合，．（1）求集合；（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．18．（12分）已知．（1）当时，求的单调增区间；（2）若，求实数的取值范围．19．（12分）在①，②③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设是数列的前项和，且，____，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．20．（12分）在一张纸片上，画有一个半径为2的圆（圆心为和一个定点，且，若在圆上任取一点，将纸片折叠使得与重合，得到折痕，直线与直线交于点．（1）若以所在直线为轴，的垂直平分线作为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点的轨迹方程；（2）在（1）的条件下，点，能否找到点使得的周长最小，若存在求出该最小值及点坐标，若不存在，请说出理由．21．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，．（1）设平面平面，求证：平面；（2）若平面，，．在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？22．（12分）已知椭圆的长轴长为4，椭圆的右焦点到右准线的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）若在椭圆上且在第一象限，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线，分别交轴，轴于点，．①求证：为定值；②求面积的最小值．
2020-2021学年江苏省南通市启东市、通州区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【解答】解：不等式可化为，即，解得或，所以原不等式的解集为，，．故选：．2．【解答】解：设等比数列的公比为，由，，得：，两式作比得，．故选：．3．【解答】解：根据题意，，则，则（1）；故选：．4．【解答】解：根据题意，数列是首项为2，公差为3的等差数列，故，数列是首项为2，公差为5的等差数列，故，把数与的公共项从小到大得到数列，故数列是首项为2，公差为15的等差数列，故，因为，，故，故选项错误；因为，，故，故选项错误；因为，，故，故选项正确；因为，，故，故选项错误．故选：．5．【解答】解：由题意可知，即，则，所以椭圆的离心率为，故选：．6．【解答】解：连接，正方体，点，分别是棱，的中点，，是异面直线，所成角（或所成角的补角），设正方体的棱长为2，则，．异面直线，所成角的余弦值为．故选：．7．【解答】解：设抛物线上任意一点，则，则，，因为函数的对称轴为，又到点的距离最近的点是顶点，所以，解得，故选：．8．【解答】解：当时，数列满足，，即，故数列是等差数列，所以“”是“数列成等比数列”的不充分条件；当数列成等比数列，则，，成等比数列，当时，，当时，，所以有，即，解得（舍或，故“”是“数列成等比数列”的不必要条件；所以“”是“数列成等比数列”的既不充分也不必要条件．故选：．二、选择题：本题共4小，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部做对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9．【解答】解：因为，且，所以，故选项正确；当时，，，故，故选项错误；当时，，当且仅当，即时取等号，而，若，则有，此方程无解，故不存在，使得，故选项错误；因为，所以恒成立，故，，故选项正确．故选：．10．【解答】解：若，当时，，当时，也适合上式，故，因为，所以数列是等差数列，故选项正确；若，当时，，整理可得，所以，所以数列是等比数列，故选项正确；若是等差数列，则，，，所以，故，，成等差数列，故选项正确；若是等比数列，当时，，当为偶数时，则有，，，不构成等比数列，故选项错误；故选：．11．【解答】解：双曲线的渐近线方程为，若双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的方程为，可得，即，，可令，则，可得过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长是，焦点到渐近线的距离等于；若双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的方程为，可得，即，，过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长是，焦点到渐近线的距离等于，故错误，正确．故选：．12．【解答】解：对于，由模的定义知，，，，所以对；对于，由，和构成右手系知，与方向相反，再由知，，所以错；对于，，平面，平面，，再由右手系知，与同向，所以对；对于，正方体棱长为，，正方体表面积为，所以对．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．【解答】解：，可得，所以所求切线的斜率为：，所以切线方程为：，即．故答案为：．14．【解答】解：，，则，又，，，可得数列的所有奇数项构成以1为首项，以1为公差的等差数列，偶数项构成以0为首项，以1为公差的等差数列．则，，，．故答案为：27．15．【解答】解：因为正实数，，满足，所以，则，（当，即，时，取等号），由可得，解得，（当时取等号），可得，，，，．故答案为：，．16．【解答】解：设每笔订单促销前的总价为元，根据题意有，即恒成立，由题意得，所以，所以，所以的最大值为25，故答案为：25．四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【解答】解：（1）．（2）若是的必要条件，则，，，．对应方程的两个根为，，若，即时，此时，不满足条件．若，即时，此时，要使，则，得，得，若，即时，此时，要使，则，得，得，综上实数的取值范围是或．18．【解答】解：（1）时，，，，令，解得：，故时，在，递增；（2）若，则，即，令，则，令，，故，在递减，而，故时，，即，递增，，时，，即，递减，故，故，即的取值范围是，．19．【解答】解：若选①：因为，且，所以数列是首项为9，公差为的等差数列，故，因为，公差，故有最大值，令，即，解得，所以当或82时，有最大值；若选②：因为，且，所以数列是首项为9，公比为的等比数列，故，当为奇数时，，因为随着的增大而减小，故为；当为偶数时，，因为，综上所述，当时，有最大值；若选③：因为，所以，故，，故，当时，也适合上式，故，因为随着的增大而增大，故无最大值．20．【解答】解：（1）由已知可得：，，且直线是线段的垂直平分线，所以，则，由双曲线的定义可得点的轨迹是以点，为焦点的双曲线的左支，所以，，则，，故点的轨迹方程为；（2）由（1）可得直线的斜率为，所以直线的方程为：，代入椭圆方程消去可得：，解得（舍去），此时，由双曲线的定义可知三角形的周长为，当且仅当，，三点共线时取等号，如图所示：此时点即为直线与双曲线的交点，所以存在点，使得三角形的周长取得最小值为．21．【解答】（1）证明：，平面，平面，平面，又平面，平面平面，，平面，平面，平面．（2）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨取，则，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，设，，，则，0，，，0，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，，，，与平面所成角的正弦值为，，，化简得，解得或，故线段上存在点满足题意，且点为线段的一个三等分点．22．【解答】解：（1）根据题意可得，解得，，，所以椭圆的方程为．（2）①证明：由（1）可得，，设，，则直线的方程为，令，得，即点坐标为，直线的方程为，令，得，即点坐标为，，所以，，所以因为点在椭圆上，所以，即，所以．②，（当且仅当时取等号），面积的最小值为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/4/10 17:53:55；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394