2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学实验学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学实验学校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共43页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不能确定
2．方程（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5的解是（ ）
A．x＝5B．x＝5 或x＝6
C．x＝7D．x＝5 或 x＝7
3．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB为（ ）
A．5cmB．4cmC．6cmD．8cm
4．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A．11πB．7πC．13πD．9π
5．当用配方法解一元二次方程x2﹣3＝4x时，下列方程变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣2）2＝4C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝7
6．2023年连花清瘟胶囊经过两次降价，从每盒43元下调至13.8元，设平均每次降价百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．43（1﹣x2）＝13.8B．43（1﹣x）2＝13.8
C．43（1﹣2x）＝13.8D．13.8（1+x）2＝43
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC＝（ ）
A．2B．C．D．3
8．如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD＝2OD，则折痕AB的长为（ ）
A．B．C．6D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边CD以2cm/s的速度向点D移动．设运动时间为t，当PQ＝10cm时，t＝（ ）
A．B．或4C．或D．4
10．如图，O为等边△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．现有以下结论：①O是△ABE外心； ②O是△ACD的外心；③∠EBC＝45°；④设BE＝x，则；⑤若点M，N分别在线段BA，BC上运动（不含端点），随着点E运动到每一个确定位置时，△EMN的周长都有最小值，．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③④B．②③⑤C．②④D．①③④⑤
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）
11．若矩形的长和宽是方程x2﹣6x+m＝0（0＜m≤9）的两根，则矩形的周长为 ．
12．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝5，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
13．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝ °．
14．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若BD＝10，AD＝3，则＝ ．
16．如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、、OB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分面积是 ．
17．如图，，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，将线段BD绕着点B逆时针旋转60°得到线段BA，则线段AC的取值范围是 ．
18．如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连接OE，若OE的最小值为，则AB＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣1＝0
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6
（3）（2x﹣1）2﹣9＝0
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0
20．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B若直径AC＝12cm，∠P＝60°，求弦AB的长．
21．已知一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当其中一个根为1时，求另一个根．
（2）证明不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
22．如图，是一个△ABC纸板，其中∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝3．
操作（1）：可以剪出一个直径在直角边AC上的最大半圆，请用无刻度直尺和圆规作出符合条件的半圆；
操作（2）：若将（1）中的半圆剪下，围成一个圆锥的侧面，剩下部分能再剪出一个完整的圆作为圆锥的底面吗？若能，求出底面半径；若不能，请说明理由．
23．关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”．请解决下列问题：
（1）请写出一个“勾系方程”： ；
（2）求证：关于x的“勾系方程”必有实数根；
（3）如图，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程是“勾系方程”，求∠BDC．
24．如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，作直线EC交⊙O于点C，连接AC、BC，使得∠BCE＝∠CAB，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：直线EC是⊙O的切线；
（2）若BE＝1，CE＝2，求⊙O的半径及AD的长．
25．某杨梅采摘园收费信息如下表：
（1）某社团共35人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过1530元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？
（2）某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价384元，求这次参加团建的共多少人？
26．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，﹣5），以原点O为圆心，3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴负半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时直线AP的解析式．
27．定义1：如图1，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转θ（θ＝120°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，实数a为点P的横坐标．
定义2：在平面斜坐标系xOy中，若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
（1）已知⊙O的半径为1，△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
①如图2，点B（0，0），C（0，2），点A的横坐标的最小值为 ，在，这两个点中，点A可以与点 重合；
②若点A（1，0），点B（0，m），m＜0，∠B＝90°，BA＝BC，点C在x轴下方．求满足条件的点C轨迹长度；
（2）已知⊙O的半径为r，点A（r，r），点C（4，0）．若平面斜坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外D．不能确定
【分析】OP＝5，A为线段PO的中点，则OA＝2.5，因而点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．
解：∵OA＝OP＝2.5，⊙O的半径为3，
∴OA＜⊙O半径，
∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．
2．方程（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5的解是（ ）
A．x＝5B．x＝5 或x＝6
C．x＝7D．x＝5 或 x＝7
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
解：方程移项得：（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0，
解得：x＝5或x＝7，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB为（ ）
A．5cmB．4cmC．6cmD．8cm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为4cm，求出直径即可．
解：如图，连接OD、OC，
∵BC＝CD＝DA＝4cm，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝4cm，
∴⊙O的直径AB为8cm．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定，解题的关键是利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形．
4．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ）
A．11πB．7πC．13πD．9π
【分析】根据题意，先找到圆心O，然后根据PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，∠P＝40°可以得到∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
解：设所在圆的圆心为O，连接OA，OB，
∵PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣140°＝220°，
∴优弧AMB的长是：＝11π（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧AMB的度数．
5．当用配方法解一元二次方程x2﹣3＝4x时，下列方程变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣2）2＝4C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝7
【分析】原方程变形为x2﹣4x＝3，再在两边都加上那个22，即可得．
解：x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
故选：D．
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半的平方．
6．2023年连花清瘟胶囊经过两次降价，从每盒43元下调至13.8元，设平均每次降价百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．43（1﹣x2）＝13.8B．43（1﹣x）2＝13.8
C．43（1﹣2x）＝13.8D．13.8（1+x）2＝43
【分析】根据药品经过两次降价，每瓶零售价由43元降为13.8元，可以列出方程43（1﹣x）2＝13.8，本题得以解决．
解：由题意可得，
43（1﹣x）2＝13.8．
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC＝（ ）
A．2B．C．D．3
【分析】连接CD，由AD是⊙O的直径，得∠ACD＝90°，由∠ABC＝∠DAC，∠ABC＝∠D，得∠DAC＝∠D，则AC＝DC，所以AD＝＝AC＝4，求得AC＝2，于是得到问题的答案．
解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABC＝∠DAC，∠ABC＝∠D，
∴∠DAC＝∠D，
∴AC＝DC，
∵AD＝4，且AD＝＝＝AC，
∴AC＝4，
∴AC＝2，
故选：C．
【点评】此题重点考查三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8．如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，与AB垂直的半径OC交于点D且CD＝2OD，则折痕AB的长为（ ）
A．B．C．6D．
【分析】延长CO交AB于E点，连接OB，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长
解：延长CO交AB于E点，连接OB，
∵CE⊥AB，
∴E为AB的中点，
∵OC＝6，CD＝2OD，
∴CD＝4，OD＝2，OB＝6，
∴DE＝（2OC﹣CD）＝（6×2﹣4）＝×8＝4，
∴OE＝DE﹣OD＝4﹣2＝2，
在Rt△OEB中，
∵OE2+BE2＝OB2，
∴BE＝＝＝4
∴AB＝2BE＝8．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边CD以2cm/s的速度向点D移动．设运动时间为t，当PQ＝10cm时，t＝（ ）
A．B．或4C．或D．4
【分析】过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝BC＝6cm，利用时间＝路程÷速度，可求出点P到达点B所需时间，当运动时间为t（0＜t≤）s时，EQ＝|16﹣5t|，利用勾股定理，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝BC＝6cm，如图所示.
16÷3＝（s）．
当运动时间为t（0＜t≤）s时，AP＝3t cm，DQ＝（16﹣2t）cm，EQ＝|（16﹣2t）﹣3t|＝|16﹣5t|，
根据题意得：PQ2＝PE2+EQ2，
即102＝62+（16﹣5t）2，
整理得：（16﹣5t）2＝82，
∴16﹣5t＝8或16﹣5t＝﹣8，
解得：t1＝，t2＝，
∴t的值为或．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．如图，O为等边△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．现有以下结论：①O是△ABE外心； ②O是△ACD的外心；③∠EBC＝45°；④设BE＝x，则；⑤若点M，N分别在线段BA，BC上运动（不含端点），随着点E运动到每一个确定位置时，△EMN的周长都有最小值，．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③④B．②③⑤C．②④D．①③④⑤
【分析】本题命题思路是以等边△ABC外心为背景，进而得到A，E，C，B四点共圆，从而对角互补，利用旋转△ABE，可以转化四边形ABCE为一个规则的等边三角形EBF，最后利用轴对称性可解决AEMN周长最小值的问题．
解：连接OA，OB；
∵O为△ABC 的外心；
∴OA＝OB＝OC；
∵正方形OCED；
∴OC＝OE；
∴OE＝OA＝OB；
∴O是的△ABE 外心；故①正确．
对于②，连接AD，OD，
∵OA＝OC≠OD，
∴O不是△ACD 的外心；故②错误．
对于③，连接OB，
∴OC＝OE＝OB，
∴C，B，E，三点共圆；
∴，
∵∠COE＝90°，
即∠EBC＝45°；故③正确．
对于④，
∵OC＝OE＝OB＝OA，
∴E，A，B，C四点共圆，
如图所示，以点B为旋转中心，把△BAE绕点B逆时针旋转 60°，点E的对应点为点F，△ABE≌△CBF，
∵∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠CBF+∠CBE＝60°，
即∠FBE＝60°，
∵∠EAB+∠ECB＝180°，
∴∠FCB+∠ECB＝180°，
∴E，C，F三点共线；
由旋转的性质可得，BE＝BF，
∴△FBE是等边三角形；
∵BE＝x，
过点F作BE的垂线，垂足为P，
∴FP⊥BE，
∵∠PFB＝30°；
在Rt△PFB中，
tan30°＝，
∴；
∴；，
∵SAECB＝S△FBE，
∴；
故④正确．
对于⑤，
如下图所示；作EM和EN关于AB和BC的对称线段，
∴EM＝MP，EN＝NQ；C△EMN＝MN+MP+NQ，
当P，M，N，Q四点共线时，C△EMN 周长最小：
即C△EMN＝MN+MP+NQ≥PQ，C△EMN＝PQ，
连接EB，
∴EB＝BP＝BQ，连接PQ，
∴△BPQ是等腰三角形；
∵∠EBM＝∠PBM，∠QBN＝∠EBN；
∴∠EBA+∠EBC＝∠PBM+QBN；
∵∠EBA+∠EBC＝60°，
∴∠PBQ＝2∠ABC＝120°；
∴三角形PBQ是以∠PBQ＝120°为顶角的等腰三角形；
过点B作PQ的垂线，垂足为L，
∵∠PBL＝30°，
∴；
在Rt△PBL中；
∴；
∴ 即 故⑤错误；综上所述，①③④正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查正方形的性质，等边三角形性质及其外心的性质，圆周角定理，四点共圆及圆内接四边形的性质，旋转变换，利用轴对称解决周长最小值，120°等腰三角形的解法及解直角三角形，见外心连顶点，到三个顶点距离相等，判定外心只需确顶点是都到三角形三个顶点距离相等，四边形对角互补要旋转，转化定型求面积，求周长最小值利用轴对称变换是关键，转化两点间距离最短即可，最后牢记特殊三角形的边长之比非常重要，例如120°等腰三角形三边之比为1：1 ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处）
11．若矩形的长和宽是方程x2﹣6x+m＝0（0＜m≤9）的两根，则矩形的周长为 12 ．
【分析】设矩形的长和宽分别为a、b，由于矩形的长和宽是方程x2﹣6x+m＝0（0＜m≤9）的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系得到a+b＝6，然后利用矩形的性质易求得到它的周长．
解：设矩形的长和宽分别为a、b，
根据题意得a+b＝6，
所以矩形的周长＝2（a+b）＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了矩形的性质．
12．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝5，则直线l与⊙O的位置关系是 相离 ．
【分析】解一元二次方程可得x1＝﹣2，x2＝4，由题意得⊙O的半径为r＝5，再根据d＞r，可得：直线l与⊙O的位置关系是相离．
解：∵x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x+2）（x﹣4）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝4，
∴⊙O的半径为r＝4，
∵圆心O到直线l的距离d＝5，
∴d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离；
故答案为：相离．
【点评】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系等，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
13．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝ 54 °．
【分析】找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论．
解：如图，设正十边形内接于⊙O，连接A7O，A4O，
∵正十边形的各边都相等，
∴∠A7OA4＝×360°＝108°，
∴∠A4A1A7＝×108°＝54°．
故答案为：54．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
14．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得关于m的方程，然后解关于m的方程后利用一元二次方程的定义确定m的值．
解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m1＝1，m2＝﹣1，
而m﹣1≠0，
所以m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若BD＝10，AD＝3，则＝ ．
【分析】由切线长定理得BE＝BD＝10，AF＝AD＝3，则AB＝13，连接OE、OF，则四边形OECF是正方形，设CE＝CF＝m，由勾股定理得（3+m）2+（10+m）2＝132，求得m＝2，则AC＝5，BC＝12，所以＝，于是得到问题的答案．
解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，BD＝10，AD＝3，
∴BE＝BD＝10，AF＝AD＝3，AB＝BD+AD＝10+3＝13，
连接OE、OF，则BC⊥OE，AC⊥OF，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∵OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
设CE＝CF＝m，则AC＝3+m，BC＝10+m，
∴（3+m）2+（10+m）2＝132，
解得m1＝2，m2＝﹣15（不符合题意，舍去），
∴AC＝3+2＝5，BC＝10+2＝12，
∴＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查切线长定理、正方形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明CE＝CF是解题的关键．
16．如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C、D、E分别在OA、、OB上，AF⊥ED，交ED的延长线于点F．则图中阴影部分面积是 ．
【分析】通过观察图形可知DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，阴影部分的面积正好等于长方形ACDF的面积，根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出AC的长，即可求出长方形ACDF的面积．
解：连接OD，
∵正方形的边长为1，即OC＝CD＝1，
∴OD＝＝，
∴AC＝OA﹣OC＝﹣1，
∵DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD，
∴图形ACD是面积等于图形BED的面积，
∴S阴＝长方形ACDF的面积＝AC•CD＝．
故答案为：．
【点评】本题要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解．如通过观察可知阴影部分的面积正好等于长方形ACDF的面积，直接根据相关条件求长方形ACDF的面积即可．
17．如图，，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，将线段BD绕着点B逆时针旋转60°得到线段BA，则线段AC的取值范围是 ．
【分析】以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，由图象可知，DM⊥BC时，DM的值最大．OM＝OB•tan∠OBM＝2•tan60°＝6，代入AC最大值＝DM最大值＝OD+OM求得最大值；结合AC＞BC即可得解．
解：以BC为边作等边三角形△BCM，将线段BD绕着点B逆时针旋转60°得到线段BA，连接AD，AC，如图，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，
∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC＝4，∠BDC＝90°，点D在以BC为直径的半圆⊙O上运动，
由图象可知，DM⊥BC时，DM的值最大，
在Rt△BOM中，∠OBM＝60°，
∴OM＝OB•tan∠OBM＝2•tan60°＝6，
∴AC最大值＝DM最大值＝OD+OM＝2+6．
当D点无限接近B点时，AC的大小无限接近BC，即AC＞4，
综上，线段AC的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连接OE，若OE的最小值为，则AB＝ 2 ．
【分析】连接CE，OC，由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，设的弧度为x°，求出的弧度为90°，设AB＝2r，利用勾股定理求出CE，即可得出OE＝CE﹣OC＝＝，解得2r＝2．
解：连接CE，OC，
由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，
设的弧度为x°，
∴的弧度为：（180﹣x）°，
∵∠CAD＝∠CAB，
∴的弧度为：（180﹣x）°，
由折叠得，的弧度为x°，
∴的弧度为：x°﹣（180﹣x）°＝（2x﹣180）°，
∵点E为弧AD中点，
∴的弧度为：（2x﹣180）°＝（x﹣90）°，
∴的弧度为：（180﹣x）°+（x﹣90）°＝90°，
即所对圆心角为90°，
设AB＝2r，
∴⊙O半径为r，
∴CE＝＝r，
∴OE＝CE﹣OC＝＝，
∴r＝，
∴AB＝2r＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣1＝0
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6
（3）（2x﹣1）2﹣9＝0
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0
【分析】（1）根据配方法进行求解方程即可；
（2）整理后根据因式分解法求解方程即可；
（3）根据直接开平方法进行求解方程即可；
（4）根据因式分解法进行求解方程即可．
解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6，
整理，得2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝，，x2＝1；
（3）（2x﹣1）2﹣9＝0，
（2x﹣1）2＝9，
2x﹣1＝±3，
∴x1＝2，x2＝﹣1；
（4）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
（x﹣3）（3x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
20．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B若直径AC＝12cm，∠P＝60°，求弦AB的长．
【分析】连接CB．PA、PB是QO的切线，由切线长定理知PA＝PB；又∠P＝60°，则等腰三角形APB是等边三角形，则有ABP＝60°；由弦切角定理知，∠PAB＝∠C＝60°，AC是直径；由直径对的圆周角是直角得∠ABC＝90°，则在Rt△ABC中，有∠CAB＝30°，进而可知AB＝ACsin∠CAB＝12×＝6（若取近似值，不扣分）．
解：连接CB．
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
又∵∠P＝60°，
∴∠PAB＝60°；
又∵AC是⊙O的直径，
∴CA⊥PA，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝30°，
而AC＝12，
∴在Rt△ABC中，cs30°＝，
∴AB＝12×＝6（若取近似值，不扣分）．
【点评】本题利用了切线长定理，等边三角形的判定和性质，弦切角定理，直角三角形的性质，正弦的概念求解．注意本题的解法不唯一．
21．已知一元二次方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当其中一个根为1时，求另一个根．
（2）证明不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）首先把x＝1代入方程求出a，然后设方程的另一根为x1，根据方程解的定义、根与系数的关系列出方程求出方程的另一根；
（2）计算根的判别式的值得到Δ＞0，则根据根的判别式的意义得到结论；
【解答】（1）∵x＝1是方程x2+ax+a﹣2＝0的根，
∴1+a+a﹣2＝0，
解得，
∴方程为x2+＝0，
∴1×，
∴x1＝，
即另一根为﹣；
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2），
＝a2﹣4a+8
＝（a﹣2）2+4，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+4＞0
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系是解题的关键．还考查了根与系数的关系．
22．如图，是一个△ABC纸板，其中∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝3．
操作（1）：可以剪出一个直径在直角边AC上的最大半圆，请用无刻度直尺和圆规作出符合条件的半圆；
操作（2）：若将（1）中的半圆剪下，围成一个圆锥的侧面，剩下部分能再剪出一个完整的圆作为圆锥的底面吗？若能，求出底面半径；若不能，请说明理由．
【分析】（1）选择AC直角边为直径所在的边，如图，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D；连接CD，分别以C、D为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点，交AC于点O，点O即为圆心．
（2）设圆锥底面半径为r；于是得到π＝2πr；求得圆锥底面半径，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）如图所示；
图中以点O为圆心的半圆是所求作的图形；
（2）设圆锥底面半径为r；
∵半圆的弧长为π，
∴π＝2πr；
∴圆锥底面半径，
在Rt△ABC中，AC＝3，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴，
∵，
∴OB＝2，OC＝1，
设⊙O'的半径为r'，
在RtΔO'BG中，O'G＝r'，∠O'BG＝30°，∠O'GB＝90°，
∴O'B＝2r'，
∵OE+EO'+O'B＝OB＝2，
∴1+3r'＝2，得；
∵r＞r'
∴不能剪出圆锥的底面．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线 到现在，作图﹣基本作图，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
23．关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“勾系方程”．请解决下列问题：
（1）请写出一个“勾系方程”： （答案不唯一） ；
（2）求证：关于x的“勾系方程”必有实数根；
（3）如图，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程是“勾系方程”，求∠BDC．
【分析】（1）由“勾股方程”满足的条件，即可写出一个“勾系方程”；
（2）由一元二次方程根的判别式，即可判断；
（3）由勾股定理，垂径定理，圆周角定理，即可求解．
解：（1）3x+10x+4＝0（答案不唯一）；
故答案为：3x+10x+4＝0（答案不唯一）；
（2）证明：∵关于x的一元二次方程是“勾系方程”，
∴a2+b2＝c2且c≠0，a≠0，
Δ＝（2c）2﹣4
＝4c2﹣8ab
＝4（a2+b2）﹣8ab
＝4（a2+b2﹣2ab）
＝4（a﹣b）2；
∵（a﹣b）2≥0
∴Δ≥0
∴方程有两个实数根；
（3）解：∠BDC＝45°，理由如下：
作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OB，OC，
∵DC∥AB，
∴EF⊥CD，
∴AE＝BE＝a，CF＝DF＝b，
∵BE2+OE2＝OB2，
∴a2+OE2＝52，
∵是“勾系方程，
∴a2+b2＝52，
∴OE＝b＝CF；
∵OB＝OC，
∴Rt△BOE≌Rt△OCF（HL），
∴∠FOC＝∠OBE，
∵∠OBE+∠EOB＝90°，
∴∠FOC+EOB＝90°，
∴∠COB＝90°，
∴．
【点评】本题考查“勾股方程”的概念，一元二次方程根的判别式，勾股定理，关键是明白“勾股方程”的定义．
24．如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，作直线EC交⊙O于点C，连接AC、BC，使得∠BCE＝∠CAB，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：直线EC是⊙O的切线；
（2）若BE＝1，CE＝2，求⊙O的半径及AD的长．
【分析】（1）连接OC．证出∠OCE＝90°，由切线的判定可得出结论；
（2）设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r+1，利用勾股定理得到r2+22＝（r+1）2，解得r＝，再证明△OCE∽△ADE，然后利用相似比可计算出AD的长．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CBA+∠CAB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠CBA＝∠OCB，
又∵∠CAB＝∠BCE，
∴∠OCB+∠BCE＝90°，
即∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为⊙O半径，
∴EC是⊙O切线；
（2）解：设⊙O半径为r，
则OC＝r，OE＝r+1，
在Rt△OEC中，
∵OC2+EC2＝OE2，
∴r2+22＝（r+1）2，
解得：r＝，
∴OE＝，AE＝4，OC＝．
∵OC∥AD，
∴△OCE∽△ADE，
∴，
即，
解得：AD＝．
【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．某杨梅采摘园收费信息如下表：
（1）某社团共35人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过1530元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？
（2）某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价384元，求这次参加团建的共多少人？
【分析】（1）求出成人票为18元/人时的购买数量，结合该社团的成人数，可得出该社团购买的成人票价为18元/人，设本次活动他们共带出x斤杨梅，根据总费用不超过1530元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（2）设参加团建的共有y人，由300＜384＜396，可得出10＜y＜22，利用购票总价＝单价×数量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：（1）∵（30﹣18）÷1＝12（人），10+12＝22（人），
∴当成人人数大于或等于22人时，成人票都是18元/人．
∵35﹣10＝25（人），25＞22，
∴该社团购买的成人票价为18元/人．
设本次活动他们共带出x斤杨梅，
根据题意得：10×18+25×18+30x≤1530，
解得：x≤30，
∴x的最大值为30．
答：本次活动他们最多共带出杨梅30斤；
（2）设参加团建的共有y人，
∵30×10＝300（元），18×22＝396（元），300＜384＜396，
∴10＜y＜22．
根据题意得：[30﹣（y﹣10）]•y＝384，
整理得：y2﹣40y+384＝0，
解得：y1＝16，y2＝24（不符合题意，舍去）．
答：参加这次团建的共有16人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，﹣5），以原点O为圆心，3为半径作圆．P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴负半轴运动，运动时间为t（s）．连结AP，将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．求△APQ有一边所在直线与⊙O相切时直线AP的解析式．
【分析】分三种情况，先求得OQ，进而根据三角形面积公式求得AP，然后根据勾股定理列出方程，解方程即可．
解：当AQ与⊙O相切时，如图1，
设AQ切⊙O于点D，连接OQ，交AP于M，连接OD，
∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AQ，OD＝3，
∵OA＝5，
∴AD＝4，
∵A（0，﹣5），
∴OA＝AQ＝5，
∴QD＝1，
∴OQ＝＝，
∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．
∴OQ⊥AP，OM＝MQ＝，
∵OP＝t，OA＝5，
∴AP•OM＝OA•OP，即AP•＝×5×t，
∴AP＝t，
在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解10t2＝t2+25，
解得t＝，
∴P（﹣，0），
∴设直线AP解析式：y＝kx﹣5，
∴0＝﹣k﹣5，
解得：k＝﹣3，
故直线AP解析式：y＝﹣3x﹣5；
当AP与⊙O相切时，如图2，
设AP切⊙O于点E，连接OQ，
∵将△OAP沿AP翻折，得到△APQ．
∴OQ⊥AP，
∴OQ经过点E，
∴OE⊥AP，
∵AP•OE＝OA•OP，即3AP＝5t，
∴AP＝t，
在Rt△AOP中，AP2＝OP2+OA2，解（t）2＝t2+25，
解得t＝，
则P（﹣，0），
∵A（0，﹣5），
∴设直线AP解析式：y＝kx﹣5，
∴0＝﹣k﹣5，
解得：k＝﹣，
故直线AP解析式：y＝﹣x﹣5；
当PQ与⊙O相切时，如图3，
设PQ切⊙O于点E，连接OE，
∴OE⊥PQ，
∵AQ⊥PQ，
∴OE∥AQ，
∴△ODE∽△ADQ，
∴＝，即＝，
∴OD＝，
∴AD＝，
∴DQ＝＝，
∴PD＝DQ﹣PQ＝﹣t，
∵OD•OP＝PD•OE，
∴t＝（﹣t）×3，
解得t＝，
∴P（﹣，0），
∴设直线AP解析式：y＝kx﹣5，
0＝﹣k﹣5，
解得：k＝﹣，
故直线AP解析式：y＝﹣x﹣5；
当QA的反向延长线与⊙O相切时，如图4，
设PQ切⊙O于点D，连接OD，QA交y轴于E，
∴OD⊥AQ，
∴OA2＝OD2+AD2，
∴AD＝4，
∵OA2＝AD•AE，
∴AE＝，
∵AE•OD＝OA•OE，
∴OE＝＝，
∴PE＝t+，
∵PQ⊥AQ，
∴PE2＝PQ2+QE2，即（t+）2＝t2+（5+）2，
解得t＝15，
则P（﹣15，0），
∴0＝﹣15k﹣5，
解得：k＝﹣，
故直线AP解析式：y＝﹣x﹣5；
综上，△APQ有一边所在直线与⊙O相切时直线AP的解析式：y＝﹣3x﹣5或y＝﹣x﹣5或y＝﹣x﹣5或y＝﹣x﹣5．
【点评】本题考查了切线的性质，轴对称的性质，三角形的面积以及勾股定理的应用等，熟练掌握切线的性质和轴对称的性质是解本题的关键．
27．定义1：如图1，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转θ（θ＝120°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标，实数a为点P的横坐标．
定义2：在平面斜坐标系xOy中，若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
（1）已知⊙O的半径为1，△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
①如图2，点B（0，0），C（0，2），点A的横坐标的最小值为 ﹣1 ，在，这两个点中，点A可以与点 P1 重合；
②若点A（1，0），点B（0，m），m＜0，∠B＝90°，BA＝BC，点C在x轴下方．求满足条件的点C轨迹长度；
（2）已知⊙O的半径为r，点A（r，r），点C（4，0）．若平面斜坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
【分析】（1）①利用“点A关联三角形”的定义解答即可；
②先根据题意求得C1，C2的坐标，再根据题意求出C1D，C2D，最后利用利用勾股定理求出C1C2即可解答；
（2）分三种情况：r＝2，2＜r≤4，r＜4，依次讨论解答即可．
解：（1）①根据题意，结合图形⊙O与x轴交点的横坐标为﹣1，故点A横坐标的最小值为﹣1，
故答案为：﹣1，P1；
②如图1，设△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，
∵△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，
∴线段AC和AB除过点A外，不能与⊙O有交点，
当线段AC除点A外不与⊙O有交点，AC1与⊙O相切，
当线段AB除点A外不与⊙O有交点，
过点B1作x轴的垂线，交x轴于点E，
∵∠AB1C1＝90°，BA＝BC，
∴∠B1AC1＝∠B1C1A＝45°，
∴∠EAB1＝45°，
∴AE＝EB，
∵B（0，m），
∴OB1＝﹣m，
∴OE＝﹣m．
根据勾股定理可得，EB1＝＝﹣，
∴AE＝1+，
可得方程﹣m＝1+m．
解得m＝1﹣，
：OB1＝﹣1，
当线段AB除点A外不与⊙O有交点，此时OB2＝1，
∵∠BAC1﹣∠B2AC2＝∠B2AC2﹣∠B2AC1，
即∠B1AB2＝∠C1AC2，
∵＝，
∴△AB1B2～△AC1C2，
∴＝，
∵B1B2＝OB2﹣OB1＝1﹣（﹣1）＝2﹣，
∴C1C2＝2﹣；
（2）如图，符合△ABC等边三角形的B点有2个，当r较小时，没有符合题意的B点，如下图1所示，
随着r增大，当AB1与圆O有交点，直到B1落在圆O上，如图2所示，
∵OA＝OB1，CA＝CB1，
∴OC⊥AB1，且平分AB1，
∴OC所在直线为四边形OACB1的对称轴，即∠ACO＝∠B1CO＝30°，∠AOC＝∠B1OC＝60°，
此时，AC与⊙O相切，，
∴r＝2，此时仍不满足题意，
①当2＜r≤4时，AC与⊙O有两个交点，不符题意，如图3所示；
②当r＞4时，如图4所示，延长OA至D，使得AD＝OC，连接DB2，并延长DB2交x轴于点E，
∵∠OAC+∠OCA＝∠OAC+∠DAB2＝60°，
∴∠OCA＝∠DAB2，
∵OC＝DA，AC＝B2A，
∴△OAC≌△DB2A（SAS），
∴∠B2DA＝∠AOC＝60°，DB2＝OA＝r，OD＝r+4，
在△ODB2中，∠D＝60°，OD＝r+4，DB2＝r，
∴，
即B2在⊙O外部，C在⊙O内部，B2C与必⊙O有一个交点，符合题意，
∴r＞4符合题意，
综上所述，r的取值范围是：r＞4．
【点评】本题考查了新定义解答题，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确理解新定义，根据分类讨论画出多种情况，是解题的关键．
成人票
儿童票
带出杨梅价格
不超过10人
超过10人
18元/人
30元/斤
30元/人
每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价
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