2020-2021年江苏省扬州市江都市高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年江苏省扬州市江都市高一数学下学期期中试卷及答案，共16页。试卷主要包含了已知复数，则，的值为，已知向量，，则与的夹角为，下列说法正确的是，下列各式中，值为的是等内容，欢迎下载使用。


单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为
C．在复平面内对应的点在第三象限 D．
2．的值为（ ）
A． B． C．－ D．－
3．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．在复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是（ ）
A．线段 B．圆 C．直线 D．圆环
5．如图，三个相同的正方形相接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．有“苏中第一高楼”之称的扬州金奥中心座落于扬州文昌东路，是江都的标志性建筑。小明同学为了估算大楼的高度，在大楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得楼顶的仰角为，则小明估算金奥中心的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
金 奥 中 心
7．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AD上一动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
8．中，角的对边分别为且，，为的中点，,则=（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．若与平行, 与平行，则与平行 B．
C．若且则 D．和的数量积就是在上的投影向量与的数量积.
10．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．斜三角形ABC中,
B．若，，，则有两解
C．若，则一定为直角三角形
D．若，则外接圆半径为
12．已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．的最大值为 B．若，则
C．若是与共线的单位向量，则 D．当取得最大值时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．为虚数单位，复数，则=____________．
14．已知，则_____________．
A
D
B
C
E
F
15．如图，在平行四边形中，为中点，交于点，且,则_____．
16．已知，函数，若在区间上至少有个零点，则的最小值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知是虚数单位，复数，
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面上对应的点在直线上，求的值.
18.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，,,
（1）求点的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形.
19.（本小题满分12分）
在①, ②, ③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.
已知的内角的对边分别为，_____________,,,求的面积.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
20.（本小题满分12分）
已知向量,,其中,且.
(1)求和的值; (2)若,且,求角.
21.（本小题满分12分）
如图，已知正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），在运动的过程中，始终保持不变，设.
（1）将的面积表示成的函数，并写出定义域；
（2）求面积的最小值.
22.（本小题满分12分）
△ABC中，，．
（1）求角；
（2）若，求AB的长；
（3）设,是否存在实数，使得的最小值为？
答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．B 7．A 8．C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
BD 10. AB 11．ABC 12．AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15．2 16．.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知是虚数单位，复数，
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面上对应的点在直线上，求的值.
解：（1）若为纯虚数，则，且，
解得实数的值为2； ---------------------------------------4分
（2）在复平面上对应的点，
由条件点在直线上，则，
解得． ----------------------------------------7分
则， ----------------------------------------8分
所以 ---------------------------------------10分
18.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，,,
（1）求点的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形.
解：（1）设，则,
----------------------------------------3分
----------------------------------------6分
（2）证明：连接
,， 且 ----------------------9分
又，,
四边形为等腰梯形 ---------------------------------------12分
19.（本小题满分12分）
在①, ②, ③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.
已知的内角的对边分别为，_____________,,,求的面积.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
解：选择①：,
由余弦定理,因为,所以; -----------------------4分
由正弦定理,得, -----------------------6分
因为,,所以, -----------------------8分
所以, -----------------------10分
所以. -----------------------12分
若选择②：,则,
因为,所以,因为,所以; -----------------------4分
由正弦定理,得, -----------------------6分
因为,,所以, -----------------------8分
所以, -----------------------10分
所以. -----------------------12分
若选择③：,则,所以,
因为,所以,所以,所以; -----------------------4分
由正弦定理,得, -----------------------6分
因为,,所以, -----------------------8分
所以, -----------------------10分
所以. -----------------------12分
20.（本小题满分12分）
已知向量,,其中,且.
(1)求和的值; (2)若,且,求角.
解：(1)∵,∴,即. ----------------------------------------2分
代入,得,
又,则,. ----------------------------------------4分
则.
. ----------------------------------------6分
(2)∵,,∴.
又,∴. ----------------------------------------8分
∴==.
由,得. ----------------------------------------12分
21.（本小题满分12分）
如图，已知正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），在运动的过程中，始终保持不变，设.
（1）将的面积表示成的函数，并写出定义域；
（2）求面积的最小值.
解:（1）由，，则，
正方形的边长为，在中，， - ---------------------------------------2分
在中，， ----------------------------------------4分
所以
， ----------------------------------------7分
由图可知，所以函数的定义域为. ----------------------------------------8分
（2）由，则，，
当，即时，面积的最小，
即面积的最小值为. ----------------------------------------12分
22.（本小题满分12分）
△ABC中，，．
（1）求角；
（2）若，求AB的长；
（3）设,是否存在实数，使得的最小值为？
解：（1）△ABC中，
，

---------------------------------------3分
（2）△ABC中，由正弦定理得，，
， --------------------------------------5分
，
，
. ---------------------------------------7分
（3）设，
，
平方有，， ---------------------------------9分
令，
当时，不合题意，
当时，对称轴，不合题意，
当时，对称轴，开口向下，，又，
，此时对称轴，满足题意，
所以存在使得的最小值为. ------------------------------12分